Напряженно-деформированное состояние в окрестности вершины составного клина с жестко защемленными образующими
Автор: Пестренин В.М., Пестренина И.В., Ландик Л.В.
Статья в выпуске: 3, 2016 года.
Бесплатный доступ
В отличие от обычно используемых для исследования напряженно-деформируемого состояния (НДС) вблизи особых точек деформируемых тел асимптотических методов предлагается подход, основанный на отождествлении особой точки с представительным объемом тела. Такой подход дает возможность сформулировать в особой точке задаваемые ограничения. Как правило, количество таких ограничений в особой точке оказывается большим, чем в обычной точке поверхности тела. Это обстоятельство обусловливает новую (по сравнению с классической) постановку задачи механики деформируемого твердого тела (МДТТ), содержащего особую точку. Проведено исследование ограничений в вершине составного клина с жестко защемленными образующими. Установлены сочетания материальных и геометрических параметров элементов конструкции, приводящие к различным вариантам постановки для нее задачи МДТТ. Выявлены критические значения задаваемых параметров, при которых напряжения в особой точке неограниченно возрастают. С использованием итерационного численно-аналитического метода изучено НДС в вершине составного клина с развернутым углом при вершине в случае его температурной нагрузки. Показано, что полученное решение согласовано со всеми задаваемыми в особых точках - представительных объемах - ограничениями; при стремлении материальных параметров к критическому сочетанию напряжения проявляют сингулярный характер; наибольшие значения напряжения достигают не в особой точке, а в ее ближайшей окрестности. Приведено сравнение итерационного решения с решением классическим методом конечных элементов (МКЭ). Классическое решение задачи МКЭ не может быть признано приемлемым для особых точек - представительных объемов, так как оно не удовлетворяет задаваемым в них ограничениям.
Особые точки, представительный объем, сингулярное напряжение, температурная нагрузка, критические сочетания параметров
Короткий адрес: https://sciup.org/146211619
IDR: 146211619 | DOI: 10.15593/perm.mech/2016.3.09
Текст научной статьи Напряженно-деформированное состояние в окрестности вершины составного клина с жестко защемленными образующими
PNRPU MECHANICS BULLETIN
При исследовании напряженного состояния вблизи особых точек однородных и составных деформируемых тел (вершин клиньев, конусов, трещин, ребер (пересечений образующих поверхностей) и т.п.) обычно рассматривается локальная задача в криволинейной системе координат, полюс которой помещается в особую точку [1-17 и др.]. Асимптотическое решение такой задачи разыскивается в виде разложения по собственным функциям однородных задач с множителями rXk, где r - расстояние до особой точки, а Xk - соответствующее собственное значение. По значениям Xk выносится суждение о характере напряженного состояния вблизи особой точки. В рассматриваемом подходе, во-первых, не принимаются и не могут быть приняты во внимание ограничения, задаваемые непосредственно в особой точке. В полюсе тензорные характеристики (напряжения, деформации, перемещения) не определены, так как здесь отсутствует взаимнооднозначное соответствие между физической точкой тела и ее криволинейными координатами. Во-вторых, особая точка рассматривается как математическая (не имеющая линейных размеров), поскольку допускается, что параметр r может принимать сколь угодно малые значения. Такое представление о точке сплошной среды не соответствует ее по- стулатам, согласно которым точкой является представительный объем материала тела, имеющий конечный характерный размер. Данное несоответствие приводит к тому, что при построении решения асимптотическим методом в окрестности особой точки используется представление о напряжениях и деформациях в элементарных объемах с характерными размерами, меньшими характерных размеров макроскопических представительных объемов изучаемых тел. Фактически это означает переход на микро-уровень с сохранением физических уравнений макроуровня. Данное обстоятельство ограничивает достоверное применение асимптотических методов областью вне малой окрестности особой точки. Внутри такой окрестности возможность использования асимптотического решения требует дополнительного изучения.
Отождествление особой точки с представительным объемом тела дает возможность сформулировать в ней задаваемые ограничения (граничные условия, условия непрерывности параметров состояния на поверхностях соединения, кинематические ограничения и т.п.). При этом оказывается, что необычность особых точек проявляется в том, что количество независимых ограничений в них оказывается большим, чем количество ограничений в обычных точках границы тела, поэтому задачи для тел с особыми точками являются переопределенными. Ограничения на параметры состояния в особых точках представляют собой систему линейных неоднородных алгебраических равенств. Изучение этих равенств позволяет в зависимости от геометрических и материальных параметров элементов конструкции установить возможные варианты постановки задачи механики деформируемого твердого тела, содержащего особую точку, выявить критические сочетания конструктивных параметров и параметров нагрузки. Все это необходимо для построения решения, удовлетворяющего всем ограничениям в особой точке и согласующегося вне малой окрестности с решениями, получающимися классическими методами.
В настоящей работе развиваемый авторами подход [18–20] применяется для исследования напряженно-деформированного состояния (НДС) в вершине и ее окрестности составного клина с жестко защемленными образующими. Асимптотическое решение подобной задачи рассматривалось, например, в работах [7–9].
1. Постановка задачи о формировании ограничений в вершине клина
Рассматривается часть конструкции, представляющая собой плоский клин, составленный из двух изотропных линейно-упругих элементов 1 , 2 , скрепленных между собой (рис. 1). Образующие клина защемлены. Орты n и m перпендикулярны образующим, а орты n ' , m 'перпендикулярны соответственно направлениям n , m . Углы а , р при вершинах, составляющих клин элементов, подчинены условиям

Рис. 1. Составной клин
Fig. 1. Compound wedge
0 <а< 2 п , 0 <в< 2 п , 0 <а + Р< 2 п . (1)
Вводится ортонормированная декартова система координат x 1, x 2с началом в точке А (вершине клина). Ось x 1 направляется по касательной к линии соединения составляющих клин элементов во внешнюю, относительно клина, область. Приняты обозначения
°(k), г(/)— компоненты тензоров соответственно напряжений и деформаций в к-м (к = 1,2) составляющем элементе клина. Ек, Gk, vк, toк - модуль Юнга, модуль сдвига, коэффици- ент Пуассона, коэффициент температурной деформации в к-м элементе клина; г®, г^
–
относительные удлинения линейных элементов в точке А , направленных по образующим AB и AC ; ф 1 и ф 2- изменения в процессе деформирования соответственно углов а , р ; A T - приращение температуры. Считается, что составной клин находится в условиях плоской деформации. Согласно принятой концепции в окрестности точки А рассматриваются две особые точки. Это представительный объем тела 1 , содержащий точку А , и представительный объем тела 2 , содержащий эту же точку. Указанные представительные объемы находятся в однородном НДС и взаимодействуют по линии соединения. Это взаимодействие характеризуется условиями:
непрерывности напряжений и деформаций на линии соединения
(1) (2) (1) (2) (1)(2)
° 22 ° 22 , °12 °12 , £11
отсутствия относительных удлинений в направлении образующих составного клина е^ = 0, г^ = 0;
отсутствия сдвига между направлениями AB и AC
Ф1 +ф2 = 0.(4)
С введением обозначений
(1) (2) (2) (1) 2
г 11 г 11 £ 11 ; г 12 г 12 ; г 12 g O 12 ; g , Q
G 1
(1 + v 1) to 1 g l ivjto - (1 - 2 V 1 ) (1 - 2 v 2 )
A T
равенства (2)-(4) для случая, когда sin а ^ 0 и sin р * 0 (случай sin а = 0 и sin р = 0 рассматривается в п. 2) приводятся к системе уравнений
8 11 cos2 а + £ 22 sin2 а - g г 12 sin 2 а = 0,
8 11 cos2 Р + г 22) sin2 Р + г 12 sin2 p = 0,
£ 11(ct g а + ctg P ) + S 12(1 - g ) = 0, (6)

v 1 _ g v 2 ) , (1) 1 — V 1 _ (2) g O-^ ) Q I O')*) O^a
1 - 2 v 1 1 - 2 v 2 J 22 1 - 2 v 1 22 1 - 2 v 2
При построении равенств (5), (6) использовались физические уравнения линейной термоупругости и формула
Ф sin y = [ 2 0 rp - ( n к + П 1 ) 3 rp ] кг1р , (7) определяющая сдвиг ф в произвольной точке сплошной среды между линейными элементами с направлениями к , 1 и углом у между ними. Здесь п к , п 1 - относительные удлинения в точке сплошной среды в направлении ортов к , 1 соответственно; 8 rp - координаты единичного тензора.
Задача состоит в исследовании (в зависимости от материальных и геометрических параметров) существования решений системы уравнений (6) и ее аналогов в случаях sin а = 0, sin р = 0; определении в каждом решении независимых ограничений на параметры состояния в особой точке.
2. Общее исследование системы уравнений (6) 2.1. sin a ^ 0, sin в ^ 0.
Данное условие обеспечивает существование третьего из равенств системы уравнений (6). Эта система автономна относительно деформаций £ 11 , £^ , £ 22? , £ 12 . Ее определитель вычисляется по формуле
А = 2 g sin(a + в)
1 -vi — • о , 1-V2 — о •
----— cos a sin в +--— cos в sin a 1 - 2 v 1 1 - 2 v 2
2(1 - g )
1 g Uin'./on'n 1-V1 sin2 R + g(1 ^UrnA/ sin a sin вsin p+sin a v 1 - 2v1 1 - 2v2 ) 1 - 2v1 1 - 2v2
Определитель (8) зависит от пяти безразмерных параметров a, в, g, v1, v2. Если сочетание этих параметров не обращает в нуль определитель (8), уравнения (6) имеют единственное решение р = А = А2 Д2) — А3 ₽ — А4
£ 11 . , £ 22 ■ , £ 22 . , £ 12 . ,
А А А А где Аi (i = 1, 2, 3, 4) - определители матриц, получающихся последовательной заменой столбцов матрицы системы уравнений (6) столбцом свободных членов:
А 1 = - 2(1 - g ) Q sin2 a sin2 в , А 2 = 2Q cos a sin P (cos a sin в + g cos в sin a ),
А 3 = - 2 Q sin a cos в (cos a sin в + g cos в sin a ), А 4 = Q sin a sin в sin( a + в ). (10)
Определители (10) одновременно обращаются в нуль в случаях:
-
1) Q = 0. Это возможно в случае отсутствия температурной нагрузки (А T = 0) или при условии зависимости между материальными характеристиками скрепляемых тел, обращающих в нуль коэффициент при А T (5):
® 1 (1 + v 1) - g to 2(1 + v 2) = 0
1 - 2 v 1 1 - 2 v 2
Если определитель (8) в данном случае не равен нулю, все деформации (9) в особых точках обращаются в нуль. С учетом зависимости (5) в особых точках формулируются шесть ограничений на деформации. Если определитель (8) обращается в нуль, уравнения (6) становятся линейно зависимыми. Количество независимых ограничений на компоненты деформации определяется рангом матрицы системы;
-
2) g = 1, a + в = п . Система (6) приводится к трем линейным неоднородным уравнениям относительно четырех компонентов деформации
£ 11 cos2 a + £ 2 12) sin2 a - g £ 12 sin 2 a = 0, £ 11 cos2 a + £ 22) sin2 a - £ 12 sin 2 a = 0,
£ 11
v 1
v 2
1 - 2 v 1 1 - 2 v 2
+ £ (1) 1 v 1
22 1 - 2 v 1
(2) C 1 -^) _
£22 . n Q .
1 - 2 v 2
Если коэффициенты Пуассона скрепляемых тел различны ( v 1 ^ v 2), ранг системы
-
(12) равен трем, и компоненты деформации связаны независимыми соотношениями
£ 11
Q (1 - 2 v 1 )(1 - 2 v 2) sin2 a
V 1 -V 2
-£ 12 sin 2 a ,
(1) (2)
£ 22 ь 22
-
Q (1 - 2v, )(1 - 2v, )cos2 a . .
—-----1^----- 2- ------+ s 12 sin 2 a .
v 1 -v 2
Когда коэффициенты Пуассона скрепляемых тел одинаковы ( v 1 = v 2 ), но Q * 0 вследствие различия коэффициентов линейного расширения ( ю 1 * ю 2 ), ранг системы уравнений (12) равен двум, а ранг ее расширенной матрицы – трем. Уравнения несовместны. Это означает, что при стремлении v 1 к v 2 деформации в вершине клина неограниченно возрастают;
3) g = 1, a + в = 2 п . Система (6) принимает вид (12), поэтому справедливы результаты, приведенные в п.2).
2.2. sin a = 0, sin в * 0, (a = п).
Стороны угла a = п представляют собой прямую. При деформировании окрестности точки А прямые переходят в прямые, поэтому сдвиг между образующими развернутого угла равен нулю. Следовательно, условие (4) ( ф 1 + ф 2 = 0) при a = п переходит в условие ф 2 = 0. Уравнения (6) принимают вид
£ 11 0,
£ 11 cos2 в + £ 22) sin2 в + £ i2 sin 2 в = 0,
£n ctg P + 2 £ 12 = 0,
£ 11
1 1 - 2 v 1
1 - 2 v 2
+ £ 22
1 -v 1 Д2) £ (1-^ 2) _
£??
1 - 2 v 1 22 1 - 2 v 2
Определитель матрицы системы уравнений (13)
А = 2
1 -v 1
1 - 2v
sin 2 в
не обращается в нуль, поэтому ранг системы равен четырем, она имеет единственное решение
£п = 0 £ 22) = .1 J1 Q , £ 22) = 0 £ 12 = 0.
1 - 2 v 1
Компоненты деформаций в особых точках подчиняются шести условиям, НДС здесь полностью определено.
-
2.3. sin a* 0, sin в = 0, (в = п).
-
2.4. sinα=0, sinβ=0, (α=β=π).
Случай аналогичен предыдущему. Компоненты деформации находятся по формулам
£ 11 = 0 £ 22 = 0 £ 22) = —7T^ v 2T Q , £ 12 = 0.
g (1 -v 2 )
Из уравнений (6) следуют два ограничения на компоненты деформации в вершине клина
1 - ν 1 (1)
-
g (1 -ν 2) (2)
ε 22 = Q . (1 - 2 ν 2)
ε 11 = , ε 22 (1 - 2 ν 1)
Еще два ограничения вытекают из равенств (5). Суммарное количество ограничений равно четырем.
3. Частные случаи соединения элементов
Рассматриваются наиболее интересные, по мнению авторов, варианты геометрических параметров вблизи вершины клина: α =β,α+β=π/2,α+β=π,α+β=2π.
-
3.1. α=β, sinα≠0 (случай sin α = 0 рассмотрен в п. 2.2, 2.4)
Определитель (8) преобразуется к виду
Δ= 2sin 2 α ( V - W sin 2 α ), (14)
где
-
V = ( g + 1)(1 -ν 1) + g ( g + 1)(1 -ν 2) W = g (1 - 2 ν 1) + 1 + g [(1 - 2 ν 2) + g ] 1 - 2 ν 11 - 2 ν 2,1 - 2 ν 11 - 2 ν 2
Если определитель (14) не обращается в нуль, уравнения (6) имеют единственное решение вида (9), в котором Δ определяется равенством (14), а определители Δ i вычисляются по формулам
Δ 1 =- 2(1 - g ) Q sin 4 α , Δ 2 = 2(1 + g ) Q sin 2 α cos 2 α , Δ 3 =- 2(1 + g ) Q sin 2 α cos 2 α , Δ 4 = Q sin 2 α sin2 α .
Параметры состояния в вершине клина подчинены шести ограничениям, НДС здесь полностью определено.
При выполнении накладываемого на материальные и геометрические параметры условия sin2 α=V/ W.
определитель (14) обращается в нуль. Равенство (16) определяет угол скрепления элементов 1 , 2 , при котором ранг матрицы системы уравнений (6) оказывается меньше четырех. Область существования такого угла в пространстве параметров ( g , ν 1 , ν 2 ) с учетом положительности величин V и W определяется неравенством
( g - 1)[ ν 1 (1 - 2 ν 2 ) - g ν 2 (1 - 2 ν 1 )] ≤ 0.
Если g = 1 , неравенство (17) выполняется независимо от значений ν 1 , ν 2 . При этом α=β=π/2 . Возможные случаи поведения решений уравнений (6) в зависимости от ν 1 , ν 2 приведены в п. 2.1.2.
Когда g ≠ 1 , неравенство (17), определяющее область существования угла α , удовлетворяющего условию (16), распадается на две группы неравенств g<1,
ν2 ≤
ν 1
2 ν 1 + g (1 - 2 ν 1 )
g > 1,
ν2 ≥
ν 1
2 ν 1 + g (1 - 2 ν 1)
.
Для некоторых значений g области, ограниченные неравенствами (18), (19) в плоскости ν 1 , ν 2 , представлены на рис. 2.


Рис. 2. Области существования решения уравнения (16) оказываются ниже кривой ( а ) в соответствии с (18) или выше кривой ( б ) в соответствии с (19) для значений параметра g :
1 – 0,05; 2 – 0,1; 3 – 0,2; 4 – 0,5; 5 – 0,9; 6 – 1,111; 7 – 2; 8 – 5; 9 – 10; 10 – 20
Fig. 2. Regions of existence for equation solution (16) are below the curve ( a ) in accordance with (18) or above the curve ( b ) in accordance with (19) for the value of parameter g:
1 – 0,05; 2 – 0,1; 3 – 0,2; 4 – 0,5; 5 – 0,9; 6 – 1,111; 7 – 2; 8 – 5; 9 – 10; 10 – 20
Для каждого сочетания материальных параметров, удовлетворяющего неравенствам (18) или (19), существует два угла α 1 и α 2 =π-α 1 , определяемые равенством (16). При α 1 и α 2 ранг системы уравнений (6) равен трем. Ее решение существует лишь при условии обращения в нуль всех определителей (15). Это возможно лишь при Q = 0 (см. п. 2.1). В этом случае из уравнений (6) следуют зависимости между деформациями
(1) (2) ε 11 (1 + g ) ctg 2 α k
ε 22 = -ε 22 =-
=-ε 11 ctg α k ,( k = 1, 2). 1 - g
Равенства (20) и (5) в сумме составляют пять независимых ограничений на компоненты деформаций в вершине клина. Когда выполняется условие Q ≠ 0 , ранг расширенной матрицы оказывается больше ранга матрицы системы. Уравнения (6) несовместны. В этом случае углы α 1 и α 2 следует считать критическими, так как при приближении сочетания материальных параметров к значению, удовлетворяющему (16), компоненты деформации в вершине клина неограниченно возрастают.
-
3.2. α+β=π/2.
Определитель (8) преобразуется к виду
Δ=asin4α+bsin2α+c,
где
a = 2 ( g - 1) 1 .
1 - 2 v 1
-
)
1 — 2 v 2
2(2 v . g ) 2 g (1 - g v 2 ) 1 - 2 v 1 1 - 2v 2
c = 2(1 -vj 1 - 2 v 1
Когда определитель (21) не обращается в нуль, решение уравнений (6) запишется равенствами (9), в которых А определяется равенством (21), а A i - формулами
А 1 = - 2(1 - g ) Q sin2 a cos2 а , А 2 = 2 Q cos2 a (cos2 a + g sin2 a ),
A 3 = - 2 Q sin2 a (cos2 a + g sin2 a ), A 4 = Q sin a cos a .
НДС в особых точках полностью определено. Коэффициент а в равенстве (21) обращается в нуль в двух случаях: когда g = 1 или когда безразмерные параметры задачи связаны соотношением g=
1 - 2 v 2
1 - 2 v 1
При a = 0 определитель (21) обращается в нуль при условии b sin2 a + c = 0 .
Если g = 1, а параметры v 1 , v 2 удовлетворяют условию
v2 >--------,
2 3 - 2 v 1
существует решение a * уравнения (24). При a = a * ранг матрицы системы уравнений (6) равен трем. Определители (22) одновременно обращаются в нуль только при Q = 0, поэтому возможны случаи:
-
1) Q * 0 . Ранг расширенной матрицы оказывается больше, чем ранг системы (6), эти уравнения несовместны. Угол a * является критическим углом скрепления элементов 1,2;
-
2) Q = 0. Компоненты деформаций при a = a * в особых точках подчиняются ограничениям
£ 11 = 0, е ( 22 = 2 £ 12ctg a , £ 22) = - 2 £ 12tg a .
Когда g * 1 и коэффициент а обращается в нуль вследствие зависимости (23), уравнение (24) решения относительно a не имеет.
Когда коэффициент а не обращается в нуль, исследование существования решений уравнения (21), подчиненных условию
0 < sin2 a < 1 ,
проводится в два этапа. Во-первых, в ортогональной системе координат v1, v2, g определяются непересекающиеся поверхности, удовлетворяющие условию b2 - 4ас = 0, g = gi(v1, v2), (i = 1,2,3,4),
определенные на множестве
0
Поверхности (26) упорядочиваются в соответствии с неравенством
0 < g 1 < g 2 < g 3 < g 4 .
Далее изучается существование решения уравнения А = 0 (согласованного с условием (25)) в точках поверхностей (26) и в точках ( v 1, v 2, g ), находящихся в пространственных областях между плоскостью g = 0 и поверхностью g = g 1( v 1, v 2), между смежными поверхностями (26) и выше поверхности g = g 4( v 1, v 2). В результате установлено, что в каждой точке множества (27) существует четыре корня: два корня в области между плоскостью g = 0 и поверхностью g = g 1( v 1, v 2) и два корня выше поверхности g = g 4( v 1, v 2). В точках поверхностей g = g 1( v 1, v 2) и g = g 4( v 1, v 2) корни совпадают между собой. Для примера все эти корни в случае v 1 = 0,4, v 2 = 0,3 приведены на рис.3.

Рис. 3. Корни уравнения (21) в точке ( v 1 = 0,4, v 2 = 0,3) в зависимости от параметра g: а - в области 0 < g < g 1( v 1, v 2); б - в области g > g 4( v 1, v 2)
Fig. 3. Roots of equation (21) at the point ( v 1 = 0,4, v 2 = 0,3) depending on parameter g: а - in the region of 0 < g < g 1( v 1, v 2); b - in the region of g > g 4( v 1, v 2)
На поверхности g = g 1( v 1, v 2) g (0,4; 0,3) = 0,167264 корни совпадают sin2 а 1 = = sin2 a 2 = 0,886721, на поверхности g = g 4( v 1, v 2) g (0,4; 0,3) = 15,9428 корни совпадают sin2 a 3 = sin2 a 4 = 0,0758924. Данный пример показывает, что при фиксированных v 1, v 2 корни уравнения (21) существуют не при всех значениях параметра g . Если же сочетание материальных параметров v 1, v 2, g попадает в какую-либо из областей существования корней уравнения А = 0, то при Q * 0 имеется два угла скрепления элементов а 1, а 2 или а 3, а 4, которые следует считать критическими при температурной нагрузке, так как при таких углах система уравнений (6) оказывается несовместной. Если Q = 0 , ранг системы уравнений (6) равен трем, и между компонентами деформаций в особых точках оказываются справедливыми зависимости
£ 11 = —£ 12 (1 — g ) sin 2 а , Е 22 = 2 £ 12ctg а (cos2 а + g sin2 а ), £ 22) = - 2 £ 12tg а (cos2 а + g sin2 а ).
-
3.3. a + в = п, (0 < a < п).
Определитель (8) записывается равенством
А = - 2(1 - g ) sin2 a(W 2 sin2 a - V2 ),
где
V = 1 -v i - g (1 -v 2 ) W = g
2 1 - 2 v 1 1 - 2 v 2 ’ 2 1 - 2 v 1 1 - 2v 2
Определитель (28) обращается в нуль при выполнении равенства g = 1 (случай рассмотрен в п. 2.2) или равенства sin2 a = Vr, (g * 1). (29)
W 2
Если ни одно из этих равенств не выполняется, ранг матрицы системы уравнений (6) равен четырем. Она имеет единственное решение вида (9), в котором А определяется равенством (28), а определители А i вычисляются по формулам
А 1 =- 2(1 - g ) Q sin4 а , А 2 = 2(1 - g ) Q cos2 a sin2 a , А 3 = А 2, А 4 = 0. (30)
НДС в особой точке полностью определено.
Изучим существование решения системы уравнений (6) при выполнении равенства (29), которое накладывает ограничения на материальные характеристики
0 < V 2/ W 2 < 1. (31)
Эти ограничения выполняются, если оказывается справедливой какая-либо из двух групп (32), (33) неравенств
v 2 < g v 1 + 0,5(1 - g ), |
v2<-----v------ , g + 2 v 1 (1 - g ) |
v 1 (1 - 2 g ) - (1 - g ) v< , 2 2 v 1 (1 - g ) + g - 2 v 1 (1 - 2 g ) - (1 - g ) v > , 2 2 v 1 (1 - g ) + g - 2 |
если g < / ? \), (32) 1 - 2 v 1 ) 2(1 -v, ) если g >-----—. 1 - 2 v 1 ) |
v 2 > g v 1 + 0,5(1 - g ), |
v 2 >v , g + 2 v 1 (1 - g ) |
^ х! ! - 2 ? ) -! 1 - ? ) v > , 2 2 v 1 (1 - g ) + g - 2 v 1 (1 - 2 g ) - (1 - g ) v< , 2 2 v 1 (1 - g ) + g - 2 |
если g < .( 1 ), (33) 1 - 2 v 1 ) 2(1 -v, ) если g >----- —. 1 - 2 v 1 ) |
Для примера области существования значений углов a, удовлетворяющих уравнению (29), приведены на рис. 4 (серый цвет) в плоскости v1, v2 при некоторых фиксиро- ванных значениях параметра g.
В каждой точке области, определяемой неравенствами (32), (33), существуют два угла скрепления a 1 и a 2 = п - a 1 , при которых ранг матрицы уравнений (6) равен трем.
Ранг расширенной матрицы зависит от значения Q. Если Q = 0, ранг расширенной матрицы совпадает с рангом матрицы системы. Между компонентами деформации оказываются справедливы зависимости s® = e22) = -2s11ctg2а, e12 = 0.


Рис. 4. Области существования решения уравнения (30) для различных значений g : а – g = 0,5; б – g = 3
Fig. 4. Regions of existence for equation solution (30) are for different values of g :
а – g = 0,5; б – g = 3
При Q ^ 0 ранг расширенной матрицы превосходит ранг матрицы системы, уравнения (6) несовместны. Углы а 1 и а 2 являются критическими, так как особые точки в этом случае являются точками сингулярного поведения параметров состояния.
-
3.4. а + в = 2п, (0 < а < 2п).
Определитель А в данном случае принимает вид (28), а A i ,( i = 1,2, 3,4) - вид (30). Определитель А (28) обращается в нуль при g = 1 (случай изучен в п. 2.2), при sin а = 0 (случай изучен в п. 2.4) и при выполнении условия (29). В последнем случае вследствие того, что а = п находится в области допустимых значений, вторые неравенства в группах (32), (33) не будут строгими. Вместо них получим соответственно
v 2 <
v 1
g + 2vi(1 - g),
V2 ^
V1 g + 2V1(1 - g)
Кроме того, для каждого сочетания материальных параметров ( v 1 , v 2, g ) из областей допустимых значений (исключая решение а = п , изученное в п. 2.4) существуют четыре угла а i ( i = 1,2,3,4), связанные равенствами
а1 = а*
а2 = п-а*
а3 =п + а*, а4 = 2п-а*,
а * = arcsin
,
при которых ранг матрицы системы уравнений (6) равен трем. Эти углы скрепления элементов 1 , 2 являются критическими, так как обусловливают сингулярность параметров состояния в особых точках при температурной нагрузке.
4. Пример. Температурное нагружение составного клина с развернутым углом при вершине (а = р = п /2)
Случай описан в п. 3.3. В особой точке (точке А – вершине клина) (рис. 5) все компоненты деформации известны, они вычисляются по формулам (9) и (5). Количество заданных ограничений в особых точках избыточно, поэтому задача не является классической. Материальные параметры имеют значения: E 1 = 1,16 e 11 Па, V 1 = 0,3, © 1 = 0,11 e - 4град - 1, v 2 = 0,35, w 2 = 0,85 e - 5 град - 1. Модуль E 2 варьируется, убывает, приближаясь к критическому значению E Кр = 0,7744 e11 Па . При E кр уравнение (29) имеет решения а * = п / 2 . Решение неклассической задачи при нагрузке A T = 100 °C строилось итерационным конечно-элементным методом, описанным в работе [20]. КЭ-сетка сгущалась к особой точке. Характерный размер 4угольного 8-узлового КЭ-элемента вблизи нее равнялся 2 мкм.

Рис. 5. Составной клин с развернутым углом при вершине, а = 1 см Fig. 5. Wedge with vertex angle, а = 1 cm
Решение в окрестности особых точек иллюстрируется на рис.6, где приведены напряже- ния c(2k) (к = 1,2) в окрестности особых точек при различных E2 на линии соединения элементов (рис. 6, а) и на линии заделки BC (рис. 6, б).

Рис. 6. Напряжения ст 2 к ) ( к = 1,2) в окрестности особых точек:
а - на линии соединения AD СТ 22) = ст 22) ; 1 - E 2 = 80 ГПа; 2 - E 2 = 82 ГПа; 3 - E 2 = 88 ГПа;
б - по защемленному краю CB: 1 - ст^ ’ , E 2 = 80 ГПа; 2 - ст 22’ , E 2 = 82 ГПа;
(1) (2) (2) (2)
3 - СТ 22 , E 2 = 88 ГПа; 4 - СТ 22 , E 2 = 80 ГПа; 5 - СТ 22 , E 2 = 82 ГПа; 6 - СТ 22 , E 2 = 88 ГПа
Fig. 6. Stresses ст 2 к ) ( к = 1,2) in the regions of singular points: а - at cross line AD ст 212) = ст 22)
1 - E 2 = 80 ГПа; 2 - E 2 = 82 ГПа; 3 - E 2 = 88 ГПа; б - along fastened end CB:
1 - СТ 22) , E 2 = 80 ГПа; 2 - ст 212) , E 2 = 82 ГПа; 3 - ст^ , E 2 = 88 ГПа; 4 - ст 22) , E 2 = 80 ГПа;
5 - ст 22) , E 2 = 82 ГПа; 6 - ст (222) , E 2 = 88 ГПа
Выполняются все задаваемые для этих напряжений ограничения. Максимальными напряжения ст22 (к = 1,2) оказываются не в особой точке, а в малой ее окрестности. С приближением сочетания материальных параметров к критическому значению напря- жения неограниченно возрастают. Аналогичные результаты справедливы и для напряжений о([), о(2),(k = 1,2). На рис- 7 представлено решение рассматриваемой задачи для пе- ремещений.

Рис. 7. Поверхности перемещений: а – ux 1 ; б – ux 2
Fig. 7. Surfaces of dislocations: а – u ; b – u x 1 x 2
Видно, что они удовлетворяют граничным условиям (обращаются в нуль в заделке) и непрерывны на линии соединения составляющих пластинку элементов.
В таблице сравниваются с аналитическим решением напряжения в особых точках, вычисленные итерационным методом и методом конечных элементов (ANSYS).
Сравнение точного и численных решений в особых точках в элементах 1 , 2 конструкции ( E 2 = 80 ГПа)
Comparing point and numerical solutions at singular points in elements of 1,2 construction (E2 = 80 ГПа )
Напряжения, ГПа |
Точное решение |
Итерационное |
ANSYS-решение |
|||
Номер элемента |
||||||
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
|
( k ) и 11 |
–5,58 |
–6,84 |
–5,62 |
–6,79 |
–0,0528 |
–0,0957 |
( k ) и 22 |
–3,11 |
–3,11 |
–3,13 |
–3,09 |
–0,138 |
–0,212 |
( k ) и 12 |
0,00 |
0,00 |
7,17-10 - 7 |
-5,92 -10 - 7 |
0,0990 |
0,146 |
Напряжения a ,2) ( k = 1,2), отвечающие итерационному методу, на семь порядков меньше максимальных напряжений в этих точках, поэтому естественно считать их равными нулю. Из таблицы видно, что итерационное решение задачи с достаточной точностью определяет напряженное состояние в особых точках. Значения всех напряжений непосредственно в особых точках, вычисленные в пакете ANSYS, в разы отличаются от точных значений (см. таблицу). Значительное отклонение ANSYS-решения от точного обусловлено тем, что классический подход не в состоянии построить решение, удовлетворяющее избыточно заданным ограничениям в особых точках. Вне окрестности особых точек радиусом 5–10 характерных размеров макроскопического представительного объема материала ANSYS-решение совпадает с итерационным.
Вычисления выполнялись на суперкомпьютере ТЕСЛА-ПГУ научно-образовательного центра параллельных и распределенных вычислений Пермского государственного национального исследовательского университета.
Заключение
В работе показано, что задачи МДТТ с особыми точками образуют новый класс задач, в которых количество заданных в этих точках условий переопределено и зависит от сочетания материальных и геометрических параметров, рассматриваемых элементов конструкций. Предлагаемый подход к изучению НДС в особых точках и их окрестностях позволяет построить задаваемые ограничения, изучить их, адекватно поставить задачу МДТТ; построить решение, согласованное со всеми задаваемыми ограничениями. Такое решение вне малой окрестности особой точки согласуется с решениями, получаемыми классическими методами. Это обстоятельство дает возможность оценить область вблизи особой точки, вне которой справедливо асимптотическое решение. Характерный размер такой области составляет пять-десять характерных размеров макроскопического представительного объема материала деформируемого тела. Проведенное исследование открывает перспективы для разработки методов исследования класса задач МДТТ с избыточно заданными ограничениями. Полученные результаты могут найти применение в механике композитов, механике разрушения и трещин.
Список литературы Напряженно-деформированное состояние в окрестности вершины составного клина с жестко защемленными образующими
- Williams M.L. Stress singularities resulting from various boundary conditions in angular corners in extension//J. of App. Mech. -1952. -Vol. 19. -P. 526-528.
- Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. -М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1967. -402 c.
- Аксентян О.К. Особенности напряженно-деформированного состояния плиты в окрестности ребра//Прикладная математика и механика. -1967. -№ 1. -С. 178-186.
- Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками//Тр. ММО. -1967. -Т. 16. -С. 209-292.
- Bogy D.B. Two Edge-bonded Elastic Wedges of Different Materials and Wedge Angles under Surface Tractions//Trans. ASME. Ser.E. -1971. -Vol. 38. -No. 2. -P. 87-96.
- Чобанян К.С. Напряжения в составных упругих телах. -Ереван: Изд-во АН АрмССР, 1987. -338 с.
- Аветисян А.Г., Чобанян К.С. Характер напряжений в заделанной окрестности края поверхности соединения составного тела, нагруженного в условиях плоской задачи теории упругости//Изв. АН Арм.ССР. -1972. -№ 6. -С. 13-25.
- Аветисян А.Г. Исследование поведения напряжений около жестко защемленной вершины составного упругого клина//Изв. АН Арм.ССР, Сер. Механика. -1981. -Т. 34, № 3. -С. 3-12.
- Аветисян А.Г. Исследования характера напряженного состояния в частично заделанной окрестности края поверхности соединения нагруженного составного тела//Изв. АН Арм.ССР. Сер. Механика. -1972. -Т. 25, № 5. -С. 23-34.
- Sinclear G. B. Stress singularities in classical elasticity-I: Removal, interpretation and analysis//App. Mech. Rev. -2004. -Vol. 57. -No. 4. -P. 251-297.
- Sinclear G.B. Stress singularities in classical elasticity-II: Asymptotic identification//App. Mech. Rev. -2004. -Vol. 57. -No. 4. -P. 385-439.
- Корепанова Т.О., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Аналитические построения собственных решений для изотропных конических тел и их приложения для оценки сингулярности напряжений//ДАН. -2014. -Т. 457, № 3. -С. 286-291 DOI: 10.7868/s0869565214210105
- Paggi M., Carpintery A. On the stress singularities at multimaterial interfaces and related analogies with fluid dynamics and diffusion//Appl. Mech. Rev. -2008. -Vol. 61. -Р. 020801-1-22.
- Андреев А.В. Суперпозиция степенно-логарифмических и степенных сингулярных решений в двумерных задачах теории упругости//Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. -2013. -№ 1. -С. 5-30.
- Разложения по функциям Фадля-Папковича в смешанных краевых задачах теории упругости/М.Д. Коваленко, С.Н. Попов, Н.Н. Цыбин, Т.Д. Шуляковская//Механика композиционных материалов и конструкций. -2007. -Т. 13, № 4. -С. 493-518.
- Особенности напряженного состояния в конечных областях вблизи угловых точек границы/С.В. Галаджиев, О.С. Гоголева, М.Д. Коваленко, Д.В. Трубников//Механика композиционных материалов и конструкций. -2011. -Т. 17, № 1. -С. 53-60.
- Степанова Л.В., Росляков П.С. Полное асимптотическое разложение М.Уильямса у вершин двух коллинеарных трещин конечной длины в бесконечной пластине//Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. -2015. -№ 4. -С. 188-225 DOI: 10.15593/perm.mech/2015.4.12
- Пестренин В.М., Пестренина И.В., Ландик Л.В. Нестандартные задачи для однородных элементов конструкций с особенностями в виде клиньев в условиях плоской задачи//Вестн. Том. гос. ун-та. Математика и механика. -2014. -№ 1 (27). -С. 95-109.
- Пестренин В.М., Пестренина И.В., Ландик Л.В. Нестандартные задачи для элементов конструкций с особенностью в виде составного пространственного ребра//МКМ. -Рига. -2015. -Т. 51, № 4. -С. 691-714.
- Пестренин В.М., Пестренина И.В., Ландик Л.В. Итерационный конечно-элементный алгоритм исследования напряженного состояния элементов конструкций с особыми точками и его реализация//Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. -2015. -№ 4. -С. 171-187 DOI: 10.15593/perm.mech/2015.4.11