Навигационная безопасность плавания каравана по маршруту буксировки в условиях стационарности движения

Исследование направленных переходов системы "буксировщик – маломореходный объект" из режима безопасного плавания в режим опасного плавания обусловлено необходимостью контроля состояния безопасности навигации каравана, при котором можно осуществлять движение по заданной полосе положения и c учетом фиксированной вероятности нахождения маломореходного объекта и буксировщика в этой полосе.

Материалы и методы

Состояние навигационной безопасности буксирного каравана при стационарном плавании по заданному планом перехода курсу можно описать векторным линейным уравнением [1], [2].

Результаты исследований и их обсуждение

Предположим, что для буксирного каравана зафиксировано событие x(t, x0, ε) – x'(t, x0, ε) ≥ Σ, которое показывает, что имеет место асимптотическое стремление траектории маломореходного объекта к траектории буксировщика, при котором преобладают активаторные свойства среды. Взаимодействие активаторных сил среды и ингибиторных сил, существующих на буксирной линии, может реализовываться в рамках математических моделей диффузионных процессов. Если далее считать эту гипотезу состоятельной, то состояние навигационной безопасности буксирного каравана при стационарном плавании по заданному планом перехода курсу можно описать векторным линейным уравнением dY

— = a (Y, t) + b (Y, t) 9, Y (to) = ), где Y – n-мерный вектор состояния безопасности навигации каравана; a(Y, t) – n-мерный вектор; b(Y, t) – матрица порядка n × n; θ(t) – вектор белого шума Гаусса с математическим ожиданием m(t) и матрицей интенсивностей G(t); Y0 – вектор начального состояния c плотностью вероятности f(y0) [1], [2].

На основании литературных источников предположим, что плотность вероятности распределения фазовых координат ω(y, t) системы (1) при общих предположениях относительно возможности дифференцирования функций a(Y, t) и b(Y, t) может быть описана уравнением Фоккера – Планка – Колмогорова:

^, t^ = -divn(У, t), где π(y, t) – вектор плотности потока вероятности [2]. Его составляющие по положительным направлениям осей координат записываем в виде

,    \           \ t \ 1     ⁵[ B j ( У ’ t ) ® ( У ’ t ) J

П ( У , t ) = 4 ( У , t ) « ( У , t ) + -E-------- ^,

2, = i            oy, где A, - коэффициенты сноса; В, - коэффициенты диффузии, определяемые для уравнения (2) по формулам:

4 = a 0 ( У ’ t ) ^{+ 1} L ^G pq ( t ) ^B pq ( У^, t ) ^{9 B ir} ( y’ t ) ⁺ L ^B ij ( У^, t ) m J ( t ) ’

² P , q , R = 1                            ^d y p        J = 1

n

B ij = Z G pq ( t ^ ( У , t ) ^8B jq ( У ^, t ) '

p , q , r = 1

При рассмотрении уравнения (2) как уравнения сохранения вероятности, при котором количество вероятности, проходящей в положительном направлении за единицу времени, описывается потоком п , , предположим, что переход каравана из безопасного навигационного состояния в опасное определяется моментом его пересечения границ сфероида S _q ^δ , где происходит процесс поглощения [3]. Данное предположение подтверждается интегрированием уравнения (2) при соблюдении заданных граничных условий, вытекающих из физического смысла обеспечения безопасной навигации. В связи с этим целесообразно наделить границу сфероида S q функцией поглощения v * (y, t) [4], [5]. При этом поглощение состояний навигации буксирного каравана описывается обобщенным уравнением Фоккера – Планка – Колмогорова:

dm* (у, t)             , ,     .     , ,.

----д—'- = -divn (у, t) - v (у, t), где ®*(y, t) - функция плотности вероятности непоглощенных состояний, связанных с событием вида x(t, x0, ε) – x'(t, x0, ε) < Σ; π*(y, t) – вектор плотности потока вероятности с компонентами

.,            Л Ч Л 1 V ЭЕВу (У’t)®* (У’tЙ п (У, t) = 4 (У, t)« (У, t)+-X---------

• ²    i = 1             ^дУ

здесь v * (y, t) — плотность поглощения вероятности (функция поглощения), соответствующая событию x(t, x 0 , ε) – x'(t, x 0 , ε) ≥ Σ [4].

Плотность вероятности определяется условиями поглощения и в области изменения фазовых координат характеризуется функцией поглощения v (y, t) [5]. Допустим, что процесс поглощения протекает на поверхности сфероида и описывается уравнением

v * ( У , t ) = ⁸ ( a ( У ) -Y ( t ) ) C i ( t ) ( n ⁰ п ( y , t ) ) ,                                       ⁽⁴⁾

где α(y) – γ(t) – параметрическое уравнение гиперповерхности сфероида, определяющегося границей фазовой области W; δ – дельта-функция; n ⁰ – внешняя нормаль к поверхности сфероида S _q ^δ ; c ₁ (t) – коэффициент полноты поглощения [4], [5].

Введение уравнений поглощения позволяет найти решение уравнения (3) для всей области фазового пространства системы (1) при начальном условии ω ^* (y, t) = f(y ₀ ) и нулевых граничных условиях для y = ± ∞ (i = 1, …, n). В этом случае функция ω ^* (y, t) не является нормированной за счет существования эффекта поглощения. Интеграл от этой функции по всей поверхности области фазового пространства W дает возможность определить текущую вероятность нахождения буксирного каравана в безопасном состоянии, т. е.

P ( t ) = J ® * ( y , t ) dy <  1,

-∞ при этом для t = t0 значение P1(t0) = 1. Тогда текущая вероятность перехода навигационного процесса буксирного каравана в опасное состояние с максимальным количеством рисков рассчитывается по формуле

P _o ( t ) = 1 - J ® * ( y, t )dy.

-∞

Для определения значений функции P 1 (t) составим дифференциальное уравнение ее изменений. Проинтегрировав уравнение (3) по всей бесконечной области существования вектора Y, получим

∞

P * ( t ) = - J v * ( y , t ) dy ,                                              (5)

-∞

∞ так как J divn (y, t)dy = 0 .

-∞

Подставив в правую часть уравнения (5) выражение для v ^* (y, t) из формулы (4) и нормируя ω ^* (y, t), получим

P i* ( t ) = Pc i - J ( ⁿ 0 ⁿ ( y , t ) ) dy , S

где S – поверхность заданного сфероида S _q ^δ ; π(y, t) – нормализованный вектор потока вероятности, он равен π(y, t) = π ^* (y, t) / P 1 (t) и имеет следующие компоненты:

1     ⁵[ B ij ( У’ t ) ® ( У’ t ) ]

n ( y, t ) = A ( y, t ) to ( y, t ) + - S-------- Z---------.

• ²    I = 1           4 y

Таким образом, для дальнейших исследований используем нормированную плотность вероятности

ю * ( У , t ) P ( t )

фазовых координат, равную отношению вида ю ( y , t ) =

Принимаем, что поглощение реализаций внутри сфероида Sqδ для функции поглощения пропорционально плотности вероятности нахождения внутри

• V* (y, t) = C2 (t) to* (y, t),

где c 2 (t) > 0 и учитывает интенсивность поглощения.

Подставив выражение (7) в правую часть формулы (5), найдем [6]

pi = -Pi J C2 (t) ® (у, t) dy.(8)

^S q ^δ

Представим равнения (6) и (8) в сокращенном виде

p; =-Pin( t)

и зафиксируем их начальное условие выражением P ₀ (t ₀ ) = 1.

Введенная в уравнение (9) функция η(t) характеризует поведение функции поглощения v*(y, t) внутри сфероида и на его поверхности. Для характеристики поглощения состояний навигации буксирного каравана на поверхности сфероида функцию η(t) представим в виде n (t) = J (n0n (y, t)) dy,

S при поглощении этих состояний внутри сфероида функцию η(t) преобразуем к виду

П ( t ) = J ( c 2 ( t ) m ( y, t ) ) dy .

S q ^δ

Для решения уравнения (9) при фиксированном начальном условии P ₀ (t ₀ = 0) = 1 используем выражение

t

P i ( t ) = exP

- J П ( ^T ) ^{d T}

следовательно, вероятность перехода буксирного каравана в опасное состояние за пределы поверхности сфероида S _q ^δ можно определить по формуле

P> ( t ) = ^{1 -} exp

t

- J П ( ^T ) ^{d T}

Поэтому, зафиксировав значение верхней границы P ₁ (t) в формуле (10) или нижней границы P ₀ (t) в формуле (11) и задавшись функцией η(τ), можно определить временной интервал, в течение которого буксирный караван будет находиться в навигационной безопасности в границах сфероида S _q ^δ , взятого за основу при разработке плана маршрута буксировки.

Для решения задачи по обеспечению безопасности навигации буксирного каравана по заданным маршрутам необходимо установить функцию η(τ), которая зависит от нормированной функции вероятности вида ω(y, t), при этом дю(y, t)              ,     .      ,     .      , . ,     .

---д "-^- = - div n ( y , t ) - v ( y , t ) + n ( т ) ю ( y , t ) ,

^{v (} У , t ) =

^v * ⁽ У ’ t ) P 0 ( t )

Дифференциальное уравнение (12), полученное из формулы (3) с учетом позиции (9), для определения вида функции η(τ) необходимо проинтегрировать при заданном начальном условии ω(y, t 0 ) = f(y 0 ) и нулевых граничных условиях на бесконечности.

Заключение

Таким образом, приведенные в статье результаты исследования по обеспечению навигационной безопасности буксирного каравана с маломореходным объектом, траектория которого асимптотически стремится к траектории буксировщика, могут быть использованы при разработке плана буксировки с оценкой навигационной безопасности с заданной вероятностью.