Небаротропный вариант принципа максимума Трусделла

В настоящее время основным методом исследования течений стали вычислительные эксперименты, основанные на. численных методах, реализованных в компьютерных программах, которые должны быть верифицированы и валидированы. Обычно для верификации используются известные точные решения и численные решения, полученные другими хорошо зарекомендовавшими себя компьютерными программами. Но в прикладных расчетах точное решение, как правило, неизвестно. Поэтому практическую значимость приобретает возможность проводить дополнительное тестирование каждого расчета путем проверки выполнения закономерностей, которые не заложены в численные алгоритмы, но являются

«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2023

следствием соответствующей системы уравнений, используемой для описания исследуемого течения. В настоящей работе рассматривается одна из таких закономерностей для стационарных течений идеального совершенного газа.

Обозначим: V - скорость, р > 0 - плотность, к > 0 - показатель адиабаты, р > 0 -давление. Стационарное движение газа в области гладких параметров течения описывается уравнениями Эйлера в форме Громеки - Ламба [1-3]:

rotV х V = - V - V (^V) , V = |V|,                  (1)

уравнением неразрывности:

div(pV) = 0

и уравнением адиабатического движения частиц газа:

V • V (pp^-k ) = 0.

Принцип максимума давления (ПМД) - это утверждение о возможности или невозможности достижения экстремального значения давления во внутренней точке течения. Обычно в условия принципов максимума для таких течений входит второй скалярный инвариант тензора скоростей деформаций (Q-параметр), который можно записать в виде

Q = 0.5{П² - ( V u)² - ( V r)² - ( V w)²}, (4)

где u, г и w - компоненты скорости V в прямоугольной декартовой системе координат, П = |Q|, Q = rotV. Практическая значимость ПМД состоит в возможности дополнительного тестирования численного решения задачи обтекания, описываемого уравнениями (1) -(3), путем проверки выполнения этого принципа.

Ниже в формулировках принципов максимума давления (ПМД) для краткости иногда не оговаривается, но подразумевается, что все аэродинамические параметры течения в рассматриваемой области G принадлежат С ²(G), и что давление еще и непрерывно на замыкании G (то есть принадлежит С (G) П С 2(G)).

• К.    Трусделл в работе [4] привел ряд примеров, показывающих, что величина WK = (1 - 4Q/Q²) ^1/2 лучше, чем |Q| отражает сложность завихренного течения по сравнению с движением жидкости как твердого тела или по сравнению со сдвиговым течением. Один из доводов Трусделла состоял в том, что величина Wk входит в условия открытого им принципа максимума давления. В результате Трусделл предложил считать Wk «второй мерой завихренности». Хотя это предложение до сих пор не принято, принцип максимума Трусделла занял свое место в теоретической аэродинамике и долгое время оставался единственным ПМД в общем пространственном случае вихревых течений.

Баротропный ПМД Трусделла. Во внутренней точке области G стационарного баротропного течения идеального совершенного газа, где давление не постоянно, оно не момсет принимать минимального значения, если во всей области Q < 0 и (V • V )divV > 0; максимального и минимального значений, если во всей области Q = 0 и (V • V )divV = 0; максимального значения, если во всей области Q > 0 и (V • V )divV < 0.

В оригинальной формулировке Трусделла вместо величины (V • V )divV рассматривается равная ей в силу уравнения неразрывности величина -(V • V )(V • V ln р), а вместо условий Q < 0, Q = 0 и Q > 0 рассматриваются равносильные им условия Wk < 1, Wk = 1 и Wk > 1 соответствешю.

Главными недостатками ПМД Трусделла является требование баротропности и отсутствие утверждений для случаев Q < 0, (V -V )(V •V lnр) > 0и Q > 0, (V -V )(V •V lnр) < 0, в которых верификация расчетов с помощью ПМД Трусделла становится невозможной.

Несколько позже в работе [5] был получен ПМД Никольского для плоскопараллельных течений. В ПМД Никольского отсутствует требование баротропности.

ПМД Никольского. В области плоского стационарного дозвукового течения идеального совершенного газа, в которой отсутствуют точки торможения, давление, если оно не постоянно в этой области, не может достигать экстремальных значений во внутренней точке области.

ПМД для пространственных дозвуковых небаротропных течений был получен несколько лет назад в работе [6] и назван дозвуковым принципом максимума давления (ДПМД).

ДПМД. Пусть G - ограниченная область дозвукового стационарного течения идеального совершенного газа, где давление не постоянно. Тогда если во всех точках G выполняется

• 1)    Q< 0, то давление р достигает минимума на G на границе и только на границе области G:

• 2)    Q > 0, то давление р достигает максимума на G на границе и только на границе области G:

• 3)    Q = 0, то давление р достигает минимума и максимума на G на границе и только на границе области G.

2.    Небаротропный принцип максимума Трусделла

Основные достоинства ДПМД по сравнению с ПМД Трусделла состоят в отсутствии требования баротропности и в исключении величины (V • V )divV из условий ПМД.

В серии работ В. В. Вышинского с соавторами [7-13] для верификации дозвуковых расчетов использовалось следующее следствие ДПМД. Если давление не постоянно всюду и достигает строгого или нестрогого минимума во внутренней точке течения, то Q-параметр в этой точке должен быть неотрицательным, а во внутренней точке максимума давления Q-параметр должен быть неположительным. Это следствие ДПМД позволяет для верификации ограничиться вычислением Q-параметра только в точке экстремума давления.

Однако для течений со сверхзвуковыми зонами ДПМД непригоден. Достоинством баротропного ПМД Трусделла является отсутствие ограничений на значение местного числа Маха. Цель настоящей статьи - распространить этот принцип на небаротропные течения и сделать его пригодным для верификации компьютерных программ, предназначенных для расчетов сверхзвуковых небаротропных течений.

В условия ПМД Трусделла входит условие баротропности течения, которое для идеального совершенного газа означает постоянство энтропийной функции о во всех точках течения, то есть условие (3) заменяется более жестким условием рр k = о = const.

Покажем, что преобразования Мунк - Прима [14] позволяют использовать баротропный ПМД Трусделла для исследования экстремальных свойств давления в небаротропных течениях. Пусть стационарное небаротропное течение с параметрами ( V ,p,p) описывается системой уравнений (1) - (3). Применим преобразование Мунка - Прима [14]. Согласно [14], если функция т такова, что ( V • V ) т = 0, то новое стационарное течение с параметрами V = mV, р = т^-2р и р = р также удовлетворяет уравнениям (1) - (3) и имеет те же самые линии тока, что и старое (V, р, р) течение. При этом местное число Маха, как и давление, не меняется: М = М.

Из уравнения (3) следует, что функция т = о ^1/(2k), где о = рр ^k, удовлетворяет усло

вию Мунка - Прима: (V • V )m = 0. Тогда энтропийная функция о = рр ^k нового течения

(V , р,р~) при т = о ^1/(2k)

будет равна о = рр ^k

= р^р(о ^1/(2k)) ²)    = рр ^kо ¹

= 1. Это

значит, что в новом течении будет выполнено условие баротропности (5), и к нему можно

применить ПМД Трусделла. При этом, поскольку р = р, утверждения относительно точек достижения экстремумов давления будут верны и для старого (V, р, р) течения. Кроме того, поскольку (V • V)m = 0, то (mV • V)div(mV) = m2(V • V)divV, и, следовательно, знаки (mV • V)div(mV) и (V • V)divV совпадают. В результате получаем следующий небаротропный ПМД Трусделла.

Пусть все газодинамические параметры (V, р, р) стационарного течения идеального совершенного газа являются дважды непрерывно дифференцируемыми функциями координат в некоторой ограниченной области G, а давление р непрерывно на замыкании G. И пусть в G выполняются уравнения (1) - (3), а величина Q определяется формулой

Q = 0.5 {(rot(mV))2 - (V(mn))2 - (V(mv))2 - (V(mw))2} , где m = ст-1/(21) = (рр-) 1/(21). Тогда если давление не постоянно в G и во всех точках G выполняется

• 1)    Q < 0 и (V • V )divV > 0. то давлепио р достигает минимума на G на границу- и только на границе области G;

• 2)    Q > 0 и (V • V )divV < 0. то да елейно р достигаелп максимума на G на граничу и только на границе области G;

• 3)    Q = 0 и (V • V )divV = 0. то да елейно р достигаелп минимума и максимума на G на границе и только на границе области G.

В этом небаротропном ПМД Трусделла, как и в классическом (баротропном) ПМД Трусделла, отсутствует ограничение на значения местного числа Маха в рассматриваемой области. При этом устранен один из «недостатков» классического ПМ Трусделла - отсутствует требование баротропности. Однако имеют место два недостатка.

Первый недостаток - исключенность из рассмотрения случаев Q < 0, (V • V )divV < 0 л Q > 0. (V • V )divV > 0.

Другой недостаток - невозможность при верификации ограничиться вычислением производных параметров течения в точке экстремума давления, как это можно делать при использовании следствия ДПМД. Поясним это на примере верификации расчета течения идеального совершенного газа, в котором давление достигает минимума в некоторой внутренней точке А.

Из небаротропного ПМД Трусделла следует, что в любой окрестности точки А должна быть точка, в которой нарушено условие, состоящее из одновременного выполнения условий Q < 0 и (V • V )divV > 0. Рассмотрим последовательность таких точек, стремящихся к А. В точках последовательности пли Q >  0. или (V • V )divV < 0. или верны оба эти строгие неравенства. Поэтому хотя бы одно из строгих неравенств Q >  0 и (V ^V )divV < 0 выполняется на бесконечном числе точек последовательности (на некоторой подпоследовательности). Отсюда в силу непрерывности получаем, что в точке А должно быть верным хотя бы одно из неравенств Q > 0 и (V • V )divV < 0. Это следствие не позволяет «отфильтровывать» неверные решения, поскольку неравенство (V • V )divV < 0 всегда окажется выполненным (и, следовательно, второе из неравенств Q > 0 и (V • V )divV < 0 будет выполнено). Покажем, что в точке А выполняется неравенство (V • V )divV < 0.

Из уравнения неразрывности (2) следует, что -divV = V • V ln р, и поэтому -(V • V )divV = (V • V )(V • V lnp). а из уравнения (3), справедливого для небаротропных течений, следует, что (V • V )(V • V lnр) = 1 (V • V )(V • V Inр). Отсюда после тождественных преобразований с использованием известных векторных тождеств V (a • b) = (a • V )b + (b • V )a + a x rotb + b x rota, (a • V )(yb) = y(a • V )b + ((a • V )y)b ii rotVy = 0, в которых у - скалярная функция, имеем

• -(V • V )divV = (V • V )(V • V lnp) = ¹V • V (V • V Inр) = --^(V • V р)²+

к                      кр2

+ЛV • ((V • V ) V р) + -¹ V • (( V р • V )V) + -¹ V • ( V р x Q). кр                  кр                  кр

В точке А градиент давления равен нулю. Поэтому

• - ((V • V)divV) (A) = 1-V • ((V • V)Vp)(A).                   (6)

3.    Случай строгих неравенств

кр

Обе части равенства (6) инвариантны относительно выбора системы координат. Непосредственной проверкой, записав правую часть (6) в прямоугольной системе координат, у которой одна из осей коллинеарна скорости V в точке A, получаем, что правая часть есть произведение V ²/( Кр) на вторую производную давления по направлению скорости в точке A. Одно из необходимых условий минимума состоит в том, что такая вторая производная неотрицательна. Поэтому условие ((V • V )divV) (A) < 0 всегда окажется выполненным в точке минимума давления, расположенной внутри течения. Это показывает, что необходимое условие минимума давления, состоящее в выполнении хотя бы одного из неравенств Q > 0 и (V • V )divV < 0, всегда будет выполнено. Поэтому при использовании небаротропного ПМД Трусделла невозможно ограничиться вычислением производных параметров течения только в точке минимума.

Если в расчете обнаружена точка экстремума давления, в которой выполнено одно из строгих неравенств Q < 0 или Q >  0, то в некоторой окрестности этой точки знаки Q л Q совпадут II будет достаточно ограничиться более простым вычислением Q-параметра старого течения.

Действительно, рассмотрим выражение для Q-параметра нового течения

Q = 0.5 {(rot(mV))² - ( V (mu))² - ( V (mv))² - ( V (mw))²} .            (7)

Первое слагаемое в фигурных скобках равно

(rot(mV))² = (mrotV - V х V m)² = m²(rotV)² - 2m(rotV) • (V x V m) + (V x V m)².

Поскольку (V -V )m = 0. векторы V 11 V m ортогопалыіы. Поэтому (V х V m)² = V 2( V m)2. и, следовательно,

(rot(mV))² = m²(rotV)² - 2m(rotV) • (V x V m) + V²( V m)²

или, с учетом свойства цикличности смешанного векторного произведения,

(rot(mV))² = m²(rotV)² - V m² • (rotV х V) + V²( V m)².             (8)

Теперь рассмотрим второе слагаемое в фигурных скобках равенства (7):

( V (mu))² = (u V m + m V u)² = u²( V m)² + 2um V m • V u + m( V u)² =

= u²( V m)² + V m² • V u²/2 + m( V u)².

Аналогично два последних слагаемых равны

( V (mv))² = r²( V m)² + V m² • V v ² / 2 + m( V v)²

и

( V (mw))² = w²( V m)² + V m² • V w²/2 + m( V w)².

Поэтому сумма трех последних слагаемых в фигурных скобках равенства (7) есть V²( V m)² + V m² • V (V2/2) + m² [( V u)² + ( V r)² + ( V w)²j. С учетом (8) это позволяет переписать (7) в виде

Q = 0.5 ^{m²(rotV)² - V m² • (rotV х V) - V m² • V (V²/2)-

• -m² [(Vn)² + (Vv)² + (Vw)²]} =

4.    Заключение

= m²Q + 0.5 {- V m² • (rotV х V) - V m² • V (V²/2)} ,              (9)

где Q - значение Q-параметра старого течения.

Выражение в фигурных скобках (9) представим в виде -Vm² • [(rotV х V) + V(V²/2)] или, с использованием (1), в виде Vm² • ^Д Последнее выражение в точке экстремума давления, где V p = 0. также равно нулю. Следовательно, в точке экстремума, согласно (9), 'значения Q-параметров старого и нового точений связаны равенством Q = m²Q. Поэтому их знаки совпадают в точке экстремума. В данном разделе рассматривается случай строгих неравенств, и, следовательно, в силу непрерывности эти знаки совпадают в некоторой окрестности точки экстремума.

Таким образом, в случае строгих неравенств Q <  0 или Q >  0 в точке экстремума эти неравенства буду иметь место и для Q в некоторой окрестности точки экстремума. Это обстоятельство позволяет при использовании небаротрпного ПМД Трусделла обойтись без вычислений, связанных с введением функции m = ст^-1/(2/г).

С использованием преобразований Мунка - Прима показано, что требование баротропности в ПМД Трусделла не принципиально. Оно исключается, если вместо Q-параметра для скорости рассматриваемого течения использовать Q-параметр для этой скорости, умноженной на функцию энтропии m = о^-"¹/^²^. В случае строгих неравенств Q <  0 или Q >  0 в некоторой окрестности точки экстремума функцию m = ст^-1/(2/г) можно не рассматривать, и поэтому можно пользоваться классическим баротропным ПМД Трусделла даже для небаротропных течений. При этом в отличие от дозвукового принципа максимума давления (ДПМД) баротропный ПМД Трусделла можно использовать при любых значениях числа Маха.

Таким образом, в общем пространственном случае получен принцип максимума давления для стационарных вихревых течений, которые могут одновременно содержать дозвуковые, трансзвуковые и сверхзвуковые зоны.

Исследование В. В. Маркова и Г. Б. Сизых выполнено за счет гранта на создание и развитие МЦМУ МИАН в рамках национального проекта «Наука».