Нечетко-атрибутный анализ решений операторных уравнений

элементов функциональных пространств.

На физическом уровне строгости формулировка обратной задачи такова. Пусть А : X ^ Y ограниченный оператор действующий в паре банаховых пространств X и Y _. Уравнение

Аст ( v ) = u ( s ) ;

ст ( v ) е X ; u ( s ) е Y

плотно разрешимо в Y . Для линейных уравнений в банаховых пространствах условие плотной разрешимости но не разрешимости всюду эквивалентно неограничености обратного оператора и, как следствие, неустойчивости решения. Множество ^и (А) = {ст(v): Аст(v)- u(s)} при u(s)OIm(А) называется классом эквивалентности для (1). Это множество замкнуто в X и в общем случае содержит более одного элемента. Для линейных операторов число элементов в ^u (А) образует линейное многообразие (вместе с двумя элементами содержит и их линейную комбинацию).Типичными задачами такого класса служат обратные задачи гравиметрии, которые в какой то мере служат эталоном, типовым примером обратных задач, на которых происходит аппробация результатов. Линейные обратные задачи гравиметрии в классе распределения плотности имеют вид г      а(x, y, z) zdv         u.U..y.)

^{А ст (} x , ^y , z ) - Jr         ₂          2    2 "I = _v

V ^ ( x ^- x 0 ) ⁽ y ^- y 0 ) + z J ^Y

Здесь V область в которой распределены источники вертикальной производно гравитацонного потенциала uz(xо,Уо) в точке (x0,y0);Y - гравитационная постоянная . Если область V содержит хотя бы одну внутреннюю точку, то [8] оператор Аст (x, y, z) имеет плотную в V область определения и обратный к нему неограничен. Это обстоятельство имеет то практическое значение, что небольшие вариации во входных данных (uz (xо,Уо)) приводят, вообще говоря, к сколь угодно большим изменениям в получаемом решении. Эта ситуация типична для уравнений первого рода. Тем не менее, требования практики (в конкретном примере -практики геолого-разведочных работ) диктуют необходимость оценки доверия получаемых решений. В условиях неустойчивости задачи попытка проследить как изменяются тезультаты при вариациях правых частей связанных с погреностями, оказывается обреченной на неудачу. Но дело обстоит и еще хуже.

Задача (1) в дополнении к существованию класса эквивалентности для каждого u ( s ) OIm ( A ) имеет еще одну степень неопределенности, связанную с присутствием множества правых частей в (1), отличающихся между собой по достоверности своих возможных значений в каждой из точке s О S своей области определения. Этим определена практическая эквивалентность, как сумма эквивалентности заложенной в О _u ( A ) , и неопределённостью правых частей в уравнении (1). Между тем задача оценки уровня доверия резельтатам решения обратных задач, включая, прежде всего некорректные задачи, остается. Для ее решения необходимо изменить концептуальные подходы к решению, которые состоят во введении нечетких мер доверия входным данным и результатам решения.

Допустимые правые части обозначаем u₅ ( s ) , подчеркивая индексом 5 приближенный характер входных данных. В этих условиях, следует выбрать решение (1), обладающее наибольшей мерой доверия относительно внешнего критерия отбора, для которого исходные данные u ₅ ( s ) укладываются в определенную степень доверия. Таким образом, должны быть определены меры доверия на классах правых частей в (1) и меры доверия на пространстве возможных решений.

Нечеткие меры достоверности введены на пространствах X и У и отражают меру доверия тому или иному элементу т(v) (u (s)) пространства. Нечеткие меры Ц [т (v)] и n [u (s)] для каждого значения аргумента V us подчиняются обычным правилам для функций принадлежности нечетких величин т и u соответственно [10]. Смысловое содержание нечетких мер Ц [т (v)] и n[u (s)] состоит в том, что в каждой точке v е V и s е S, каждая из них характеризует меру доверия значениям параметра т и u соответственно из всего возможного набора значений. Это дает основание считать нечеткие меры функциями принадлежности. Нечеткая мера, может рассматриваться как оператор на пространстве X отображающий т (v)е X в пространственное распределение достоверности значений параметра s . На этом основании этот оператор может быть назван информационным. То же самое относится к нечеткой мере n [u (s)], отображающей конкретную (четкую) функцию u (s) в пространственное распределение доверия значению u (s ) в каждой точке s е S. Нечеткая мера n [u (s)] характеризует неопределенность исходных данных для операторного уравнения (1). Если нечеткая мера Ц [т (v)] определена, то она служит критерием отбора решения уравнения (1) на всех допустимых u (s). Если эта мера не определена, то может быть поставлена задача синтеза характеристик Ц [т (v)] на основе заданных характеристик n [u (s)], и решения операторного уравнения (1).

Атрибуты нечетких мер Ц [ т ( v ) ] (или n [ u ( s ) ] ) есть отображения К нечеткой меры ^{Ц [ т} ( ^v ) ] в функцию из X (обычную - четкую) ^{Ц ( v} ) К : ц [ ^{т ( v} ) ] ^ ц ^{к ( v} ) ; n ^K ( ^v ) ^К n [ u s H n ^K ( ^s ) . Атрибуты нечеткой меры характеризуют ее свойства, связанные с наиболее достоверными пробными функциями т ( v ) е X и u ( s ) е У для соответствующих мер область допустимой неопределенности и возможный допустимый разброс пробных функций для информационных операторов. Атрибутом нечеткой меры служит ее значение на конкретном экземпляре для т ( v ) е X или u ( s ) е У соответственно. Отсюда, в частности следует, что нечеткая мера исчерпывающе характеризуется своими атрибутами.

Операторное уравнение для атрибутов нечетких мер основано на исходном уравнении (1), которое устанавливает связь между элементами т ( v ) и ^u ( ^s ) . В зависимости от характера имеющихся данных и условий, могут быть сформулированы следующие задачи:

• 1.    Задана ^{u ( s} ) и ^Ц [ ^{т ( v} ) ] , следует найти ^т ( ^v ) , как приближенное регуляризованное решение задачи:

• 2.    Задано Л [ ^u ( ^s ) ] , следует выбрать систему атрибутов ^{n K} ( ^s ) , и, пользуясь уравнением (1) найти им соответствующие атрибуты ^{ц К} ( ^v ) как решения уравнения:

  А Ц К ( v ) = n K ( s )

  
  
  
  

^{А т} ( ^v ) = ^u 5 ( ^s ) ; ц [ т ( v ) J^ max.

Формулировка (2) представляет собой обобщение концепции нормальных решений уравнения (1), и призванную обеспечить единственность решения уравнения (1) за счет введения нечеткой меры Ц [ ^т ( ^v ) ] .

Анализ семейства атрибутов ЦК (v) после надлежащей интерпретации позволит определить свойства достоверности для искомого решения уравнения (1), и дать оценку для неизвестных используемых переменных нечеткой меры Ц [т (v)], соответствующей п [и (5)]. В этой связи возникает задача физической интерпретации атрибута Ц (v), восстановленного на основе уравнения (3) по атрибуту nU(8). Между уравнением (1) и (3) есть то отличие, что в (3) исключены постоянные, связанные с размерностью. Например, для рассматриваемого ниже уравнения (4), для обратной задачи гравиметрии, его атрибутная форма не содержит гравитационную постоянную, а параметры Ц (v) и nV (8) рассматриваются в их естественной системе единиц. Алгоритм решения операторного уравнения (1) или его атрибутного аналога для нечетких мер формы (3), должен включать в себя учет существования области эквивалентности Ои(A).

Рассмотрим в качестве примера постановку линейной обратной задачи гравиметрии, как типичной задачи обращения интегрального уравнения Фредгольма первого рода с ненулевой областью эквивалентности и метод функциональных представлений для ее решения обеспечивающий выделение управляемого единственного решения [11]. Идея данного метода функциональных представлений для решения линейных обратных задач гравиметрии основана на представлении решения обратной задачи:

имеет гораздо более широкое распространение. Наиболее существенным обстоятельством, выделяющим этот метод, является представление решения являющегося многоразмерной функцией через функцию ф(x0,у0 ) = Ф(80) той же размерности, что и исходные данные, для которых построены атрибуты нечеткой меры достоверности. Представление (5) для уравнения (4) дает аналитическое представление решения через значение неограниченного оператора: ~ с (v )=

u z ( ® , П ) K ( ю , П , z )

^z 2

2 лу J K ( ® , n , z )| e - WWz dz

Здесь [ ^ - обратное преобразование Фурье, функции стоящей в квадратных скобках по паре переменных {щ п } . В других, более общих постановках, параметризующая функция ф ( x ₀, У о ) = Ф ( 8 о ) в методе функциональных представлений строится алгоритмически и реализуется в форме оператора 3 :u ( 8 ) ^ ф ( 8 ) .

Оператор (7) в вычислительной реализации заменяется регуляризованным к нему приближени- z 2 [И E0 z1

с ( x , y , z ) zdv

[ ( x ^- x 0 ) ² ( У ^- У 0 ) ² + z ² ]

u z ( x о ,У о ) /

ем, например:

в форме

^с5 ^{( v} ) =

U z ( ю,п ) K ( ®,П, z )

^с ( ^x , У , ^z ) = Л ф ( ^x 0 , У 0 ) K ( ^{x - x} о ,У ^- У о , ^z ) d⁸ 0

^{E 0}                                                 . (5)

Здесь: с ( x , y , z ) - распределение плотности в бесконечной горизонтальной полосе П c горизонтальной плоскостью ^E 0 и ограниченной по вертикали координатами z₁ >  0, z ₂ ; К ( x , y , z ) - заданная из априорных соображений положительная функция в П ; ф ( x ₀, У ₀ ) = ф ( 8 ₀ ) параметризующая решение с ( x , y , z ) функция, однозначно связанная с правой частью уравнения (4). Смысловое содержание функции K ( x , y , z ) состоит в том, что решение (4), представимое в форме (5) является оптимальным среди ^ _и ( A ) относительно критерия:

2nyJ\K ( &,п, z )| e - Wz dz + ^z l

a ( W |² +1 )

, n

Здесь a - параметр регуляризации, определяемый по принципу невязки - наибольший из обеспечивающих заданный уровень погрешности ^{5 :}| A C , ( ^v )^{- и} ( ⁸ )| ^ <  5 .

Другой пример формулировки обратной задачи для нелинейного интегрального уравнения дает обратная структурная задача гравиметрии [9]:

max с ( v Н2 и ( A )

[ K ( x, У, z )• с(v)] x,y

C ^{( E 0} ) ,   (6)

где [ K ( x , y , z ) * с ( v ) ] xy обозначает свертку по пе

ременным [ x, y ]

Метод функциональных представлений не ограничивается линейными задачами класса (4), но

Аг    Ас- (8) f, (8)           , ,

Z J-------- V 1    1 i d⁸ = ^и ( ⁸ о )

i =1 ' [( 8 — 8о )2 + f2 ( 8 )] 2

и ( 8 ₀ ) - нормированная к гравитационной постоянной компонента гравитационного поля заданного в точках ⁸ о ; ⁸ = { ^x , У } . f ( 8 ) уравнения искомых плотностных границ; А - число этих границ. Это нелинейный относительно границ f ( 8 ) , i = 1 ^ А оператор, и задача (9) не имеет однозначного решения. Метод функциональных представлений приводит к представлению решения в форме:

f , ( 8 ) = f, • ( 8 ) + А с , ( 8 ) J ф ( 8 о )   ^{А с ( 8} ) ^{f ( 8} ) d ⁸ ",

E ⁰        [ ( 8 - 8 о ) 2 + f ‘ ( 8 ) ] ‘

Представление (10) соответствует выделению единственного решения (9) оптимального относительно критерия который поясняет смысл параметров f * ( 5 ) и т ² ( 5 ) , управляющих единственностью решения уравнения(9)

JZ

Si

[ f ^{( 5} ) - f * ^{( 5}

т ² ( 5 )

d5 ^ min

Функция ^ ( 5 0 ) параметризующая все N решений находится во взаимно однозначном соответствии с правой частью в (9). Тем самым определен итерационный алгоритм решения. Как для линейных и нелинейных уравнений формулировка (3) как восстановление атрибутов нечеткой меры доверия решения по атрибутам нечеткой меры доверия входным данным остается неизменной. Это замечание говорит о возможности использования любых технологий решения обратных задач с условием согласованной с ними технологиями решения уравнений (3).

Описание алгоритма.

Шаг 1. Решается операторное уравнение (1): A o ( v ) = u _s ( 5 ) с приближенно заданной правой частью ^u s ( ⁵ ) . Находится °₅ ( ⁵ ) .

Шаг 2. Формируется атрибут ^F ( ⁵ ) . и исключением размерных параметров (например, У в (4)), и атрибутный аналог (3) уравнению (1).

Шаг 3. Решается операторное уравнение (3) и находится атрибут ц^^¥ ( ^v ) .

Шаг 4. Анализируется результат и делается вывод о возможных свойствах поля достоверности И [ о ( ^v ) ] .

Шаг 5. Изменяется атрибут X F и процесс повторяется с шага 1.

Выводы: оценка достоверности для решений уравнений первого рода может быть построена по имеющейся нечеткой мере достоверности для входных данных, на основе регуляризованного оператора к исходному уравнению. С этой целью необходимо определить атрибуты нечеткой меры достоверности входных данных, и на основе решения атрибутного аналога исходного уравнения найти атрибуты нечеткой меры достоверности искомого решения. Атрибутным аналогом уравнения является его внеразмерная форма, а восстановленные атрибуты нечеткой меры служат основанием для суждений о достоверности построенных решений исходного уравнения.