Неявная схема на основе разрывного метода Галёркина для моделирования температурных полей в нефтяном пласте

и= у(х,у),(х,у) £ dG,t > °;u\t=0 =-ф(х,у)                     (2)

Для дискретизации разрывным методом Галеркина запишем (1) в виде системы

уравнений [5]:

ди  дqx , дqy _ 0

dt дх ду ’

ди

qx + dX = °’

qy+дU = °.

у ду

Покроем рассматриваемую область треугольной сеткой и введем в каждом треугольнике △ [ систему базисных функций

{^т} ^ Р^СХ’у),                                    (4)

т = °, ...,N — 1,N = (K+^^K+i)' р К (х, у) — пространство полиномов степени не выше К.

Решение системы (3) будем искать в виде:

N-1

и1(х, у,

t) = ^ ull(t)^ll(х,y),

1=0

N-1

qlx(х,y,t) = ^ qlxl(t)^ll(х,y), 1=0

N-1 qly(х,y,t) = ^ qyl(t)^ll(х,y). 1=0

Найдем проекцию уравнений (3) на пространство кусочно-непрерывных полиномов с базисом (4). Для этого подставим (5) в (3) и умножим скалярно каждое уравнение на базисную функцию:

J ^rp h dxdy + (t^ + ^Wmdxdy = 0

J dt            J ox dy

△ i

△ i

(                  Г du1

I q X p h dxdy+ J ~^7 P h dx dy = 0,

△ i

△ i

△ i

После преобразований получим

N-1

Z du\ [  .  .

-^ J p i p^l m dx dy +

[                 f dul

J q^l_y (hi dxdy + J -^— p m dx dy = 0.

△ i

(q x -ⁿ_x + q y - n y )p h dY

-

i=0       △ _i

N-1

-ZqX‘ I i=0     △i

d^ N-1

i ^dph. . V i f pi-^-^y^—yqyi ^J

1=0

△ i

Pi-p^xdy = 0,

N-1

У qlxi J pli ph dxdy+ j(u1 • nxph dY i=0    △i                  d^

N-1

u l I p I ~dx~ dxdy = 0, i=o △

N-1

1 qyi J pi ph dxdy+ j i=0    △i

(u^l • n_y(p^l_m dY

N-1

X i ( i ^dp^lh.. _n

— У ul I pl —— dxdy= 0.

^ △

Дискретизацию по времени выполним по неявной схеме. Значения на границе ячеек положим равным полусумме значений из ячеек, которые разделяет данное ребро. Окончательно получим:

• 1    N-1

~ ^ul J pii ph dx dy + i=o △i

( N-1                  N-1

• 1    q Xi ⁿ x ^J p i p h ^dY + ^ q Xi ⁿ x ^J p i p h ^dY +

1=0        Y_i k                 1=0        Y_i k

N-1

N-1

+ У qy^y J pI phdY + 1 qy^y J pi VlhdY\ — l=0        Yik                l=0        Yik

N-1            iN-1

-^qXiJ pi-phdxdy -^qlyi J l=0     △i                      i=0

N-1

i ^h.,.  1 V f    ЯЯ pl —— dxdy = — У Щ I pl ph dxdy, dy     ^0

N-1

^J^dx^

l=0     A i

+

-

( N-1

^ u^ x J p l p^l_mdy + l=0       Yik

N-1

V i f i ^dP^. . _n ^ и J Pl~Q—dxdy = 0, l=0 A,

N-1                \

^ u f n_x J p i P^l_mdy ) ^l =0        Y ik            /

-

N-1

^ 4yi J Pi (p m dx dy +

1=0     a

+

-

( N-1

^ u{ny J p[ pmdy + l=0       Yik

N-1

dP'm^

щ I Pl~^—dxdy = 0.

1=  A,    °^y

N-1                 \

^ u^ln y J p l P^l_mdy ) ^l =0        Y ik            /

-

Здесь neigh (A_} ) - множество номеров соседних ячеек ячейки A i ; уц - ребро между ячейками с номерами i и к; и¹ - значение на предыдущем слое по времени.

Таким образом, получили систему линейных алгебраических уравнений:

Ay = b,

где матрица A - состоит из блоков размера 3N x 3N, столбец y состоит из блоков y^l , а столбец b - из блоков b^l , соответствующих i -ой ячейке сетки:

/ и0 \ uN-1 чХо y = J qlxN-1 «У0 l \4yN-1/ / 1 N-1                    \ ( ~ ^Л'1 J Pl Pl0 dx dy l=0 N-1 b<=  -Xu‘lJP‘lPN-1dxdy '            l=0   A 0 = 0 \        0        1 где i = 0, ...М — 1,М - количество ячеек расчетной сетки.

Для решения системы (9) можно воспользоваться библиотекой HYPRE [6,7].

Таким образом, предложен вычислительный алгоритм, основанный на неявной схеме для разрывного метода Галёркина, предназначенный для моделирования температурных полей в системе «скважина-трещина-пласт». Неявная схема позволяет проводить расчеты с временным шагом, ограниченным только условием требуемой точности.