Некоторые аналогии в анализе

Несобственные интегралы Определение интеграла Римана.

Разбиением т отрезка [а, Ь"] называется любая конечная система его точек х _ь i = 1,2, ..., i_T, такая, что а = х₀ <  х 1 < ••• < х ^ <  х ^ = Ь.

При этом пишут т = {х / } ^=у^Т . Каждый из отрезков [х / _-1,Х / ] называется отрезком разбиения т, его длину обозначают через Ax_t,Ax_t = x_t — x_j-1,i = 1,2, .,i_T.

Величину |т| = max Ах / назовем мелкостью разбиения т (или продолжением разбиение τ) того же отрезка, а также вписанным в разбиение τ , если каждая точка разбиения т является и точкой разбиения т ' , иначе говоря, если каждый отрезок разбиения т ' содержится в некотором отрезке разбиения т (говорят еще, что т ' - измельчение разбиения т). В этом случае пишут т ' > т или, что то же, т > т ' .

Пусть теперь на отрезке [а, Ь] определена функция / и пусть т = {х^=о-некоторое разбиение этого отрезка, Ах ^ = х ^ — X j _-1,i = 1,2, . ,i_T . А |т| -мелкость этого разбиения.

Зафиксируем произвольным образом точки fj Е [х^—^х/], i = 1,2,..., iT и составим сумму:

i=iT »т(/.<1.....f,) = £ Г(?,)Ах1.

j=1

Суммы вида c_T(f; f 1 , ., f/_T) называются интегральными суммами Римана функции ƒ.

Определение. Функция ƒ называется интегрируемой по Риману на отрезке [а, Ь], если существует такое число A, что для любой последовательности

разбиений отрезка [а, Ь] тп = (х(п)]   ,п = 1,2, .,у которой йтп^ю|т| = 0, j j=0

и для любого выбора точек  f^e [х(^),х(п)], i = 1,2,..., iTn,n = 1,2, ...

существует    предел    последовательности    интегральных    сумм

У т_п (Т; f l”) , -, f^) и он равен А:

limn^^ ^=1 / (f(n)) Дх(п) = Л где

Дх^ = х^ - х^); i = 1,2, -,iTn;n = 1,2, - .

При этих обстоятельствах число A называется конкретным интегралом Римана функции ƒ на промежутке [a, b] и обозначается как

ь

J f(x)dx.

a

Таким образом,

^b f(x)dx = Нтп^ю OTn (f; ^V--,1^), где последовательность тп такова, что Нтп^ю|тп| = 0 .

Функция, которая не ограничена на отрезке, не является интегрируемой по Риману, если функция определена на бесконечном интервале, то мы не можем говорить о ее интегрируемости по Риману просто потому, что определение интеграла применимо только к функциям, определенным на отрезке. Понятие интеграла обобщается на случай функций, определенных на неограниченных интервалах, а также неограниченные функции. Это сделано с переходом к пределу, дополнительному к пределу, по которому вводится интеграл Римана.

Определение: Пусть функция f определена на конечном или бесконечно полуинтервале [а, Ь), -«< а < Ь < +х: и интегрируема по Риману на любом отрезке [а, ту], а < у < Ь.   Если существует конечный предел lim^b Тд/М^х, то этот предел называется несобственным пределом и обозначается /^ /(х)с/х.

Таким образом: /^ f(x~)dx = lim_?; ^ _b Jj f(x)dx                        (1)

Если предел в (1) существует (и, следовательно, конечен), то говорят также

Ь что несобственный интеграл J f(x)dx сходится, в противном случае - что он расходится. В отличие от несобственного интеграла обычный интеграл Римана называют иногда собственным интегралом.

Теорема: критерий Коши сходимости несобственных интегралов.

Для сходимости интеграла J^$(x')dx необходимо и достаточно, чтобы для любого ^ > 0 существовало такое число л, а < л <  Ь, что если

Л < л' < Ь, л < л" < Ь, то ‘‘ 4‘ f (x)dx| < f.

Числовые ряды

Определение:   Выражение (символ) вида u1 + U2 + ... + Un + ..., обозначаемое в виде En=i Un, называется рядом.

Определение: Пусть дана последовательность чисел U_n, п = 1,2, ....

Составим новую последовательность чисел  sn, п = 1,2, ^ следующим образом:

S i = U 1 ;

• S 2    = U i +U 2 ;

• S 3    = U i +U 2 +U 3 ;

Sn = Ui + U + ••• + Un,

Пара последовательностей  {Un} и {sn}  называется числовым рядом

(подробнее: числовым рядом с общим членом Un) и обозначается через

Ui + U2 + ••• + Un + •", или

Zh^Ut                         (1)

Элементы исходной последовательности {uJ называются членами ряда (1), а элементы последовательности {5_n} - частичными суммами этого ряда, при этом п_п называется и- м членом ряда, а конечная сумма s_n - п-й частичной. Если последовательность частичных сумм ряда {s_n} сходится, то он называется сходящимся рядом, а если она расходится, то расходящимся.

Определение:

Ряд, членами которого являются члены ряда (1), начиная с (п + 1) - го взятые в том же порядке, что и в исходном ряде, называется -м остатком ряда (1) и обозначается через ^ k= _n+1 и_к или и_n+1и_n+ 2 + — Определение:

Если ряд (1) сходится, то предел s = limn^ro sn называется его суммой. В этом случае пишут s = и1 + и2 + —+ ип + — или s = Zn=iUn                                 (2)

Каждая ряд представляет собой пару из двух последовательностей, первая может быть взята произвольно (последовательность членов цепочки), а вторая составлена определенным образом из членов первой (последовательность частичных сумм членов ряда). Однако ряд однозначно определяется каждой из этих последовательностей. Действительно, если дана последовательность слагаемых и_п ряда, то члены последовательности ее частичных сумм находятся, согласно определению 1, по формулам s_n = и 1 + и₂ + — + и_п,п = 1,2, ^. Если же задана последовательность ряда {s_n} частичных сумм ряда, то члены ^ п= ₁и_п определяются по формулам и 1 = s₁,и_n = s_n- s_n-1,n = 2,3, .... Отсюда следует, что для всякой последовательности всегда можно найти такой ряд, что будет последовательностью его частичных сумм.

Если п - й остаток ряда (1) сходится, то его сумму будем обозначать через г_п : ^  Z k=n+1 ^и к                                 ⁽³⁾

и называть для кратности просто остатком ряда.

Теорема 1 (Необходимое условие сходимости ряда)

Если ряд (1) сходится, то lim_n ^ _ro и_п = 0.                             (4).

Используя эту теорию, иногда можно определить расходимость рассматриваемого ряда: если условие (4) не удовлетворяется конкретным рядом, то он расходится.

Критерий Коши сходимости ряда

Для того, чтобы последовательность действительных чисел {sn} была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для каждого £ > 0 существовал такой номер п£ , что для любых номеров п > п£ и любых целых р > 0 выполнялось неравенство |sn+p — sn-1| < £ .

Для удобства использования этого критерия в случае рядов (так как этот критерий можно легко перефразировать применительно к рядам) в данном случае рядов записываются разность s_n+p — s_n-1 вместо разности s_n+p — s_n . При этом, поскольку сумма s₀ не определена, будем считать, по определению, что s₀ = 0.

Теорема 2 (критерий Коши)

Для того, чтобы ряд Z n= ₁u_n сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого £ > 0 существовал такой номер п_£ , что при любом п > п_£ и любом целом р > 0 выполнялось неравенство

|un + ип+1 + ‘' - + ип+Р1 < £ .                          (5)

Из критерия Коши сходимости ряда легко можно получить снова необходимое условие (4) сходимости ряда. Действительно, в этом случае неравенство (5) выполняется для любого р > 0 и, в частности, для р = 0. Поэтому для всех п > п_£ имеем |и_п| < £ , а это в силу произвольности £ > 0 , и означает, что lim_n ^ _ro и_п = 0 .