Некоторые достаточные условия устойчивости линейного вольтеррова интегро-дифференциального уравнения третьего порядка с неполными ядрами

Бесплатный доступ

Все фигурирующие функции и их производные являются непрерывными и соотношения имеют место при ИДУ - интегро-дифференциальное уравнение; под устойчивостью линейного вольтеррова ИДУ третьего порядка понимается ограниченность при всех его решений и их первых, вторых производных.

Интегро-дифференциальное уравнение третьего порядка, неполные ядра, устойчивость решений, интегральное неравенство, метод вспомогательных ядер, нестандартный метод сведения к системе, лемма люстерника-соболева, иллюстративный пример

Короткий адрес: https://sciup.org/170205044

IDR: 170205044   |   DOI: 10.24412/2500-1000-2024-4-5-84-88

Текст научной статьи Некоторые достаточные условия устойчивости линейного вольтеррова интегро-дифференциального уравнения третьего порядка с неполными ядрами

Решается следующая

Задача . Установить достаточные условия устойчивости линейного ИДУ третьего порядка типа Вольтерра с неполными ядрами вида:

x w( t) + a2 (t) x( t) + ax (t) x 'tt) + a0 (t) x (t) +

t

+J[Qo(t,t)x(t) + Q1(t,t)x'(z)]dT = f (t),  t > 10

t 0

в случае, когда ядра Qk ( t , т ) ( k = 0, 1) - немалые, т. е. удовлетворяют условиям:

® t

JJ Qk (t ,т) drdl = w (k = 0,1).          (Qk)

t 0 t 0

Отметим, что в ИДУ (1) отсутствует ядро Q 2 ( t , т ) и при условиях (Q k ) исследование устойчивости такого ИДУ осложняется. Насколько нам известно, поставленная нами задача об устойчивости для ИДУ (1) с условиями (Q k ) ранее не изучена. В настоящей работе сначала применяется метод вспомогательных ядер из [1], затем используются нестандартный метод сведения к системе [2], метод частичного срезывания [3], и устанавливаемые достаточные условия устойчивости ИДУ (1) будут новыми.

Ниже приведем методику решения поставленной задачи. В ИДУ, следуя [1], вводим некоторое вспомогательное ядро H 2 ( t , т ) c x " ):

Q ( t , т ) x( т ) + Q i ( t , т ) x' (? ) = Q ( t , т ) x( т ) + Q i ( t , т ) x' ) + H 2 ( t , т ) x ”(т ) - H 2 ( t , т ) x ”(т )

и используя преобразование с интегрированием по частям:

tt

—J H2 (t ,r) x"(r) dr = - H2 (t, t) x ‘(t) +H2 (t, t0) x'(t0) + JH 2t (t ,r ) x'(r ) dr, t0

t 0

заданное ИДУ (1) приведем к нагруженному ИДУ вида:

x"' ( t ) + a2 ( t ) x'' ( t ) + a (t) x' ( t) + a 0 ( t ) x ( t ) +

'                                                                                                       (2)

+J[Qo(tTx(r) + Q(t, T)x'(r) + H2(t,T)x''(r)]dr = f (t) — H2(t,to)x'(to), t0

где a ( t ) = a^t ) H 2( t , t ),       Q ( t , r ) ^ Q 1 (t , r ) + H 2 r (t , r ).

Далее в ИДУ (2) сделаем следующую нестандартную замену [2]:

x'(t) + i2 x (t) = W (t) y (t),

где 0 i - некоторый вспомогательный параметр, причем 0 W ( t ) - некоторая весовая функция, y ( t ) - новая неизвестная функция.

Тогда ИДУ третьего порядка сводится к эквивалентной системе из одного дифференциального уравнения второго порядка (3) и из одного ИДУ первого порядка для y ( t ), и полученная система исследуется аналогично методу из [2] с развитием метода частичного срезывания [3].

Таким образом, после нестандартной замены (3) рассматриваемое нами ИДУ третьего порядка (1) сводится к следующей эквивалентной системе, аналогичной из статьи [2].

x'' ( t ) + i x ( t ) = W ( t ) y ( t ),

y' ( t ) + b 2 ( t ) y ( t ) + b ( t ) x' ( t ) + b 0 ( t ) x ( t ) +                                             (4)

+J [P0 (t, r)x(r) + P (t, r)x'(r) + K(t, r)y(r)] dr = F(t),           t > 10, где         1 '0                 b2.).a2.) + .(t)(W(.., b,(t).(W(tMa(t) — Г], b0(t) = (W(t))-1[a0(t)-i2a2(t)], Po(t,r) = (W(t))-1[Q0(t,r) -i2H2(t,r)], P(t,r) ^ (W(t))-1 Q(t,r),

K ( t , r ) = ( W ( t )) - 1 H 2 ( t , r ) W ( r ), F ( t ) = ( W ( t )) - 1[ f ( t ) - H 2 ( t , 1 0 ) x' ( 1 0 )].

Пусть [3]:

H 2 ( t , t ) ^K^ t , T ),                                2 )

i = 1

Wi ( t )  ( i = 1.. n ) - некоторые срезывающие функции,

T ( t ) = K ( t , t ) ( i ( t ) )- 2,         M i ( t , r ) = K i ( t , r ) (^ ( r ) )- 1    ( i = 1.. n ).

Как отмечено в [3], ядра M ;( t , r )  ( i = 1.. n ) называются частично срезанными.

Для произвольно фиксированного решения (x (t), y (t)) системы (4), ее первое уравнение умножаем на x'(t) [4, с. 194-217], второе-на y(t) , затем сложим полученные соотношения, проведем интегрирование в пределах от t до t , в том числе по частям, при этом вводим условия (K), функции ^(t), T(t), M'Xt,т) (i = 1..n), используя лемму из [3]. Тогда получаем следующее тождество:

tst

-2 J j M‘ (s ,т) Y (т, t0) у (т) dr ds ]=c + 2 J W (s) y (s) x'(s) ds + t0 t0

ts

+2 j у (s) {F (s) - b (s) x'(s) - b0 (s) x (s) -\ [ Po (s, т) x (т) +p (s, т) x '(т)] d т} ds, t0

где Y ( t , t ) = j ^ ( n ) у( n ) d n ( i = 1.. n ), c = ( x '( 1 0))2 + A (x ( 1 0))2 + ( у ( 1 0))2. t 0

Теорема . Пусть 1) A ^ 0 , W ( t ) 0, выполняется условие ( K); 2) b 2 ( t ) 0;

  • 3)    T ( t ) 0, существуют функции T *( t ) e L(t0 , от ) такие, что T *( t ) T *( t ) T ( t ) ( i = 1.. n );

  • 4)    W ( t ) + F ( t )| + | b, ( t )| + j| p .( t, т )| d т + \| M ' ( t, т )|( T ( т )) - 2 d т e L ([ 1 0, от ), R + \{0}) ( k = 0,!; i = 1. n ).         t 0                 t 0

Тогда для любого решения ( x ( t ), у ( t )) справедливы следующие утверждения:

x ( k ) ( t ) = O (1)  ( k = 0,1),                                      (6)

у ( t ) = O (1),

где O (1) -символ Э. Ландау, т.е. | O (1)| q < от -символ ограниченности.

Пусть, кроме того, 5) W ( t ) = O (1). Тогда для ИДУ (1) x"(t ) = O (1), т.е. ограничены x ( t ), x '( t ), x "( t ), что эквивалентно устойчивости линейного вольтеррова ИДУ третьего порядка (1).

Схема доказательства этой теоремы такова. Введем обозначение:

t

n

u ( t ) = ( x ’( t ))2 + A ( x ( t ))2 + ( у ( t ))2 + 2 \ b 2 ( s )( у ( s ))2 ds + У T ( t X Y ( t , 1 0 ))2.      (8)

t 0

i = 1

Тогда в силу условий 1)-3) теоремы вытекает, что u(t) > 0 и из тождества (5) переходим к интегральному неравенству u (t) < с. + 2\ {| F (s )| (u (s ))2 + [W (s) + |b,( s )|+Al - A0( s )|] u (s) + t0

+ ( u ( s ) ) 2 \ [| P 0 ( s , т )| И  + p ( s , т )| + I M i-т ( s , т ) ( u ( т ) ) 2 ] ^} г                      (9)

t 0

К интегральному неравенству применяется лемма 1 [5] и в силу условий 4), 5) получается, что u (t) = O (1).

Из оценки (10), с учетом обозначения (8), имеем утверждения (6), (7) теоремы. Наконец, на основании условия 5) теоремы из нестандартной замены (3) вытекает, что x "( t ) = O (1), что завершает доказательство нашей теоремы.

Пример . Для ИДУ третьего порядка:

x "\ t ) +

+ 1 ■!

! I

1 + e ^ ( t + 2)

H 2 ( t , т )

e t |cos t| ( t + т + 3) 4

x"(t ) + [ 1 + e4t sin2 1 e t   J x f( t ) +

x ( т ) +

13 e t |sin5 T

H 2 T ( t , T )

19|cos t|     i~j

1--1Л e1 t 1 ( t + 2)

( t + 2)2               7

x '( т ) > d T =

e |cos3 t|

t 2 + 9

x ( t ) +

, t 0, (*)

выполняются           все           условия           теоремы           при

H ( t , т ) = [ 1 + ( t т ) e44 t ] 2 e + 3 т sin t sin т , A = 1, W ( t ) = e~t , здесь t 0 = 0, b 2 ( t ) = e ^( t + 2),

19|cost|                  Icost| a (t) ^ 1 — e - t ф,   b (t) = — e ~ , b0 (t) =--1, p (t) =--1Ц,

  • 1               0        ( t + 2)2    0        ( t + т + 3)4

Q ( t , т ) = Q 1 ( t , т ) + H 2 т ( t , т ),

P ( t , т ) =------ , K ( t, т ) = [ 1 + ( t т ) e 14 1 J 2 e2t + 2 т sin t sin т , n = 1, / ( t ) = e2t sin t ,

  • 1           e + т + 4            L              J                            1

T ( t ) = 1, Ml ( t , т ) = [ 1 + ( t т ) e 14 ] 2 e2 sin t , M ( t , т ) = —---sin t—- . Значит, для при-

[ 1 + ( t т ) e-14 t ] 2

веденного ИДУ (*) справедливы все утверждения нашей теоремы.

Заключение. В заключение отметим, что нам удалось найти класс ИДУ третьего порядка вида (1), для которого выше сформулированная нами задача решаема.

Список литературы Некоторые достаточные условия устойчивости линейного вольтеррова интегро-дифференциального уравнения третьего порядка с неполными ядрами

  • Искандаров С., Абдирайимова Н.А. Об асимптотической устойчивости решений линейного вольтеррова интегро-дифференциального уравнения третьего порядка с неполными ядрами // Международный журнал гуманитарных и естественных наук. - 2020. - № 2-1 (41). - С. 179-184. EDN: IGCWRF
  • Искандаров С. Об одном нестандартном методе сведения к системе для линейного вольтеррова интегро-дифференциального уравнения третьего порядка // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. - Бишкек: Илим, 2006. - Вып. 35. - С. 36-40.
  • Искандаров С., Шабданов Д. Н. Метод частичного срезывания и ограниченность решений неявного вольтеррова интегро-дифференциального уравнения первого порядка // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. - Бишкек: Илим, 2004. - Вып. 33. - С. 67-71.
  • Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование: Пер. с фр. - М.: Наука, 1976. - 288 с.
  • Ведь Ю.А. Пахыров З. Достаточные признаки ограниченности решений линейных интегро-дифференциальных уравнений // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям в Киргизии. - Фрунзе: Илим, 1973. - Вып. 9. - С. 68-103.
Статья научная