Некоторые достаточные условия устойчивости линейного вольтеррова интегро-дифференциального уравнения третьего порядка с неполными ядрами

Решается следующая

Задача . Установить достаточные условия устойчивости линейного ИДУ третьего порядка типа Вольтерра с неполными ядрами вида:

x w( t) + a2 (t) x( t) + ax (t) x 'tt) + a0 (t) x (t) +

t

+J[Qo(t,t)x(t) + Q1(t,t)x'(z)]dT = f (t),  t > 10

t 0

в случае, когда ядра Q_k ( t , т ) ( k = 0, 1) - немалые, т. е. удовлетворяют условиям:

® t

JJ Qk (t ,т) drdl = w (k = 0,1).          (Qk)

t 0 t 0

Отметим, что в ИДУ (1) отсутствует ядро Q ₂ ( t , т ) и при условиях (Q k ) исследование устойчивости такого ИДУ осложняется. Насколько нам известно, поставленная нами задача об устойчивости для ИДУ (1) с условиями (Q k ) ранее не изучена. В настоящей работе сначала применяется метод вспомогательных ядер из [1], затем используются нестандартный метод сведения к системе [2], метод частичного срезывания [3], и устанавливаемые достаточные условия устойчивости ИДУ (1) будут новыми.

Ниже приведем методику решения поставленной задачи. В ИДУ, следуя [1], вводим некоторое вспомогательное ядро H ₂ ( t , т ) c x " (т ):

Q ( t , т ) x( т ) + Q i ( t , т ) x' (? ) = Q ( t , т ) x( т ) + Q i ( t , т ) x' (т ) + H ₂ ( t , т ) x ”(т ) - H ₂ ( t , т ) x ”(т )

и используя преобразование с интегрированием по частям:

tt

—J H2 (t ,r) x"(r) dr = - H2 (t, t) x ‘(t) +H2 (t, t0) x'(t0) + JH 2t (t ,r ) x'(r ) dr, t0

t 0

заданное ИДУ (1) приведем к нагруженному ИДУ вида:

x"' ( t ) + a₂ ( t ) x'' ( t ) + a (t) x' ( t) + a ₀ ( t ) x ( t ) +

'                                                                                                       (2)

+J[Qo(tTx(r) + Q(t, T)x'(r) + H2(t,T)x''(r)]dr = f (t) — H2(t,to)x'(to), t0

где a ( t ) = a^t ) — H ₂( t , t ),       Q ( t , r ) ^ Q 1 (t , r ) + H 2 r (t , r ).

Далее в ИДУ (2) сделаем следующую нестандартную замену [2]:

x'(t) + i2 x (t) = W (t) y (t),

где 0 <  i - некоторый вспомогательный параметр, причем 0 <  W ( t ) - некоторая весовая функция, y ( t ) - новая неизвестная функция.

Тогда ИДУ третьего порядка сводится к эквивалентной системе из одного дифференциального уравнения второго порядка (3) и из одного ИДУ первого порядка для y ( t ), и полученная система исследуется аналогично методу из [2] с развитием метода частичного срезывания [3].

Таким образом, после нестандартной замены (3) рассматриваемое нами ИДУ третьего порядка (1) сводится к следующей эквивалентной системе, аналогичной из статьи [2].

x'' ( t ) + i x ( t ) = W ( t ) y ( t ),

’ y' ⁽ t ) + b 2 ⁽ t ) y ⁽ t ) + b ⁽ t ) ^x' ⁽ t ) + b 0 ⁽ t ) ^{x (} t ) +                                             ⁽⁴⁾

+J [P0 (t, r)x(r) + P (t, r)x'(r) + K(t, r)y(r)] dr = F(t),           t > 10, где         1 '0                 b2.).a2.) + .(t)(W(.., b,(t).(W(tMa(t) — Г], b0(t) = (W(t))-1[a0(t)-i2a2(t)], Po(t,r) = (W(t))-1[Q0(t,r) -i2H2(t,r)], P(t,r) ^ (W(t))-1 Q(t,r),

K ( t , r ) = ( W ( t )) ^{- 1} H 2 ( t , r ) W ( r ), F ( t ) = ( W ( t )) ^{- 1}[ f ( t ) - H 2 ( t , 1 0 ) x' ( 1 0 )].

Пусть [3]:

H 2 ( t , t ) ^K^ t , T ),                                (Н 2 )

i = 1

Wi ( t )  ( i = 1.. n ) - некоторые срезывающие функции,

T ( t ) = K ( t , t ) ( i ( t ) )^{- 2},         M i ( t , r ) = K i ( t , r ) (^ ( r ) )^{- 1}    ( i = 1.. n ).

Как отмечено в [3], ядра M _;( t , r )  ( i = 1.. n ) называются частично срезанными.

Для произвольно фиксированного решения (x (t), y (t)) системы (4), ее первое уравнение умножаем на x'(t) [4, с. 194-217], второе-на y(t) , затем сложим полученные соотношения, проведем интегрирование в пределах от t до t , в том числе по частям, при этом вводим условия (K), функции ^(t), T(t), M'Xt,т) (i = 1..n), используя лемму из [3]. Тогда получаем следующее тождество:

tst

-2 J j M‘ (s ,т) Y (т, t0) у (т) dr ds ]=c + 2 J W (s) y (s) x'(s) ds + t0 t0

ts

+2 j у (s) {F (s) - b (s) x'(s) - b0 (s) x (s) -\ [ Po (s, т) x (т) +p (s, т) x '(т)] d т} ds, t0

где Y ( t , t „ ) = j ^ ( n ) у( n ) d n ( i = 1.. n ), c = ( x '( 1 ₀))² + A (x ( 1 ₀))² + ( у ( 1 ₀))². t 0

Теорема . Пусть 1) A ^ 0 , W ( t ) >  0, выполняется условие ( K); 2) b ₂ ( t ) >  0;

• 3)    T ( t ) >  0, существуют функции T *( t ) e L(t₀ , от ) такие, что T *( t ) <  T *( t ) T ( t ) ( i = 1.. n );

• 4)    W ( t ) + F ( t )| + | b, ( t )| + j| p .( t, т )| d т + \| M ' ( t, т )|( T ( т )) - ² d т e L ([ 1 ₀, от ), R + \{0}) ( k = 0,!; i = 1. n ).         t ⁰                 t ⁰

Тогда для любого решения ( x ( t ), у ( t )) справедливы следующие утверждения:

x ^{( k} ) ( t ) = O (1)  ( k = 0,1),                                      (6)

у ( t ) = O (1),

где O (1) -символ Э. Ландау, т.е. | O (1)| <  q < от -символ ограниченности.

Пусть, кроме того, 5) W ( t ) = O (1). Тогда для ИДУ (1) x"(t ) = O (1), т.е. ограничены x ( t ), x '( t ), x "( t ), что эквивалентно устойчивости линейного вольтеррова ИДУ третьего порядка (1).

Схема доказательства этой теоремы такова. Введем обозначение:

t

n

u ( t ) = ( x ’( t ))² + A ( x ( t ))² + ( у ( t ))² + 2 \ b 2 ( s )( у ( s ))² ds + У T ( t X Y ( t , 1 0 ))².      (8)

t 0

i = 1

Тогда в силу условий 1)-3) теоремы вытекает, что u(t) > 0 и из тождества (5) переходим к интегральному неравенству u (t) < с. + 2\ {| F (s )| (u (s ))2 + [W (s) + |b,( s )|+Al - A0( s )|] u (s) + t0

⁺ ( u ⁽ s ) ) ² \ ^[| ^P 0 ^{( s , т} )| И  ^{+ p ( s , т} )| ⁺ I M i-т ^{( s , т )} ( ^{u ( т} ) ) ^{2 ]} ^^} г                      ⁽⁹⁾

t 0

К интегральному неравенству применяется лемма 1 [5] и в силу условий 4), 5) получается, что u (t) = O (1).

Из оценки (10), с учетом обозначения (8), имеем утверждения (6), (7) теоремы. Наконец, на основании условия 5) теоремы из нестандартной замены (3) вытекает, что x "( t ) = O (1), что завершает доказательство нашей теоремы.

Пример . Для ИДУ третьего порядка:

x "\ t ) +

+ 1 ■!

! I

1 + e ^ ( t + 2)

H 2 ( t , т ) —

e ^t |cos t| ( t + т + 3) ⁴

x"(t ) + ^[ 1 + e⁴t sin² 1 — e t   J x ^f( t ) +

x ( т ) +

13 e t |sin5 T

H 2 _T ( t , T )

19|cos t|     i~j

1--¹Л e¹ t ¹ ( t + 2)

( t + 2)^{2               7}

x '( т ) > d T =

e ‘ |cos3 t|

t ² + 9

x ( t ) +

, t >  0, (*)

выполняются           все           условия           теоремы           при

H ( t , т ) = [ 1 + ( t — т ) e⁴⁴ t ] ² e ^{+ 3 т} sin t sin т , A = 1, W ( t ) = e~t , здесь t ₀ = 0, b ₂ ( t ) = e ^( t + 2),

19|cost|                  Icost| a (t) ^ 1 — e - t ф,   b (t) = — e ~ , b0 (t) =--1, p (t) =--1Ц,

• ^{1               0}        ( t + 2)^{2    0}        ( t + т + 3)⁴

Q ( t , т ) = Q 1 ( t , т ) + H 2 т ( t , т ),

P ( t , т ) =------ , K ( t, т ) = [ 1 + ( t — т ) e ^{14 1} J ² e²t ^{+ 2 т} sin t sin т , n = 1, / ( t ) = e²t sin t ,

• ¹           e + т + 4            ^{L              J                            1}

T ( t ) = 1, M_l ( t , т ) = [ 1 + ( t — т ) e ¹⁴ ‘ ] ² e²‘ sin t , M ‘ ( t , т ) = —---sin t—- . Значит, для при-

[ 1 + ( t — т ) e-^{14 t} ] ²

веденного ИДУ (*) справедливы все утверждения нашей теоремы.

Заключение. В заключение отметим, что нам удалось найти класс ИДУ третьего порядка вида (1), для которого выше сформулированная нами задача решаема.