Некоторые краевые задачи для матричных функций

Автором ранее изучались краевая задача Римана-Гильберта с разрывными граничными условиями для обобщенной системы уравнений Коши-Римана, аналоги этой задачи для системы уравнений Моисила-Теодореско в трехмерном пространстве и для системы уравнений в четырехмерном пространстве, полученной из условий дифференцируемости кватернион-функций [1-4]. Все перечисленные системы уравнений являются эллиптическими по классификации Петровского. В дальнейшем с единых позиций изложены фрагменты теории функций комплексной переменной и кватернион-функций [1, 3]. Удобным и наглядным оказался матричный способ изложения. В этом случае изученные задачи трансформируются в краевые задачи для уравнений относительно матричных функций. Такой подход позволяет обобщить исследования систем уравнений, которые названы неклассическими. В класс таких систем входят эллиптические системы, системы составного типа, а также системы, которые не имеют определенного типа по классификации Петровского.

1 . Матричная форма системы уравнений Коши-Римана и ее многомерных аналогов Введем матрицы E 0 'I 1 > , I 0, удовлетворяющие следующим условиям: E E E 2 E, E I I E I, I2 E. Тогда матрица X x E x I xi  -хг xx , где xx, x2 e R, называется матричным представле- нием комплексного числа (комплексным числом) [1].

Функции комплексной переменной определяются как отображения из множества комплексных чисел

C

X xE xI

^x i

- x 2

_v x 2

^x i

, x , x ₂ e R >

в это же множество. Они имеют вид

U ( X ) = u_x ( X ) E + u₂ ( X ) I =

u_k : D^ R ,

u_x ( X )   -u ₂ ( X )

u ₂ ( X )    u_x ( X )

k = 1,2.

;

В силу изоморфизма пространств C и R² представление функции U ( X ) можно также запи-

сать в виде

U ( X ) = u_x ( x ₁, x ₂) E uu₂ ( x_x , x₂ ) I =

u_x ( x_x , x ₂)    -u ₂ ( x_x , x ₂)

•

u ₂ ( x_x , x ₂)     u_x ( x_x , x ₂)

Условия дифференцируемости этих матричных функций имеют вид

5 u_x ( x_x , x ₂)   S u ₂ ( x ,, x ₂)

9 u₂ ( x ,, x ₂)   S u , ( x ,, x ₂)

x

x

x

x

<9 u ₂ ( x ,, x ₂)    9u_x ( x ,, x ₂)

5 u_x ( x ,, x ₂)   <9 u ₂ ( x , x ₂)

= 0,

x

x

x

x

где 0 - нулевая матрица.

Левую часть уравнения обозначим символом KU , т.е.

9u₂ ( X j, x ₂)   с Ц ( x , x ₂)

KU

x

x

x

x

<9 u ₂ ( x , x ₂)    cu, ( x ,, x ₂)

<9 u_x ( x, , x ₂)   5 u ₂ ( x , x ₂)

•

x

x

x

x

Под этим выражением понимаем результат действия матричного дифференциального оператора Коши-Римана на матричную функцию U ( X ) .

Если возьмем функцию

U(X) = X = Ex - Ix2 = Ex +1(-x2), то

( 2

0"

2V

= 2 E .

Поэтому, если оператор Коши-Римана возьмем в виде

5 u_x ( x , x ₂)   S u ₂ ( x , x ₂)

xx

KU=-     1        2

• ²   d u ₂ ( x , x ₂)   9u_x ( x , x ₂)

xx

9u₂ ( x , x ₂)    uu_x ( x , x ₂ )^

xx

9u_x ( x , x ₂)    uii( ( x_v , x ₂)

xx

то будет справедлива формула

KX n = nX^{n 4}.

Матричный оператор Коши-Римана можно записать в виде

Тогда оператор

K = 1

EI xx

* 1

K ^1

EI

5 A ",      x x 2

будем называть матричным сопряженным оператором Коши-Римана.

В области D рассматриваем уравнения (обычное и обобщенное) Коши-Римана

KU = ¹ EU+XU =0

2      ^x       y

и

LU^KU^CU = F ( X ),

C ( X ) =

' c i^{( x} , У ) _v C 2^{( x} , У )

-^c 2^{( x} , У Г c i^{( x} , У ) ,

f1(x, y)  -f-(x, у Г v f>( x, У)   fl(x, У) ;

Задача 1. В области D найти решение уравнения (1), удовлетворяющее условию ^u i|_r = K ^x , У ).

Если D = X: |X| < 1 есть единичный круг на плоскости, а /(x, y) е C(Г), то решение задачи 1 дается формулой Шварца

U ( X ) ⁼      Т^ Г ^’ de*^!c ,

2-т     -X где e = el6, c = u2(0,0) .

Эта формула позволяет восстановить функцию, аналитическую в области, по заданным значениям ее действительной части на границе этой области с точностью до мнимой кон- станты.

Задачу 1 также называют задачей Дирихле для аналитических функций или задачей Дирихле для уравнения Коши-Римана.

В случае обобщенного уравнения Коши-Римана постановка и корректность задачи Дирихле зависят от младших членов. В частности, существенное влияние может оказать сингулярность коэффициентов.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Для любой функции G ( X ) , аналитической в области D_s и непрерывной в

D , существует единственное классическое решение задачи (4), (5).

Доказательство. Рассмотрим функцию

U ( X ) = XH ( X ) -G ( X ), где H ( X ) - произвольная аналитическая в D функция. Из свойств оператора Коши-Римана следует

KU = KX H + X KH -KG = H .

Значит, функция U ( X ) является гладким решением уравнения (4). Полагаем H ( X ) = s X XG ( X ).

Тогда

U ( X ) = G ( X ) ^² X |² -1 , U ^ = 0.

Таким образом, мы доказали существование классического решения задач (4), (5).

Докажем его единственность. Допустим, что V ( X )-любое другое классическое решение этой задачи. Тогда функция W ( X ) = U ( X ) -V ( X ) есть решение однородной задачи (4), (5), т.е.

X GW -W = 0, W |_r =0.

Любое гладкое решение однородного уравнения имеет вид: W ( X ) = XH ( X), где H(X) - аналитическая в области D, функция. Причем в силу краевого условия на функцию W(X) выполнено условие H|r = 0. Отсюда по принципу максимума модуля аналитической функции следует, что H(X) = 0 всюду в области DE . Поэтому W(X) = 0, z е DE, и U ( X ) V ( X).

Далее предлагается очень простая по постановке краевая задача Римана-Гильберта с разрывными граничными условиями.

Пусть D = {( x , y ) е R ²1 0 <  x < k ,0 <  y } - прямоугольник, а Г - его граница.

Задача 3. В прямоугольнике D найти решение обобщенного уравнения Коши-Римана, удовлетворяющее граничным условиям

U ( x ,0) = u ( k , y ) = u ₂ (0, y ) = u ₂ ( x , l ) = 0.

Доказана

Теорема 2. Если матрица C(x,y) непрерывна в D и Зо? = const, 4 2( k2 + l2) 0<а<------- , kl такое, что ||С^|| < cf||U|| , то для Fix(x,y) е L2(D) существует единственное слабое обобщенное решение задачи (2), (6) U(x, y)е Hv, которое почти всюду в области D удовлетворяет уравнению (2) [2].

Дальнейшие исследования привели к матричным функциям странстве. В основу положена теория кватернионов [3, 4].

Пусть

в четырехмерном про-

5 =

'1

< 0

0" 0

, E 2 =

' 0

. 0

-1

0 '

-1

0 ,

, E

' 0

. 0

-1

-1

0"

0,

, E 4

. 1

-1

.

Если x = ( x , x ₂, x ₃, x ₄) -некоторая точка пространства R 4 , то ей взаимно однозначно 4

соответствует матрица X     x E , которая называется кватернионом. Пространство ква- i=1

тернионов с указанным базисом обозначаем символом 7?4.

Пусть на некотором множестве D  R ⁴ определена вектор-функция

U^T(x) = (u_i(x),u₂(x),u₃(x),u₄(x)),     U : D    R⁴ .

Тогда множеству D взаимно однозначно соответствует множество Do R ⁴, на котором определена функция (кватернион-функция)

U(X) = £ui(x)Et,   U: D^ R4, i=1

взаимно однозначно соответствующая вектор-функции U ( x ) .

Для удобства в дальнейшем мы не будем делать различий в обозначениях вектор-функции и кватернион-функции.

Согласно определению кватернион-функция имеет вид:

	4 ux ( x )	- u 2 ( x )	- u 3 ( x )	- u 4( x p
U ( X ) =	u2 ( x )	ux ( x )	- u 4( x )	u 3 ( x )
	u 3 ( x )	u 4( x )	ux ( x )	- u 2 ( x )
	v u 4( x )	- u 3 ( x )	u 2 ( x )	u 1( x ),

Условия дифференцируемости этой функции имеют вид:

' ui x - ( x )	- u 2 x i ( x )	- u 3 x i ( x )	- u 4 x ( x Г		u 2 x 2 ( x )	u i x 2 ( x )	u 4 x 2 ( x )	- u 3 x 2 ( x )'
u 2 x i ( x )	u i x i ( x )	- u 4 x ( x )	u 3 x ( x )		- u i x 2 ( x )	u 2 x 2 ( x )	- u 3 x 2 ( x )	- u 4 x 2 ( x )
u 3 x ( x )	u 4 x i ( x )	u i x i ( x )	- u 2 x ( x )		- u 4 x 2 ( x )	u 3 x 2 ( x )	u 2 x 2 ( x )	u i x 2 ( x )
v u 4 x ( x )	- u 3 x ( x )	u 2 x ( x )	u i xi (x ) ,		v u 3 x 2 ( x )	u 4 x 2 ( x )	- u i x 2 ( x )	u 2 x 2 ( x ) ,

' u 3 x3( x ) - u 4 x3( x ) uix3( x ) u 2 x3( x ) " < u 4 x4( x ) u 3 x4( x ) - u 2 x4( x ) uix4( x Г u 4 x (x ) u 3 x (x ) u 2 x3( x ) - uix (x ) - u 3 x4( x ) u 4 x4(x ) uix4( x ) u 2 x4( x ) - uix (x ) - u 2 x3( x ) u 3 x3( x ) - u 4 x3( x ) u 2 x4( x ) - uix4(x ) u 4 x4(x ) u 3 x4( x )  , C u 2 x3( x ) ui x (x ) u 4 x3( x ) u 3 x3( x ) , Cuix4( x ) - u 2 x4( x ) - u 3 x4( x ) u 4 x4( x ), и записываются как

TU ( X ) = -X E , —= 0.

4£ * Xx,

Теперь рассмотрим систему уравнений

LU = TU + AU = F(x),                           (7)

где F ( x ) - заданная четырехмерная вектор-функция.

В качестве области, где рассматривается эта система уравнений, возьмем слой

D = { x = (x, , x₂ , x ₃, x ₄) e R ⁴: 0 <  x < k , x' = ( x ₂, x ₃, x ₄) e R ³}, границу которого обозначим через Г.

Задача 3. В слое D найти решение системы уравнений (7) , если заданы граничные условия u1 |x=1 =u2 x=k =u3 | Г =U4|r = 0-                            (8)

Класс вектор-функций U ( x ) e C ” ( D ) П W^ ² ( D ), удовлетворяющих условиям (8), обозначаем через C_L , замыкание C_L в норме пространства W 1( D ) - через S _L .

Сопряженная задача 3*. В слое D найти решение системы уравнений

LV = T*V+A*V = G ( x) при выполнении краевых условий v,    = vd n=vdr=v4|r = 0.(8*)

1 x, =k      2 x1=0      3|Г 4|ГV /

Отметим, что в силу кососимметричности матриц Е₁ , i = 2,4, формально сопряженный оператор имеет вид

T*V = -EV + У EV . 1 x1

i =2

Также естественным образом определяются классы вектор-функций C_L ., S. .

Теорема 3. Для UU)x) е S_L ,    ( W (x) е S_L * ) справедливы неравенства

Il ^TU\ I U ,L   ⁽1 T'V I1гI V iL)’

IlTU\L ^L-  <1T"VIL ИФ’ где c = const > 0 зависит только от ширины слоя D.

Теорема 4. Для UU)x)eS_l ,    ) V V)x) g S_l* ) справедливо неравенство

«II U I1SIl TU lloS^l U I 1, «М 1S|| TV|| oS X?I| V | 1 , a,P ==»™t >0.

Теорема 5. Если матрица A(x ) непрерывна в слое D и существует число V2

3,0 < 3 < -j- такое, что\ |AU||0< c>||U|| о, то для UU)x)sSl ,   )W(x)gSl*) выполнено не равенство аJU 1<||LU|| 0<Д|U|| 1, («JVI 1< \\С V||05ДИ 1),«1,Д =cons >0.

Доказательство этих теорем совпадает с доказательством теорем в двумерном случае.

На основании теоремы 5 по обычной схеме можно доказать существование слабого решения для задачи 3 и сопряженной задачи 3* в пространстве L ₂ ( D ).

В параллелепипеде D = { x = ( x , x ₂, x ₃) e R ³: 0 <  x, < k , i = 1,3} рассмотрим симметрическую систему уравнений

L i U^BU x^ B ( x ) U = F ( x ), i =1

где

B 1 =

' 1

. 0

-1

0'

,

B 2

-1 . 0

-1

0'

0  , a 2 у

B 3 =

a 3

0'

0,

,   a, = const, i = 2,3.

Для этой системы уравнений

Q (Я) = — Д^ ^ —a 2^2(^1 + a3^^3 +/^2) — ag^^ +A), i=1

что не дает возможности определить ее тип. Отметим только, что при a2 = а3 = 0 мы имеем систему составного типа.

Задача 4. В параллелепипеде D найти решение системы уравнений (9) при условиях u I = u J u=u₃\    = 0,

11 x 1=0        ³ 1 x 1=0        ²I x 1 =k 1        ⁹

u₂| _n =u j ,  = U lL m =0,

• ²    I x ₂=0        11 x ₂ = k ₂        ³I( a ₂ п ₂<0)

u l = u₂|  , = uV m ⁼ 0,

• ³    l x ₃=0        ² I x ₃ = k 3         1I( a ₃ п ₃<0)

где n = ( n_x , n ₂, n ₃) - единичный вектор внешней нормали к Г.

Приведем еще один пример:

L 1 U^BU x^ B ( x )U = F ( ^х ), i= 1

где

B 1

	1	0	0	0	03		" 0 -	-1	0	0	0			a 3	0	0	0	0
	0-	-1	0	0	0		-1	0	0	0	0			0	0	1	0	0
=	0	0	1	0	0	, B 2 =	0	0	0	a	0		, B 3 =	0	1	0	0	0
	0	0	0	-1	0		0	0	a 2	0	0			0	0	0	0	a 3
	10	0	0	0	L		<0	0	0	0	a 2	7		V 0	0	0	a 3	0	/

,

0 a4 0 0 0 a 5 0 0 0 0   3 a 4 0 0 0 0 0 0 a5 0 0 B 4 = 0 0 0 -1 0 ,  B 5 = 0 a5 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 a4 / v 0 0 0 1 0   2 а в параллелепипеде D = { x = (x,x2,x3,x4,x5) e R5:0

• u₂ = a₂u₃= 0 при x₂= 0,  u_x = a₂u₄ = 0 при x₂=k₂,  u₅= 0 при n₂a₂< 0;

• u₃ = a₃u₄= 0 при x₃= 0,  u₂ = a₃u₅= 0 при x₃ = k₃,  u_x = 0 при n₃a₃< 0;

• u₄ = a₄uj = 0 при x₄= 0,  u₃ = a₄u₂= 0 при x₄ = k₄,  u_s = 0 при n₄a₄< 0;

• u₅ = a₅u₂= 0 при x_s = 0,  u₄ = a₅u₃= 0 при x₅ = k₅,  u_x = 0 при n_sa_s< 0.

Разрешимость этих задач доказывается методом априорных оценок.

Заключение

Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что независимо от четности или нечетности размерности пространства переменных, размерности искомой вектор-функции и типа можно привести примеры модельных систем уравнений первого порядка, которые служат многомерными аналогами обобщенной системы уравнений Коши-Римана с точки зрения постановки краевых задач в канонической области.