Некоторые обобщения метода моментов при оценивании плотности вероятности в виде ортогонального ряда

Рассматривается задача оценивания функции плотности вероятности непрерывной случайной величины. Обсуждается актуальность данной задачи для науки и техники, в том числе для аэрокосмической отрасли. Рассматривается построение оценки функции плотности вероятности в виде ряда ортонормированных функций. Исследуется применение метода моментов для статистического оценивания коэффициентов ряда, а также предлагается его обобщение. В рамках применения метода моментов используются последовательные начальные моменты случайной величины. В этом случае расчёт оценок коэффициентов ряда сводится к решению системы линейных уравнений. Приводится доказательство теоремы о том, что при определённых условиях выбора ортонормированной системы функций предлагаемое обобщение метода моментов включает, как частные случаи, классический метод моментов, а также более распространённый метод оценивания коэффициентов в виде выборочных средних от ортонормированных функций. Показано, что при использовании ортонормированной системы Лежандра рассмотренные методы тождественны. Исследованы свойства построенных оценок, найдены их математические ожидания и ковариационная матрица. Показано, что в некоторых случаях оценки коэффициентов ряда являются смещёнными. Рассчитанные предложенным подходом оценки коэффициентов ряда были использованы для построения оценки функции плотности вероятности. Приводятся результаты численных расчётов значения функционала качества для построенных оценок функции плотности вероятности. Расчёты выполнены для случайной величины, подчинённой равномерному закону распределения. Произведено сравнение с известным методом оценивания коэффициентов при использовании чебышёвской и тригонометрической ортонормированных систем. Показано, что на малых выборках обобщённый метод моментов даёт существенно лучший результат.