Некоторые проявления неравенства Леви

Теорема 1. Пусть {X( k ) ;k < n } — некоррелированные случайные величины, где мы вводим с 0 <  ^а - ² , ⁰ <  q < ¹ • как:

Ma = Z EIX ( k )|a

^^^^^~ k

Тогда для всех x>0 справедливо неравенств

P(maxS(k)>x)-d()a), n

где L=1, если 0<^a<1, или и L=2, если ⁰<^a< 2.

Теорема 2. Пусть {X(^k); ^k<ⁿ} — независимые случайные величины,

EX(k)=0 , B(n) = E EX2(k), k <n         тогда уместно следующее:

Pi maxSik)>x)aPiS(n)>x~d JlBiH}),

P (max S (k)> x )< q-dP (S (n )> x — d 72 B (n)) k

ТеормаЗ. Если для кого-то с > ⁰, ^q > ⁰

если так, то P^{(S (n}) ^{S (k})>c )>^{q   (k}<ⁿ)^,

P(max S(k)>x)<q^—dP(S(n )>x — cd)

k

Мы знаем, что при ^ x>0 справедливо неравенство Леви max

Р{ 1x}<2P(Sn>x)(4)

где µ(x)-X – медиана случайной величины.

Из этого неравенства, если выполнены следующие дополнительные условия, то при x>0

P{Sn≥x}≤2P{Sn≥x-(2 }(5)

мы генерируем.

(4) неравенство было получено А. Н. Колмогоровым в законе повторных логарифмов.

Теорема 4. Предположим, что X1,...,Xn — независимые случайные величины и EXi= 0 , EX:2

Вводим следующее:

n

D = L EX2

i = 1

то для ^ q, 00 справедливо следующее неравенство:

p imax Sk > x ^-p {Sn > x-(-D- )21

1^ k ^n           q             ¹— q                            (6)

отсюда следует из (5) по (6), когда q= ²найдено.

Теорема 5. Если для s≥0 и q>0 P{Sn-Sk≥-c}≥q , k=1,…,n-1, если неравенство выполнено, то при x > 0 справедливо соотношение:

P{max Sk≥x }≤ P(Sn≥x-s}        (7)

где ц(х)-Х - медиана случайной величины.

Из этого неравенства, если выполнены следующие дополнительные условия, то при x>0

P{Sn≥x}≤2P{Sn≥x-(2 }            (8)

мы генерируем.

Теорема 6. Пусть >1 и {Xk, k е Z d} — независимые и нормально распределенные случайные величины и для них выполнены следующие условия.

E(X) = 0 и Sn = ^^ksnX^k ’^{n е}Z⁺. В этом случае одинаково сильны следующие связи:

£exp{(log | X |)“^A}(log* | XI/’¹< х:

У ехр{(1оИИ)“д}-^1^        f)1

когда,

У exp{(log|«|H}-^^—P(max | SJi^f f) < x f>l когда,

У exp{(log I иI)          —P(sup I S*' I F ||>г) < X г > 1

когда.

Теорема 7. Пусть 0<^а<1, {Xk, k е Z +}— независимые и нормально распределенные случайные величины и для них выполнены следующие условия.

E(X) = 0 va Sn = X k^snXk^{, n е}Z + +.

В этом случае одинаково сильны следующие связи: £е_Хр{|^|Л}(1о_§-|^|)^<х:

^ехр^нГМнГЛ!^^» ^)<* £< когда, ^ехр{|яП^иГ:Лтах SJ:^^ ^ < r г >1 когда,

V exp {/} ■ A ^:P(sup | S, /1 V ||> f) < x г > 1

когда.

Для доказательства теорем используем приведенную выше лемму и следующие леммы.

Лемма 1. Для случайной величины X и У^> 0,

Eexp{(log-|X /PiOg- Х|/-:<х

«X ехР{log1 n |)а In^n)— P(| X Hn1 y )<^;

Eexp{ | X/yIа}(log + IXI )d -1<да«Х exPtI nIa}• In|a-1P( |X|> |n|у| .

При доказательстве лемм мы используем вычисления на основе следующих стандартных перестановок.

да

X-XX d (j).., n J-11 n I-J

^d(J)~Card {k^{: |k|}-j, J^¹- если мы уточним, то

XяИ}И’^ Utt! S' -PtSi^Й—।PIM-! dlhW'—।PIW‘ n                                  J-1                                    n n                         F1                    J

будет.

j 4® - и

Также,

M(J)-Card {k: |k |-j (-X d(k)) J^1,       Mjd^* УУУ as k-i                  и J( logJ ) d 1 (d-1)!

будет.

Доказательства теорем (6)–(7) следуют из этих соотношений и замен, как и в предыдущем параграфе. Пусть Zd+-n -мерное арифметическое пространство, элементы которого состоят из целых положительных чисел. Введем понятие частичного порядка в Zd+:

Если m-( m’m ■•• md) и n=( n’n - nd) будет, -'<     ■■ если, <•

Это записывается как Кроме того, если каждый i (i=i, d) равен ni "^—^ , _То это

n -да

Теорема 8.

и             являются независимыми и нормально распределенными случайными величинами, для которых выполнено

-           5^ = У7'Я следующее условие:                    и а также быть, ^ (n ) VarX I {| X\ — ^П |} Где - ■ "   ^ • находится индикатор события.

_Р EX--- ехр(Х Xlog-

■■'ел

, то

Если так

х pj Sup IP (S#—X)-1 (- )l

Доказательство теоремы.

Для доказательства теоремы мы используем следующие результаты теории чисел.

и

Согласно [ 2 ]

;)^jlogjO— j-^ M(j)   (d-1)!

Также^ ^^<0иj^-^сс d⁽J^)—0(J )

Согласно Гуту [3], (1) можно записать следующим образом

Z I рЖ< z) |= f ^Йчр IЛ^ s X) -   |

Для доказательства теоремы воспользуемся следующими леммами [3].

В лемме 2 имеют место следующие соотношения:

TE^OV' ^ Ct“ (log t/’1: (j > -1)

^^^^_(^^ (z>L-x

Лемма 3. ^ξ - является неотрицательной случайной величиной, то при r>0

Z d (j) jr-1P (k >r<<^ EV (log+ k) d >/ справедливо соотношение: j =1

Теперь докажем соотношение (1): для доказательства соотношения (1)

следующего ряда.

достаточно доказать аппроксимацию

Используем

следующее

неравенство            [3]:

I P ( Sn (Г-.j ) ^ x)-P ( Sj ^ x )l^ jP (I x 1>Л)

справедливо неравенство.Согласно этому неравенству:

Z 1, Z 2, z

³оценим.

У,

²оцениваем.

Согласно неравенству Эссена [3] :

Отсюда, согласно (12),

Приближенное исходя из условия теоремы.

Теперь оцениваем. По лемме 1. и по условию теоремы

Теорема полностью доказана.

В заключение.

Доказанная теорема вытекает из частного случая, т. е. теоремы при [3]