Некоторые соотношения в полиномиальных кольцах, связанные с полиномиальными отображениями плоскости (часть 1)

В статье доказываются соотношения для некоторых полиномов от n переменных над полем комплексных чисел. Эти полиномы связаны с полиномиальными отображениями плоскости с постоянным якобианом.

R = с [ х, x2,

Пусть C - поле комплексных чисел, ^{п      1  2}

...,

ⁿ^ - кольцо полиномов

ных, R

с [ x,y

–

кольцо полиномов от двух переменных X

F = (Fi,..., Fn),  G = (G1

,...,

G„), F,G g R n' i i n - полиномиальные отображения

от n перемени   Y .  Пусть

R кольца п,

G • F = (Gi(F),

Gn (F))

- произведение отображений F

J(F) = (dF / дх,)

и G . Матрица          ^ij

называется матрицей Якоби отображения F , а ее определитель det J(F ) называется якобианом отображения F . Матрица J(F) обладает следующим свойством:

J(G • F) = J(G)(F) • J(F)

R

Отсюда следует, что если F - автоморфизм кольца ^п , то J(F) обратимая матрица, т.е.

det J(F) = c G C*        о

. Естественно, возникает гипотеза, впервые сформулированная Келером в [1], о справедливости обратного утверждения: следует ли из условия обратимости якобиана det J(F ) обратимость отображения F ? Обратимость отображения F равносильна условию

C [ Fi, F2,..., Fn ] = C [ xi, х 2,..., Хп ]

Более подробную информацию можно найти в работах [2], [3].

Если p p ⁽ x ¹, ^Х 2 ,..., ^xn ) ^G R n - полином от n переменных, то будем применять более короткую запись p=p ( x ), В случае, когда переменные x^{r + 1} x^r + ² "^. x n 0 , будем использовать обозначение p = p ( x, 0).

Пусть

f = a0Yn + aYn-1 +... + an, a, = a,(X) g C[X], i = 0,1,...,n

- полином из кольца R . Далее всегда предполагается, что коэффициенты

a+k = 0, k = 1,2,... •

n                                                           Y, „( X, x? ,..., x„ )

Введём в рассмотрение полиномы от n переменных '^! , ^{n  12}  ’ ^п'

Положим

•

Y t , n ⁽ X , x 2 ,-, x n ) = Y t , n ⁽ x ) = S^[(1 + t ) ⁿ ~'i - ^1] x i Y t , n - i ⁽ x )»

i = 1

n = 1,2,..., t g C, Yt ,o( X) = 1.

В частности,

x 2

Yri(X) = tX, Yr2(Xi,X2) = tX -1(1 — t)“^“

•

На основании свойств полиномов ^ t , n ⁽ x ) во второй части статьи будет приведено доказательство следующей теоремы.

Пусть

f = Y" + aY’-1 +... + a„, g = Yn + bY"-1 +... + bn, a,,bi e C[X]

,

Ф = (f,g ) - полиномиальное отображение кольца R .

тЛЛпЛ „ a      det J(F) = c g C*

Теорема. Якобиан     v '         тогда и только тогда, когда для всех m = 1,2,...,2n - 1 выполняются соотношения:

m

b = a + У c Y -1

m      m           I T 1- in ¹

i = 1

(a)

,

гпр c1,c2,...,c2n-2 G C, c2n-1   n cX + c, c G C где                                                      •

Доказательство теоремы основано на свойствах полиномов ^Y t , ^{n ( X} ) •

u (X) = u (X ,X ,...,X )

1. Полиномы   d , m^ J   d , m^ ¹²      m

Для каждой пары целых чисел ( d , m ) определим полиномы от m переменных

ud (XX) = ud (XX,X2,-,Xm)

^{d , m        d , m 1  2      m} следующим образом.

Если 0 <  d <  m , то положим

___ V r¹ . V r ² . Y r m

Ud,m(X) =S X1 , X2, ...Xm

( d , m )   ' 1' ^r 2‘ ..• ^r m '

,

(r,r,...,r )

где суммирование ведётся по всем неотрицательным наборам ^{v 1  2      m 7}, такими, что

Г + r +... + r = d, r + 2 r +... + mr = m

(1.1)

12     m  “12      m

В этом случае

u d , m ^{( X} )

однородный полином степени d . Положим

u 0,0 ^{( x} ) = ¹

остальных

случаях положим

Ud,m (x) = 0

. Таким образом, в частности, при m ≥ d >  0

xm u1,m (X) = Xm, um,m (X) = -4, Ur (X)u  (X) = C'r+ U +,,+s (X).

m!„     2d - m = r - r - 2r -... - (n - 2)r , r > 2d - m.

Так как               1    3      4        v      7 n то 1              Из (1.1) следует, что r + 2r +... + (m -1)rm = m - d

Введенные полиномы хорошо известны. Они, например, рассматриваются при изучении симметрических полиномов.

n !

k !( n - k )

, 0 <  k <  n

k

Ck = 0      , _    ,. n

Положим ⁿ    , если k <  0 или k > n ,

Лемма 1 . Пусть m ≥ d + 1. Полином

^U 1 + d , m ^{( X} )

зависит только от переменных

Xj, x2

x m - d

.

Доказательство. Если m = d + 1, то это очевидно. Предположим, что полином

^U 1 + d , m ^{( X} )

со-

держит переменную ^j , при j > m – d > 1. Тогда

r + r +...r. +... + r = 1 + d, r + 2r +... jr. +... + mr = m, r. > 0.

12       J         m.         1 L     2     j J           m'        J

Следовательно,

1 + d + r + 2 r... + (J — 1) r +... + (m — 1) rm — m

.

(J -1) r. < m - d -1, J < m - d

Отсюда получаем, что        j                          , что противоречит выбору ин декса j. Следовательно,

^U 1 + d , m ^{( X} ) = ^U 1 + d , m ^{( X} 1 ■ ^X 2 ,..., ^Xm ) = ^U 1 + d , m ^{( X} 1 , ^X 2 , — ^Xm - d , ⁰⁾

Лемма 2. Справедливо следующее равенство dd ud, m (X) = 2 U, i(X )ud -1, m - d' У ) = S Ui, i(X > ud -1, m - d ( У ’ i=0                               l=2 d - m где

У J = X1+J,J = 1,2,

m -1.

Доказательство, Представим ud mXX)

d , ^m    в виде

d  _vr i

Udm (x)=X xr X r1=o Г1!

r x 2

r2-

*.

r_m ' * ^Xm

Г ' * r_m

.

(r .*** . rm)

Суммирование во второй сумме ведётся по всем наборам 2     m 2 , такими, что r + **. + rm = d - r,  r2 + 2r +... + (m -1)rm = m - d.

По лемме 1 отсюда следует, что r2 + **. + rm - d +1 = d — r1,   r2 + 2 r3 + .** + (m — d ) rm - d+1 = m — d *„       Г = i> У J = xl+J’ j = 1.2.*

, получим требуемый результат.

Полагая ¹        j     ^{1 +} j

Лемма 3. Полиномы

U1+d, m ( x )

удовлетворяет следующим соотношениям при m > d :

mm mU1+d,m (x)  X IXiUd,m_i (x) = X iUi (x)Ud,m-i (x).

i=1

mm

(1 + d)U1+d,m (x) = XXiud,m-i (x) = X u1,i (x)ud.m-i (x)* i=1

Доказательство. Используя лемму 1, имеем у r1    rm- - d        __ m - d    r^l rm^m - d m X1 ..*xm-d _ у у • x1 "xm-d _ mU1+d, m(x) = X m .       i= X X iri  I1

(1+d, m)    r1 •’ ***’ rm - d ’    (1+d, m) i=1     r1-*.. rm - d• m-d       vr1   vr 1   rm--d      m-d     ___ vr1 . vr 1

Е У ■     x 1 "x i  .*. x m - d _ У ■ У x 1   ** x  *.. x m - d

X ixit            X ixi X

(1+d, m) i=1      r1-.*.( ri    1)•*.. rm - d •     i=1     (d, m - i) r1"-( ri    1)•..*rm - d • m - d

= X ixiud,m-i(x).

i = 1

Аналогичным образом доказывается второе соотношение.

x ¹.. v" - d

(1 + d)U1+d,m (x) = X (1 + d)-|----m-d7 =

(1 + d , m )             ^r 1 • ’ ... " r m - d •

X ^{( r} 1 ⁺ *.. ⁺ r m - d ) (1 + d , m )

v ^1   v^ m - d

^X 1 .*. x m - d

1 ‘ ..* ^rm - d ’

m - d

X X xi

(1 + d , m ) i = 1

r 1      r- ^{- 1}    r m- - d

x1 *.xi   ..* xm - d

^r 1 •*.. ⁽ r -- ¹⁾ !.*. ^rm - d

m - d                ^r 1        r ^{- 1}    _v ^r m - d

E У   x 1   "x i  .*. x m - d

xi X

i = 1    ( d , m - i ) ^r 1 •..* ⁽ r i    ¹⁾ •... r m - d •

m - d

= X x ^Ud , m - i ⁽ x )

i = 1

Лемма 4 . Полиномы

Ud, m ( x )

удовлетворяют следующим соотношениям при s > 0:

s

X Uq,j (x) up,s-j (x) = Cp+ q up+q,s (x) , j=0

s

X Jul , j ⁽ x ) u p . s - j ^{( x} ) = s^C Pp + q - 1 u p + q , s ^{( x} )

J = 0

Доказательство проведем индукцией по q. Если p = 0 или q = 0, то соотношения следуют из определения полиномов

ud,m (x)

При q = 1 утверждение

вытекает из леммы 3, так как

U j ( x) = Xj

. Пусть теперь q >  1, p >  0, s > 0

и для всех q 1 <  q утверждение имеет место. Приме-

няя лемму 3 и индуктивное предположение, имеем ss

X uq, j(x) up, s - j(x)=q-1X quq, j (x) up, s - j (x) = j=0

s       jss

=q-1X up, s - j (x )X xuq-1, j -1(x)=q-1X xiX uq -1, j -1(x) up, s - j (x) = j=1                  i=1                                  i=1

s      s - is

= q-1 X xX uq-1,r (x)up,s-i-r (x) =q-1 X xiCPp+q-1up+q-1,s-i = i=1     r=0

= q~CPP+q-1(p + q)up+q,s (x) = C qup+q,s (xУ

По такой же схеме доказывается второе соотношение.

ssj

X juq, j ( x ) up, s - j ( x ) = q-1 X U, s - j ( x )X xuq-1, j - i (x) = j=0                                        J=1

s        s                                                   ss

= q-1 X xiX Ju,-1, J - i ( x ) up, s - j ( x ) = q-1 X xi X ( i + r ) uq-1, r ( x ) up, s - i - r (x) = i=1     j =i                                             i=1

s         s - is

= q-1 X xi[ i X uq-1, r ( x ) Up, s - i - r (x ) + X ruq-1, r ( x) up, s - i - r ( x )] = i=1       r=0

s

= q ^{- 1} X x i ^{[ iC}pp + q - 1 ^Up + q - 1, s - i ^{( x} ) ^{+ (} s ^- i ) ^Cp + q - 2 u p + q - 1, s - i ⁽ x ^)] = i = 1

ss

= q’1(CPp+q-1 - C^q-2)XixiUp+q-1,s-i (x) + s,q-2 XxUp+q-1,s-i (x) = i=1                                                        i=1

= q “¹⁽ C pp + q - 1 ^- C^Pp + q - 2 ) ^sUp + q , s ⁺ sq ’'( p ⁺ q )d q - 2 u p + q , s ⁽ x ) =

= ^sCpp + q - 1 ^Up + q , s ⁽ x )•

Утверждение доказано.

Пусть ai = ai (X) ^ C[X], i = 1,2’”', n.

Лемма 5 . Дифференцирование полиномов формулам:

u 1 + d , n ⁽ x ) = u 1+ d , n ⁽ x 1

xn )

осуществляется по

^d u 1 + d , n ⁽ x ) ^d x i

= ud n (X x,-, xn-) W , nt'- i          nt'

du1+d, n( a ) dX

n

= 7 a (cl

/ j i d, n - 1 V 1 i = 1

a )

n - 1 /

Доказательство. По лемме 1 при i > n–d имеем

d u1+d, n ( x V dxi = 0 = ud, n - i ( x )

,,                               M е ul+d ( x) r = 0         o           „  dM / dx. = 0

Пусть i < n — d . Если для монома       1+d,m    i , то частная производная

,=       >         2in_ _ > dxi          Sx (1+d, n)  r1! r2 !• ... ri!... rn !           r1 !• r2 !' ...(ri — 1)!... rn

Из условий

r + r2 +... + r — 1 +... + r = d, r + 2 r2 +... + i (Г — 1) +... + nr = n — i следует, что r + 2 r +... + i (r — 1) +... + (n — i) rn_ у = n — i,

r + r +... + r — 1 +... + r - = d,

1      2               i                    n — i

jr = 0, то r = 0._ так как при j > n - i j        j    Таким образом, первая формула доказана.

Вторая формула следует из доказанной первой формулы.

Пусть

a = a0Xi + аХ;—1 +... + а., е C[X], i = 1,2,...,m

Лемма 6 . Справедливо следующее равенство при m ≥ d > 0

ud, m (a ) = ud, m (a1, a 2,”., am ) = ud, m (а10, а 20,"., а m 0)X  + u (X),

deg u (X) < m.

Доказательство. Так как

ar1... arm   (а „X + a.) r1...(a0Xm +... + a J rm

1m        1011

Гr I I

......

1m1

¹     m                                     1       m

а10~ m0 Xr+2r2+-m  + u(X) = '      m0 Xm + u(X),

...                                                  *!••«•*

1       m                                      1       m

deg u (X) < m,

то утверждение вытекает из определения полиномов

ud,m (x)

.

x ,. = 0, i = 1,2, Лемма 7 . Пусть n > 1, q > 1,   ^{q + 1}

тогда

ud,qn+i(X1,-,Xq,0) = 0, при d < n, i = 1,2,...,

n xq

ud, qn (xx»-, Xq ,0) = 0, при d < n,  un, qn (xt,-, Xq ,0) =    .

Доказательство. Докажем первое утверждение. Предположим, что утверждение неверно. В этом случае некоторый моном

■ r1

r q

xq

r1!- •••• rq

* 0

входит в полином

u d , qn + i ^{( X} )

. Следовательно,

r + r +... + rq = d, r + 2r +... + qr = qn + i

При q = 1 это невозможно. При q > 1 имеем

r + r +... + rq = d, r + 2r +... + qrq = qn + i. r + 2n3 +... + (q -1)rq = qn + i - d,

(q -1)(r + r +... + rq) > qn + i - n > (q -1)n, r + r +... + r > n, d - n > n, d > n,

q что противоречит условию d ≤ n. При i = 0 из последних неравенств следует, что d ≥ n. Из этого неравенства следует второе утверждение.

Докажем третье утверждение. Если q = 1, то это очевидно. При q > 1

r + r2 + — + rq = n,  r + 2 r +... + qrq = nq.

r + 2r +... + (q -1)r = n(q -1),

r,r,...,r ,

Если среди чисел ²³ q ¹ есть ненулевые, то из последнего равенства находим

(q -1)(r + r +... + rq) > (q — 1)n, r + r +... + rq > n,

ы       - r + r = n, r + qr = nq r = 0, rq = n

что невозможно. Из условий ¹ q      ¹     q      следует, что

Лемма доказана.

V, „(x) = V, „(x, x,—»x )

2. Полиномы ^ t , n^{v 7 Yt} , ⁿ 1 , ² ’  ’ ⁿ

Y„ (t) e C [ t ]

Для каждого целого числа n ≥ 0 определим полиномы ⁿ         следующим образом:

Y0(t) = 1, уn(t) = (-1)nt(t +1)...(t + n -1), n > 0.

Степень полинома ^{Y n (} t ) равна n . Целые числа 0, - 1, - 2,..., - n + 1 являются его корнями. Из данного определения следует, что

Yn+1( t) = - tYn(1 + t) = -(t+ n )Y n(t)’ Yn (-i) = n !Cn,i = 0’1,2’-..

.

(2.1)

Лемма 8 . Для любых элементов а, в e С справедливо соотношение

n

Yn(a + e)=E Cn Yi(a) Yn - i(P)

i = 0

Доказательство. При n = 0,1 утверждение очевидно. Далее, применяя индуктивное предположение и свойства (2.1), имеем

n + 1

E Cn+1Yi (a) Y.+,-i(₽) = i=0

n

= Y.+'(₽)+Y n+>(«) + E (Cn-' + Cn) Yi(a) Yn ^(P) = i=1

n + 1

i = 1

n

n

.иДР) +E Cn Y,-(a)Y n+,-,(P) = i=0

n

ECnj Yk, (a) Y.-, (P) - PECn Yi(a)Y.-i(1 + P) = :=0                                      i=0

-aY n(1 + a + P) -Pyn(1 + a + P) = Yn+1(a + P).

Введём в рассмотрение полиномы ^ t , ^{n (} x ) от n переменных. Пусть n >  0, t e C - некоторый параметр. Полиномы ^ t , ^{n (} x ) определяются следующим образом:

^V t , n ⁽ x )    ^V t , n ⁽ x 1 , x 2 ,..',

n

xn ) = Ey i (-t ) ui, n (x1’ x2

i = 0

,...,

n

xn ) = Ey i (-t ) ui, n ( x )• i=0

Таким образом, в частности,

x2

V t ,0 (x) = 1 V t ,1(x) = tX1’ V1, n (x) = xn’ V t ,2 (x) = tx 2 - t (1 - t )y.

V/ „(x)

Докажем ряд свойств полиномов ^т t , ⁿ   .

Лемма 9 . При n >  1 полином ^V t , ^{n (} x ) удовлетворяет условию

n

V t, n (x) = V t, n ( xl, x 2,-, xn ) = J[(l + t ) n-1i - 1] xi V t, n - i( x )• i=1

Используя лемму 3 и формулы (2.1), имеем n

S[(1 + t) n-1i - 1)xiVt,n-i(x) = i=1 n       n-i                             nn

=(1 + t) n-1E ix Sy j(-t) uj, n - i(x)- E x Sy j(-t) uj, n - i(x) = i=1     j=0                            i=1

n - 1              n - j '                          n - 1              n - j '

=(1+t) n-1S yj(-t) S xj, n - i(x)- S yj(-t) S xu, n - i(x)= j =0             i=1                       j =0

n-1             n                       n-1

=(1+t)n-1 Sy j(-t) S 1X11, n - i(x)- Sy j(-t) S xuj, n - i(x) = j =0             i=1                       j =0

n-1

=(1 + t )Sy j(-t) u1+j, n(x) -Sy j(-t)(1 + j) u1+j, n(x) = j=0

n-1

= S (t- j)Y j(-t)u1+j,n(x) =SY1+j(-t)u1+j,n (x) = Vt,n(x)• j=0

Лемма 10 . Для любых элементов α , β ∈ С и n ≥ 0

n

V a+в , n ⁽ x ) = S V a , i ⁽ x ) V e , n - i ⁽ x ) i = 0 .

Доказательство. Применяя леммы 4 и 8, имеем n                                    n in

SVa, i (x ) Ve, n - i (x ) = SSyj (-a) uj, i( x) Sys (-P) us, n - i(x) = i=0                               i=0 j=0

n n- jn

= SSy j (-a)Y s (-в) S UJ, i ( x) us, n - i( x) = j=0 s =0

n n - j

= SSYj (-a)Y s(-e) CJ+j, n(x) = j=0 s=0 nn                       nm

= SSy j (-a)Y m - j (-P) Cmum, n (x) = S Um, n ( x )S Cm Yj (-a) Ym - j (-P) = j=0 m=j                                      m=0

n

= S y m ^{( -a -в ) U}m , n ^{( x} ) = V a+в , n ⁽ x )• m = 0

Введем в рассмотрение полиномы

V t, n ( x )

от n переменных. При n ≥ 1

n

V t, n ( x ) = V t, n ( x1, x2,-, xn ) = S Y i-1 ( t ) Ui, n ( x )• i=1

Таким образом, в частности,

X2JC ф j(x) = x1, ф 2(x) = x2 -1 —, ф 3(x) = x3 - txx +1(1 +1) — 3            1     ,2.         2      2 t33      123'6

Из формул (2.1) следует, что при n > 0

nn

V t, n ^{( x} ) = X Y i⁽ - ³ ) ^uin ^{( x} ) = 1 ³ Y i - 1^{(1 - 3} ) ^u. ^{( x} ) = ³ Ф 1 - 1, n ^{( x} )

i=0                      i=1

„        Л                 Ф, n( x) = (1 - 3)

При n = 0, t ^ 1 положим ³ '°

-

. При

n = 0, t = 1 определим значение

Ф1,0( x )

помощью условий:

Ф 1,0^{( x} ) = Km ф 3 ,0^{( x ), 0} • Ф 1,0^{( x} ) = ¹

Лемма 11 . Для элементов а , в g C и n > 0 выполняется соотношение:

n nаФ . -,: (x) = XIVa,i (x)Vp,n-i(x)

i = 1

Доказательство. Применяя лемму 4 и лемму 8, имеем n                                     n     in

X iVa, i ( x) Vp, n - i ( x ) = X i XYj (-a)uj, i ( x ) XYs (-P) us, n - i(x) = i=1                                   i=1   j=1

n               nn

= Xyj (-a)X iuj, i(x )X Ys(-p)us, n - i(x) = j=1             i=js n             n-jn

= Xy j (-a)XY s (-p)X iuj, i(x) us, n - i(x) = j=1             s=0

n n - j

= nXXyj (-a)Y s (-P) CSj+s-1 uj+s, n ( x ) = j=1 s=0 n n- j

= nXXy j (-a)Y s (-P) С^s-1 uj+s, n ( x ) = j=1 s=0

n n - j

= nEEyj (-a)Y s (-₽) Cj+s-1uj+s, n (x ) = j=1 s=0

nn

= nEEyj (-a)Y m - j (-в) Cm-jum, n (x) = j=1 m = j nm

= nЁ um,n (x)Eyj (—a)Ym-j (—в)Cm,—1 = m =1

nm

= nE um,n (xSYUp (—a) Ym-1-p ("P) Cm-1 = m=1

nm

= anE um,n (x^Yp (1 -a)Ym-1-p (-в)Cm-1 = m=1

n

= anEym-1(1 - a - e)um,n (x) = an 91-a-e,n (x) m=1

Утверждение доказано.

Пусть a= a^ X) e C [ X ], i = 1,2,..., n.

V t , n ⁽ x )

осуществляется по формулам:

Лемма 12 . Дифференцирование полиномов

dwx)

∂ x

= t V t - 1, n - i ⁽ x )»

d V t, n(a ) dX

n

= t E ^a ‘v _t - 1, n - i ⁽ a ) i = 1

Достаточно доказать первое соотношение. Согласно лемме 5, имеем dVt/x)

∂ x_i

nn

= - E Yj(-t) ujn(x)=Ey j(-t) uj-1, n -i( x)= dxi j=1

n-1

= EY1+r (-t ) ur, n - i(x ) = tEyr (1 - t ) ur, n - i(x ) = r=0

n - i

= t E y r ⁽¹ - t ) u r , n - i ^{( x} ) = t v t - 1, n - i ^{( x} )

r = 0

„ a,. = a,.nXi + a,.Xi-1 +... + a e C[X], i = 1,2,...,m

ПуСТЬ i       i 0            i 1                     ii       L J,        , ,   ,

Лемма 13 . При m ≥ 1

V t , m ^{( a} 1^, ••• ^, a m ) = V t , m ^{( a} 10^, •.. ^{, a} m 0 ) ^Xm ^{+ h ( X} ), ^d eg ^{h ( X} ) <  m .

Утверждение следует из леммы 6.

n            Q      У, =V„ ,(x) = V«,(x, x? ,..•, x,), i = 1,2,..., n

Лемма 14 . Пусть a , p e C, i*     " ^{, iV 7}      " ^{, iV 12      i7}               , тогда для всех n >  1

имеет место соотношение

Vp, n ( У ) = Ve, n (У1, У 2,..•, Уп ) = Ve, n (Va,1(x), Va,2( x X — Va, n ( x)) = VPa, n ( x У

Доказательство. При n = 1 утверждение верно. Пусть n > 1. Применяя лемму 9 и индуктивное предположение, имеем vp,n(y)=2[(1+e) n 1' -1] у vp,n - i (y)= i=1

n

= J[(1 + в)n-1' - Wa,i(x) VaP,n-i(x) = i=1

= ⁽¹ + P ) n ⁴ 2 ⁱ V a , i ⁽ x ) V aP , n — i ⁽ x) - ZX , i ⁽ x ) V a_P , n — i ⁽ x ) i = 1                                             i = 1

Применяя лемму 11 и лемму 10, получим

V p , n ⁽ У ) = ⁽¹ + ^{e )} n ^{n а}Ф 1 -а-аР , n ^{( X} ) — V a+ap , n ^{( X} ) ⁺ V_P a , n ⁽ x ) = = V a+ap , n ^{( X} ) -V a+ap , n ^{( X} ) ⁺ V_P a , n ^{( X} ) = V_P a , n ^{( X} )

что и требовалось доказать.

Лемма 15. При r > nk

V k, r (X1, x 2,-, Xn ,0,-,°) = V k, r (x ,0) = 0-

Доказательство. Имеем rk

Vk,r (X,0) = 2yi(-k)ui,r (X, 0) = Zyi(-k)ui,r (X,0) = 0, i=0

так как при

Y .( - k ) = 0_n                   uu_f(xx ,0) = 0

i > k 1 iV 7     . При i < к по лемме 7 i, r.

Пусть f = f (Y) = Yn + aY-1 +... + an,  a. = a.(X) e C[X], i = 1,2,...,n

Лемма 16

mnmn fm = Zv mA a, a 2--a, )Ymn - =Zv m A a )Ymn -i=0

Доказательство проводится индукцией по m . При m = 1 утверждение имеет место, поскольку

V,;(a) = a,

^T 1, ⁱ . Пусть m >  1. По лемме 15

^V m , mn + i ⁽ a 1 , a 2 ,

...,

an ,0) = 0. i > 0.

На основании леммы 10, находим mn                       (m+1) n   j

fm+1 = fm = f£vm,i (a)Ymn-i = £ (Xti,i(a)Vmnj-i(a))Y(m+1)n-j = i=0                          j=0    i=0

( m + 1) n

= £ V m+1, j (a )Y(m+1) n-j j=0

что и требовалось доказать.

Во второй части статьи будет приведено доказательство сформулированной теоремы на осно- ве свойств полиномов

V t, n ( x )