Некоторые вопросы строения квазиполей с фиксированными ограничениями
Бесплатный доступ
Цель работы - исследование строения и классификации некоторых классов конечных квазиполей, в том числе, полуполей и квазиполей с ассоциативными степенями.
Конечное квазиполе, полуполе, порядок конечного квазиполя, почти-поле
Короткий адрес: https://sciup.org/140278617
IDR: 140278617
Текст научной статьи Некоторые вопросы строения квазиполей с фиксированными ограничениями
-
1. (S, +) - абелева группа;
-
2. S * = (S\{0},°) - лупа;
-
3. для любого x,y,z G S выполняется левый и правый дистрибутивные законы, соответственно,
x°(y + z)=x°y + x°z, (y + z) ° х = y ° х + z ° х.
Таким образом, отказываясь в определении поля от коммутативности, приходят к понятию тела. Отбрасывая также требования ассоциативности, приходим к понятию полуполя. Более общее понятие дает ослабление дистрибутивности, см. [3, 4].
Определение 1.2. Множество Q = (Q, +,°) с бинарными операциями сложения + и умножения ° называют правым квазиполем , если выполняются следующие условия:
-
1. (Q, +) - абелева группа;
-
2. Q * = (Q\{0},°) - лупа;
-
3. х ° 0 = 0 для любого х G Q;
-
4. выполняется правый дистрибутивный закон (х + у)oz = хoz + уoz для любых х, у, z G Q;
-
5. если a, b, с G Q и а ^ Ь, то уравнения х°а = х°Ь + с однозначно разрешимы в Q .
Левое квазиполе определяется аналогично. Согласно теореме 7.3 Д. Хьюгеса и Ф. Пайпера [4], для конечного правого квазиполя аксиома 5 вытекает из аксиом 1-4, то есть является излишней. Далее, говорим «квазиполе» вместо «правое квазиполе».
Нам потребуются леммы о простом подполе.
Лемма 1.1. Любая абелева аддитивная группа Л = (Л, +) превращается в двусторонний X-модуль, если для элементов х G Л и целых чисел к > 0 полагать 0х : = 0 = х0 и кх = х + х+... +х = хк, (-к)х = -(кх) = х(-к).
-
к раз
Доказательство. Из ассоциативности сложения в группе Л и соотношения кх = хк для любых х, у G Q и к,т G X вытекают следующие равенства:
к(тх) = (кт)х = х(кт) = (хк)т, (к + т)х = кх + тх = х(к + т).
Используя также коммутативность сложения для любых х, у G Q и к, т G X получаем
к(х + у) = кх + ку = (х + у)к.
Лемма доказана.
Лемма 1.2. Пусть Q - правое квазиполе с единицей е. Тогда:
-
а) отображение п : к ^ ке (к G X) есть гомоморфизм в Q кольца X целых чисел;
-
б) Q - левый п(Х)-модуль и либо n(X) = X, либо п(Х) = Хр для простого числа р.
Доказательство. Очевидно, что для любых к, т G X имеем:
л(k + m) = (k + m)e = ke + me = л(k) + л(г).
Отображение л сохраняет также операцию умножения целых чисел - л(km) = л(k)л(m), так как
ke • me = k(e • (me)) =
= e ■ me + e • me+... + e • me = me + me+... + me = к раз к раз
= k(me) = (km)e (k,m G Z)
Поэтому л является гомоморфизмом в Q кольца Z целых чисел, и первое утверждение леммы доказано.
Свойства коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности кольца при гомоморфизмах сохраняются. Следовательно, л(Х) = {ke|k G Z} - ассоциативно коммутативное подкольцо в Q, причем ненулевое, так как e ^ 0.
В силу известной теоремы о гомоморфизмах колец, кольцо л(%) изоморфно фактор-кольцу кольца Z по ядру гомоморфизма ^er(л). Если ядро гомоморфизма л нулевое, то л(^) = Z. Когда Ke'r(л') ^ 0, подкольцо л(К) изоморфно конечному кольцу вычетов кольца Z и не имеет делителей нуля, как подмножество в Q. Следовательно, л(Х) изоморфно простому подполю Zp для некоторого простого числа р.
Наконец, следующие равенства показывают, что Q есть левый л(^)- модуль и завершают доказательство:
me • x = m(ex) = mx,
(ke) • (me • x-) = k(e • (me • x)) = (km)x = (ke • me) • x, me • (x + y) = m(x + y) = mx + my = (me • x) + (me • y), (ke + me)x = (ke)x + (me)x = k(ex) + m(ex) = ((k + m)e)x.
Из доказанного утверждения б) сразу же вытекает
Следствие 1.1. Порядок |Q| всякого конечного квазиполя Q является примарным, то есть равен степени простого числа.
По аналогии с леммой 1.2 можно показать, что произвольное полуполе является также правым модулем, а поэтому и двусторонним модулем над н(Х). В случае конечного полуполя, выполняется более сильное утверждение.
Лемма 1.3. Простое подполе Р всякого конечного полуполя 5 содержится в центре 5.
Доказательство. Пусть 5 - полуполе и Р - его простое подполе, то есть
Р = и(Х) = (е, 2е, ..., (р — 1)е, ре = 0}.
Докажем, что Р с 7(5), где 7(5) - это центр 5. Другими словами, нужно показать, что при любых ке G Р* и х G 5 всегда имеем, что (ке~)х = х(ке) Это показывают следующие равенства:
(ке)х = (е+... +е) х = ех+... +ех = х+. .. + х, к раз к раз к раз
х(ке) = х (е+... +е) = хе+... +хе = х+... +х.
к"раз ' к раз к раз
Доказательство завершено.
Известно, что существует квазиполе порядка 25, простое подполе которого не содержится в центре этого квазиполя.
Далее покажем это.
Наиболее изучены квазиполя с ассоциативными степенями: ассоциативные квазиполя или почти-поля [1].
Известен единообразный способ построения конечного почти-поля как специального расширения степени и центра GF(q') с аддитивной группой (GF(qny +). Это расширение порядкаргп, называемое почти-полем Диксона, характеризуют порядком q = р1 центра и степенью и, которое можно выбирать произвольно с условиями:
1) каждый простой делитель и делит q — 1; 2) если q = 3(mod 4), то и £ 0(mod 4).
Как доказал в 1936 году Цассенхауз [5], конечные почти-поля исчерпываются почти-полями Диксона и, кроме того, семью исключительными почти-полями порядка р2 с простыми р = 5, 7,11,23,29,59. (Они выписаны в [1].)
Отметим, что в лемме 1.2 нельзя заменить левый модуль над простым подполем 7t(Z) на правый. Это можно показать на примере почти-поля NQ порядка 25 из списка названных выше 7 исключительных почти-полей. Лупа NQ* выписана в [1] явно, как матричная группа
nq-=<-M0 —')j;=('l —2)>-
Которая изоморфна группе SL(2,3) порядка 24. Группа SL(2,3) имеет центр {Е, —Е} порядка 2. Поэтому центр почти поля NQ имеет порядок 3 и не содержит простое подполе. Доказана
Лемма 1.4. Существует почти-поле NQ порядка 25 с простым подполем
Z5E = {0, Е,—Е, 2Е, —2Е}, не лежащим в центре NQ.
Список литературы Некоторые вопросы строения квазиполей с фиксированными ограничениями
- Холл, М. Теория групп / М. Холл. - Москва: Издательство иностранной литературы, 1962. - 468 с.
- Курош, А. Г. Лекции по общей алгебре / А. Г. Курош. - Санкт-Петербург: Лань, 2007. - 560 с.
- Luneburg, H. Translation planes / H. Luneburg. - Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1980.
- Hugher, D. R. Projective planes / D. R. Hughes, F. C. Piper. - New-York Inc: Springer-Verlag, 1973. - 291 p.
- Zassenhaus, H. Uber endliche Fastkorper / H. Zassenhaus // Abh. Math. Sem. Hamburg. - 1936. - 11. - P. 187-220.