Нелинейное и анизотропное спиновое расщепление электронных уровней Ландау в наноструктурах на основе GaAs

Магнитное поле В приводит, как известно, к зеемановскому расщеплению уровней энергии электронов. Обычно величина расщепления линейно зависит от В, причем коэффициент пропорциональности равен магнетону Бора, умноженному на. фактор Ланде (или g-фактор). Для электрона в кристалле g-фактор отличается от своего значения в вакууме, где g = 2, из-за спин-орбитального взаимодействия и существенно зависит от электронной структуры [1]. Исследования спинового расщепления спектра электронов в наноструктурах важны не только для фундаментальной физики, но и для становления спинтроники. В работе [2] обнаружено анизотропное и нелинейное по В спиновое расщепление электронных уровней Ландау в наноструктурах на. основе асимметрично легированной квантовой ямы на. основе гетероструктуры GaAs/AlGaAs. Причина, нелинейности неясна. Настоящая работа, посвящена, теоретическому объяснению этого необычного результата.

Рассмотрен односторонне легированный гетеропереход GaAs / Al_ЖСai-^As. Потенциал, зависящий от z-координаты, моделируется треугольной ямой с одной вертикальной (в точке z = 0) и другой наклонной V (z) = eFz, где F > 0, при z > 0 стенками (рис. 1).

Ранее подобные структуры описывались в рамках приближения эффективной массы, которое считалось применимым во всем пространстве [3]. Однако оно оказывается неприменимым для описания атомарно резкой гетерограиицы. Поэтому мы предлагаем, следуя [4], считать приближение эффективной массы применимым везде, кроме границы, а границу описывать граничным условием для эффективных волновых функций, которое получено нами из общих соображений эрмитовости однозонного гамильтониана, на. полупространстве и инвариантности по отношению к обращению времени.

Рис. 1. Форма модельной потенциальной ямы

Однозонный гамильтониан электрона проводимости действует на спинорную эффективную волновую функцию и с учетом вкладов, зависящих от спина, имеет следующий вид:

Ру

Н = РЦ + V (г) + иD + Н r ,                      1

2m*

где НD  объемный гамильтониан Дрессельхауза, который описывает спиновое расщепле ние зоны проводимости полупроводника без центра инверсии (типа A3В5):

^Н D = ~ 1 ^(с х Р х (Ру ^{- ру} ) + ^су Р у (й ^- Р х ) + ^с х ^р , (Р2. - р^Т              (2)

где р_х, Р_у компоненты квазиимпульса электрона в плоскости двумерного электронного газа, р_х — оператор импульса в направлении размерного квантования, с_х, с_у, c_z — матрицы Паули, 7с — константа кубичного по р спинового расщепления зоны проводимости (константа Дрессельхауза).

H r - гамильтониан типа Рашбы [5]:

H r = «r (с х Р у - Су Р х )9_ZV(г ),                             (3)

где a _R — константа, определяемая параметрами зонной структуры и пропорциональная величине спин-орбитального расщепления.

Из условия эрмитовости гамильтониана на правом полупространстве следует условие, которому должна удовлетворять любая пара его собственных функций у и ф:

[( ф^t Э₂ф - (Э ^ Ф ^у) + ^m^ (Ф^ (С у Р у - Сх Р х )Э г ^ - (Э х Ф ) ⁺ (С у Р у - С х Р х ) у ) + ^2m 7с

⁺ г ~ 4 ^{ф 1 С} х ⁽Р х ^- Ру ) У>Ш=0 = 0 .

Здесь ф t = (ф* ,ф*) а выражение типа ф^t у означает биспинорную комбинацию вида ^ф* уі^{+ ф}* уу-

Как можно заметить, условия (4) недостаточно для определения граничного условия. Потребуем инвариантность условия (4) по отношению к обращению времени (оператор инверсии времени Т = гС_уК, где К — оператор комплексного сопряжения). Таким образом, из (4) получим граничное условие, которое будет определяться единственной константой R, имеющей размерность длины:

R^p x   ,2m* 7с R                 m* у_с^R

= 0 .

х =0

^{1 + г} ~~- ^{+ г} —~ 4— ^(су Р у ^{- С} х Р х )Р х + ^г   ~ 4  ^С х ⁽Р х ^- Ру ) У

В полном граничном условии также необходимо учитывать спин-орбитальное взаимодействие с границей. Такой дополнительный спин-зависимый вклад не может быть получен в рамках однозонного приближения. Его вычисление произведено в работе [6] для полупроводника с центром инверсии. С учетом этого вклада полное граничное условие для полупроводника без центра инверсии примет вид

,

^{(1 +} G 1 + G 2 + G з )уф =о = О ,

G

_ . Rр .

1 г ~

• - xR

G 2 = — ( о у Р ж - о ж Р у ) ,

X — отношение разности спинового расщепления электронного спектра в полупроводнике и аналогичной величины в вакууме к интервалу между уровнями Ландау. Для GaAs

.. m*

X = ( 5 0 - 9 )к— - 0 , 082 ,

2 mo

• 9о    — это фактор Ланде лля электрона в вакууме. 9* — фактор Л аиле в GaAs. ттг* — эффективная масса, то — масса свободного электрона.

ж    • ^2m*7c^R,           _v     ,m*R_cR    _{2    2}

^G 3 = г —~4— ^(о у р_у ^- о ж Рж)Р . + г   ~ ₄  °. ⁽р_ж ^- Р у ) .

Вклады Gi, G₂ были ранее получены в работах [4], [6] соответственно. Вклад G3 получен впервые.

Считая длину R малой по сравнению с остальными длинами задачи, преобразуем граничное условие (6) к более удобному виду Гу|.=о = 0 с оператором Г, который, с учетом спиновых членов до R^piPj (г = х,у; j = 2) включительно, примет вид f~l.- f^г , 2m*7cR/               m*ycR   2   2x,Xr2z          v\

. (7)

^{Г - 1+г}   ~- ⁺ --- ~ 4-- ^(о у Р у ^{- О} ж Р ж )Р . ⁺    ~ 4  ^о . ⁽Р ж ^- Р у ) ⁺ -~ 2- ^(о ж Р у ^{- о} у Р ж ) Р .

3.    Вклад поверхности в эффективный двумерный гамильтониан для огибающих волновой функции

Вместо того, чтобы решать задачу с известным гамильтонианом (1) и сложным граничным условием (7), перейдем с помощью унитарного преобразования ф = Гу к новой задаче с преобразованным гамильтонианом и стандартным (нулевым) граничным условием:

Н 'ф = Еф,

Ф|. =0 = 0 .

Преобразованный гамильтониан будет определяться выражением н' = н + 5Н,

5Й = Rd. V + ^XR- (О ж Р у - О у Р ж )d_z V + ^{2 m} ~ 3 ^{C R} (о у Р у - О ж Р ж^ Э г V.

После усреднения по быстрому движению электрона вдоль оси размерного квантования получим эффективный двумерный гамильтониан, содержащий все спиновые вклады, общий вид которых известен [7]:

рж   .  ру

H2 D =     +     + ^eRR + ^a D (О у Р у - ОжРж ) + « R (О ж Р у - О у Рж ) ,

2 m‘    2 m

«D =

2 m* Де ~³

f(^ + _еҒК\ , 2 m*

ад = еҒ

^f xR А

(^{aR +} "Т" /

(Ю)

Здесь ар и ад — двумерные константы Дрессельхауза и Рашбы, оси ж, у направлены по кубическим осям [100], [010], А_пп = (п|Л[п) — усреднение по n-му уровню энергии в треугольной яме, Ғ = (d_zV)_П п /е — напряженность поля.

Из (9) и (10) видно, что обе константы имеют дополнительный вклад, связанный с влиянием поверхности и существенно зависящий от параметра границы R. Этот результат ранее не был известен.

4.    Влияние магнитного поля: вычисление поправок к компонентам тензора у-фактора двумерных электронов

В магнитном поле оператор импульса следует заменить оператором обобщенного импульса [8]:

p ^ 7Г = p A, с где A — вектор-потенциал. Магнитное поле выражается через вектор-потенциал

B = (В х ,В у Д ) =14 >lA.

Некоммутирующие элементы должны быть заменены на симметризованные комбинации

ЛіЛ1 + TTjTTi л^ ^   2 — = {лi,Лj}.

Тогда гамильтониан (1) - (3) и граничное условие (7) примут вид

Л2          . .      -         -1

77 = 2 m* ^{+ V(z) + Н}Р ^{+ Н} R - 2 ^g ^^В ( ^ОВ),

^Н d = ~3 ⁽{^Ох^Лх, ( ^Л 2 ^{- Л} 2 ^)} + ^{О у ^Л у , ^(Л 2 ^{- Т} _х ^)} + Д- Д, ^(Лх ^{- Л} 2 ) ^} ) ,

Hr = ад(ахТу - ОуЛхДV(z), f       fRЛг ,'2m*--R._   „ * А      m*FR z,2   2x  \R\v_/А

Г — О0 + ^    ~  +    ~4   {(ОуЛу   ОхЛх), Лг} +   ~4  Ог(Лх   Лу) +  ~2 {(ОхЛу   ОуЛх), Лг}.

Сделаем преобразование, аналогичное тому, которое было сделано в отсутствие магнитного поля. Сведем задачу к новой — с преобразованным гамильтонианом и нулевым граничным условием:

И ’ = Н + 5Н,

^|г =о = 0 .

с        QR - n QR - п            2 m*7_c R   ,      „

6Н = —     Л х В у +     Л у В х + Rd_z V +---- (О у Л у — О х Тх^д г V +

т*с        т*с                  ~3

+ ^ ^В g m ^ _C ^R (-О г В х {л у Л г } + О х В г {Л у Л_г} - О ^ В у {Л х Л г } + О у В_г {ЛхЛ_г} ) +

-

, ДВ g*^mX c ^R, 22  22                  ^r2 х,.

⁺      ~ 4      ^(Лх ^-Л у ^)(О у ^В х ^{- О} х ^В у ) ⁺ —~— ^(Ох^Лу

^{Дв g R Х} ( п г      ■>       п г      ■>        п г      ■>

~ 2     ^(Ог ^В у ^{Лу^Лг ^{}    О} у ^В г ^{Лу ^Л г ^{} + О}г ^Вх^{Лх^Лг ^}

^- О у ^T х ⁾Э_z^{V —}

- У х В_к {ЛхЛг} ) .

(И)

Проведя усреднение по быстрому движению электрона в направлении размерного квантования и по А-му уровню Ландау (при этом два первых слагаемых в (11) включаются в нулевое приближение), представим полученный вклад в виде зеемановского слагаемого

f1

^н —   2 ^Дв ^g ij ^О i ^В j .

Здесь предполагается суммирование по повторяющимся индексам. Отсюда получим компоненты тензора 9-фактора в кубических осях:

*   2e2 F R / R²_X\

9 х ‘ х ‘ ^— 9_У’_у’ ^— 9 +         ^д + J ,

²7c^e , / 2х         /2х . 4m*7_c^Re / ⁽р²2)_пп         \    2_7c^e2          /      1 X

^9x‘^y‘ ^{— g} Vx ‘ ^— ^_|c~3 ^((pzЪп^п ^(p_zД™ ⁾⁺ ^_|с~з 2т* ^{+ eFR}) ~2_с^_№ \^R\^B * ⁺ 2J ,

'здесь g* — —0,44. N — 0,1, 2,... — номер ур<>вия Ландау. —e — 'заряд электрона, рв ~ магнетон Бора.

Представим у-фактор в виде

⁹ ij ^(В) — ⁹ ij ^{(0) + a} ijk ^В к .

Тогда.

9x-y-(0) — 9y-x‘(0) — jp^ «Р2)™2™ — (р2^ +     .7 ('.■    + eFR) ’    |13)

^ X ’ y ’ Z — ^y ’ X ’ Z —

-

2^2 ~² с²|рв |

^r(^{n +}2У

Первое слагаемое в (13) было ранее известно [9]. Второе получено здесь впервые. Оно зависит как от объемной константы Дрессельхауза, так и от константы R, характеризующей поверхность. Кроме того, получена линейная зависимость недиагональных компонент g-фактора от квантующей компоненты магнитного поля B_Z. Коэффициент пропорциональности определяется (14). Видно, что он зависит от номера соответствующего уровня Ландау.

В силу равенства недиагональных компонент g-фактора в кубических осях, при повороте системы координат на 45° вокруг оси г, тензор станет диагональным, что и наблюдалось в эксперименте [1].

5.    Сравнение с экспериментом и численные оценки

В работе [2] исследовано спиновое расщепление электронных уровней Ландау в асимметричной квантовой яме с шириной 25 нм и концентрацией электронов n_s —4 • 10¹¹ см^-2. Обнаружена сильная анизотропия тензора 9-фактора. Показано, что главными осями тензора являются не кубические оси, а кристаллографические направления [110], [—110], [001]. Определены компоненты 9-фактора и его производные по квантующему полю B_Z в главных осях.

Таблица!

Экспериментальные значения компонент тензора 9-фактора и его производных по магнитному полю в главных осях [2]

9xx(0)	—0,289	^xxz (Т )	0
9 уу (0)	—0,359	Q yyz (Т 1)	—0,012
9zz(0)	—0,410	a zzz (Т -1)	—0,0175

Определим недиагональные компоненты в кубических осях, используя формулу

⁹ Х ‘ у ‘   2 ⁽⁹XX

9yy ).

Получим 9 х ‘ у ‘ (0) — 0, 035. Qx’y’z — 0, 005Т^-1

Таким образом, из (13), (14) можно определить у_с и R:

^_с = 9э В х .V,

R = -24.X.

Проанализируем эти значения. Полученные различными авторами значения ус для изучаемых ими структур на основе GaAs лежат в интервале (9-28) эВ х А3 [10]. Наше значение попадает в этот интервал.

Отрицательный знак R соответствует отсутствию поверхностных (таммовских) состояний, что не противоречит эксперименту для гетерограницы GaAs/AlGaAs. Кроме того, численное значение R обеспечивает выполнение тех предположений, которые были сделаны нами при построении теории.

6.    Вывод

Мы применили оригинальный метод для описания гетерограницы. Он основывается на том, что приближение эффективной массы неприменимо для описания атомарно резкого потенциала границы. Поэтому ее следует описывать граничным условием, которое получено нами из общих соображений эрмитовости гамильтониана на полупространстве и инвариантности задачи по отношению к обращению времени. Показано, что граничное условие определяется единственным параметром R, который имеет размерность длины и характеризует границу. Вычисления произведены с учетом отсутствия центра инверсии в объемном кристалле и асимметричности структуры (вклады типа Дрессельхауза и Рашбы).

Получен эффективный двумерный гамильтониан. Показано, что двумерные константы Дрессельхауза и Рашбы содержат дополнительные вклады, связанные с влиянием поверхности и зависящие от R.

Изучено влияние магнитного поля на спектр двумерных электронов. Получены значения компонент тензора g-фактора электрона. Показано, что сочетание влияния поверхности, отсутствия у кристалла центра инверсии и спин-орбитального взаимодействия приводит к линейности g-фактора по квантующей компоненте магнитного поля B_z. Коэффициент пропорциональности существенно зависит от параметра границы R, константы Дрессельхауза у_с и номера соответствующего уровня Ландау. Из сравнения полученных выражений (13) и (14) с экспериментальными значениями [2] определены у_с = 9 эВ х А³ и R = -24 А. Показано, что они являются физически разумными.

Работа поддержана грантом РФФИ 14-02-011-66.

Ж. А. Девизорова выражает благодарность фонду «Династия».