Нелинейное программирование в моделировании бизнес-плана

При оценке трудоемкости разработки бизнес-плана обнаружена необходимость автоматизации процесса бизнес-планирования. Допущение ошибок во время его составлении влечет за собой большие материальные затраты при реализации бизнес-плана. Существуют программные продукты для бизнес-планирования, упрощающие процесс составления бизнес-плана для специалистов данной области.

Основой программы для бизнес-планирования является построение финансовой модели предприятия. Проводится финансовый анализ деятельности предприятия с расчетом и оценкой показателей эффективности.

Постановка задачи сформулирована следующим образом: из числа программных продуктов для бизнес-планирования требуется выбрать с минимальной величиной дисперсии эффективности проекта при выполнении ограничений.

Для решения задачи применяется метод нелинейного математического программирования [1, 2]. Пусть 5 = {s 1 , s₂, ...,s_t} = {S j }   - множество проектов для бизнес-планирования, а

R = {г1,г2, ^,гп} = {г} - множество эффективностей проектов для бизнес-планирования, i = 1,и. Эффективности г - случайные некоррелированные величины. Характеристики случайных величин г -математическое ожидание М (R) = mj и дисперсия D(Rj) = 72 эффективностей проектов бизнес-планирования являются известными величинами. Значение средней эффективности группы проектов бизнес-планирования Мр - задается лицом, принимающим решение.

Пусть X j - стоимость i-го программного продукта для бизнес-планирования:

0 < Xj < l/L^Xj = 1.

Необходимо определить оптимальный проект бизнес-планирования в условиях риска. Математическая модель задачи нелинейного программирования имеет вид [3]:

minZ = 3=1X2 • DRl.(2)

при следующих ограничениях:

LF=iXj = i, LT=iXfMRL = Mp, Xj>o,i = m,(3)

где X j - стоимость i-го программного продукта для бизнес-планирования; DR j - дисперсия эффективности i-го проекта бизнес-плана; MR j - математическое ожидание эффективности i-го проекта бизнес-плана; М р - средняя эффективность группы проектов; i - номер проекта, i = 1, и; п - количество проектов.

Оптимальное решение определяется методом Лагранжа [].

Необходимое условие экстремума сводится к существованию системы

уравнений (2). -"L^-y^.^D, 9x1    9x1      j  1 j  9x1 "■ — = -"L - yk  г • "^ = о. <  9xn   9xn     j 1 j  9xn                                (4) ^ = Ь -р^,...^) = 0, ^^  = Ьт  рт(х1, ■",хп)   01 Система уравнений (2) позволяет найти неизвестные величины х1,^,хп; Л1,^,Лт при т < п [4,5]. Условный экстремум функции f(x1, .^,хп) определяется согласно условию [6]: условный максимум - при d2L < 0, условный минимум при d2L > 0. Определяются искомые величины:

• -    х 1 - стоимость проекта бизнес-плана с применением «Альт-Инвест»,

• -    х₂ - стоимость проекта бизнес-плана с применением «COMFAR III Expert»,

• -    х₃ - стоимость проекта бизнес-плана с применением «Project Expert»,

• -    х₄ - стоимость проекта бизнес-плана с применением «Business Plan

PL»,

• -    х₅ - стоимость проекта бизнес-плана с применением «Plan Business Intelligent».

Характеристики случайных величин г представлены в таблице 1.

Средняя эффективность группы проектов М_р = 14.

Таблица 1 - Характеристики случайных величин г

№	Проект бизнес-плана	r	MRt	^
1.	Альт-Инвест	r i	18	6
2.	COMFAR III Expert	Г	22	9
3.	Project Expert	r3	13	4
4.	Business Plan PL	Г 4	19	7
5.	Plan Business Intelligent	r5	15	5

Математическое описание выбора оптимального проекта бизнес-

плана имеет следующий вид:

Z = 36x12 + 81x22 + 16x32 + 49x42 + 25x52.      (5)

Система уравнений ограничений математической модели (5):

{ x_i 2 + x 22 + x₃ ² + x₄ ² + x₅ ² = 1, 18x 12 + 22x 22 + 13x 32 + 19x 42 + 15x 52 = 14,          (6)

x12,x22,x32,x42,x52 > 0.

Для решения поставленной задачи необходимо определить функцию

Лагранжа [7]:

L(xi,^,xn; Л1, ^,Лт) = f(xi,...,xn) + Q12^ [Ьу-фу-Сч,...^)];

Определены стационарные точки функции Лагранжа:

r’r-sM-r1»».'»^; d%i    d%i      i 1 1 g%1

(Д = bi — ^i, - ,xn) = 0,j = 1,^.

-

Определены условные экстремумы функции

Лагранжа,

представленные в виде систем уравнений:

( А — 72x4 - Л4 - 18Л2 = 0, дХ1

^ — 162_Ж2 - Л 1 - 22Л₂ — 0,

.    = 32x 3 -/ 1 - 13/₂ = 0,

^ ^{— 98х} 4 ^- Я 1 ^-19 Л 2 ^{— 0} ,

9L

—— — 50x5 — Я4 — 15^2 — 0.

V 0X 5

{ дЬ

9Л 1

—- — -(X i + Х 2 + Х 3 + Х 4 + Х 5 - 1) — 0, аЛ 1

-(18x 1² + 22х₂² + 13x 3² + 19х₄² + 15x 5² - 28) — 0.

Исходя из системы уравнений (8), получены следующие

соотношения:

Х 1

Л + 18Л

—    2, Х2

72      2

Л +22Л

—----2, Х3

162     3

Л 1 + 1ЗЛ 2

, Х 4

Л 1 + 19Л 2

, Х 5 —

Л 1 +15Л 2

. (10)

Подставив соотношения (10) в (9), получена система уравнений:

10,0815/ 1 + 1,02859/ 2 — 1, { 0,025/ 12 + 5,74/₂ ² — 28.

Исходя из системы уравнений (11), положительные значения / 1 и /₂

соответственно равны:

/ 1 — 27,8; /₂ — 2,03.                     (12)

Подставив (12) в соотношения (10), получены искомые величины:

Х 1 — 0,89; х₂ — 0,45; х₃ — 1,69; х₄ — 0,68; х₅ — 1,17.    (13)

Соответственно, (5) примет вид с учетом (13):

Z — 158,1.

Таким образом, проект бизнес-плана с применением программного продукта «Project Expert» имеет максимальную стоимость, а с применением программного продукта «COMFAR III Expert» -минимальную.

Выводы: разработан нелинейная математическая модель выбора оптимального программного продукта для бизнес-планирования, определенная методом Лагранжа.