Необходимые и достаточные условия образования волновых катастроф каспоидной серии

Настоящая работа посвящена определению положений центров одномерных каспоидных фокусировок в трехмерном координатном пространстве. Каспоидные фокусировки – это простые (нульмодальные) особенности, характеризующиеся кратностью k [1–3], т. е. числом лучей, сливающихся в особой точке. Лучи соо _r тветствуют критическим (седловым или стационарным) точкам фазовой функции Ф ( 1 ) . Обычно фазовая функция возникает при построении асимптотических решений физических задач в виде интегралов от быстро осциллирующих функций [3; 4]:

+^

I = J f ( 1 )exp[ i Ф ( < )] d 1 .

-∞

r

При этом возникает необходимость в анализе критических точек (1). Точка ξ ^o

на-

зывается критической, если

™|_к. = 0 .

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 18-02-00544-а).

ВЕСТНИК РОСНОУ. Серия «Сложные системы…»

Критическая точка вырождена, если ранг матрицы Гесса меньше размерности вектора ξ :

H =

∂ ² Φ ∂ξ i ∂ξ j

—— rank H < n = dim ^.

В теории распространения волн случай, когда коранг матриц Гесса κ

К = n - rank H                             (4)

в критической точке равен единице, соответствует одномерной фокусировке; к = 2 -двумерной фокусировке и т. д. Вырожденные критические точки, у которых к = 1 , соответствуют каспоидным катастрофам (катастрофам типа A _k).

Введем понятие эквивалентности функций.

Определение . Функции f 1 (в точке ^ 1 ) и f₂ (в точке ^ ₂ ) эквивалентны, если существуют окрестности V_i ( ξ _i ∈ V_i ), диффеоморфизм P : V ₁ → V ₂ и постоянная C ∈ R , такие, что — —    —

P (U = ^ 2 , —                      — —

—                  f ( ^ 1 ) = f 2 ( P О + C                       (5)

для всех ξ ₁ ∈ V ₁ .

В случае, когда rank H равняется числу переменных, функция Φ в окрестности критической точки, согласно лемме Морса, эквивалентна

±^ 2 ± ^ 2 ± .... ± ^ 2 .

Если к = 1 , а n > 1, то, согласно лемме расщепления, с помощью невырожденного преобразования

I = P ( X )                                   (6)

функцию Φ можно привести к виду

F ( х ) = ф ( х 1 ) ± х 2 ± .... ± х 2 .

Функция ф(х1) уже зависит от одной переменной, причем в критической точке выполняется условие:          —       дф(0) д2ф(0)

x o = f ( £ o ) = 0,         =        = 0.

^{1      1}                ∂ x ₁        ∂ x ₁ ²

Если невырожденным преобразованием можно добиться, чтобы ф ( х 1 ) = ( х 1 ) , то говорят, что функция Φ имеет в точке ξ ^o о собенность типа A _k. Ясно, что определение явного вида невырожденного преобразования (6) является непростой задачей.

В случае одной переменной n = 1 известно (см., например, [3; 5; 6]), что функция эквивалентна ±^ k ^{+ 1} тогда и только тогда, когда

Ф ⁽ m )£ o ) = 0, 1 <  m <  k , Ф ^{( k + 1)} ( ^ o ) = 0 .                      (7)

Рассмотрим подробнее случай двух переменных: ^ = ( ^ 1 , ^ ₂) , Ф : R ² ^ R ¹ . Мат-

рица Гесса ∂2Φ ∂2Φ H = ∂(ξ1)2 ∂2Φ ∂ξ1∂ξ2 ∂2Φ (8) ∂ξ2∂ξ1 ∂(ξ2)2 может иметь максимальный ранг, равный 2. В этом случае detH ≠ 0 и функция Φ эквивалентна ±^2±^2.

Если теперь ранг равен 1 (соответственно, коранг к = 1 ), то критическая точка имеет каспоидный тип ( A k ). В этом случае det H = 0 , но |Ф 11| + |Ф₂₂ р 0 .

Здесь и далее введены следующие обозначения:

, 9Ф _    9 ² Ф     „ 9 F      , 9E

Ф _—-- Ф _—---- F = — p = —^i

' 9^, y 9^,9^j       ' 9x     Pj 9xj nn n

B_n ( Ф , a , b ) = У -----—------- a ” - ' b ' , T ( Ф ) = B „ ( Ф ,1, -ф ) .

^{n (}         ) t ( 19 (^ 1 ) ” ^- ' 9 ( ^ 2 ) ”         ” ⁽          )

Пусть для определенности Ф22 ^ 0, ф — Ф12 / Ф22. Тогда справедливо утверждение: для того чтобы функция Ф имела в точке ^° особенность типа Ak, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства (9.1), … , (9.k) и не выполнялись равен- ства (9.k +1) [7]:

Ф1 — Ф 2 = 0;(9.1)

Ф11Ф 22 = Ф?2;(9.2)

Тз(Ф) = 0;(9.3)

Ф22 Т4(Ф) = 37^);(9.4)

ф 22 т5(Ф) = 10Ф22 Т2(ф2)Тз(Ф 2) - 152;(ф 22) тЖ);(9.5)

Ф ^2 Т ₆( Ф ) = 15 Ф 22 7 ] ( Ф 2 ) Т 2 ( Ф 2 ) + 15 Ф 222 Т /( Ф 2 ) - 45 Ф 22 T 2 ( Ф 22 ) T 2 ( Ф 2 ) +

+ 10[Ф 22 Тз(Ф 2) - 37] (Ф 22 )Т2 (Ф2 )]2 ;

Ф 42 T 7 ( Ф ) = 2 1 Ф 3 ₂ T 5 ( Ф 2 ) Т 2 ( Ф 2 ) + 2 1 Ф 22 T 5 ( Ф ) Т 2 ( Ф 22 ) - 7 Ф 22 Т б ( Ф ) Т ( Ф 22 ) -

- 105 Ф 222 Т 2³ ( Ф 2 ) Т 1 ( Ф 22 ) + 35 Ф 22 Т 4 ( Ф 2 ) Т з ( Ф 2 ) - 105 Ф 22 Т ^( Ф 2^ ( Ф 22 ) + (9.7) + 105 Ф ₂₂ Т 1 ( Ф ₂₂₂) Т ₂ ³ ( Ф ₂) + 105 Ф ₂₂₂ Ф ₂₂ Т ₂ ² ( Ф ₂) Т ₃( Ф ₂).

Проиллюстрируем способ доказательства этих выражений на примере. Пусть Ф ( ^ 1 , ^ ₂) = 0 в критической точке имеет особенность A 5 . Тогда в окрестности критической точки с помощью невырожденного преобразования (6) эта функция может быть приведена к виду

Ф = F + C , F ( x 1 , x ₂) = ± ( x 1 ) ⁶ ± ( x ₂) ² .                     (10)

Запишем производные тождества (10) по x_i до пятого порядка включительно. Например:

F k =ф р к , -.= °. x 0

Так как det || р ] || ^ 0 (в силу невырожденности преобразования (6)), находим

Ф , — 0, ' — 1,2 .                                  (11)

Из вторых производных с учетом (11) получаем

F 11 ^{— Ф} и P i P j ^{— 0} ,

^F 12 ^{— Ф} у Р 1 Р 22 ^{— 0} ,

^F 22 ^{— Ф} у Р 2 Р 2 ^— ± ^2, откуда находим, что

Ф_У Р 1 ^У — 0, ' — 1,2 .                                (12)

Третьи производные приводим к равенствам

Ф _ys p ^ p S + Ф _ур1 1 — 0, ' — 1,2 .                       (13)

ВЕСТНИК РОСНОУ. Серия «Сложные системы…»

Теперь с помощью условий (11) – (13) находим выражение для производной F ₁₁₁₁₁ :

Л 1111 = ^Ф ijstk P i P j P' x P t P’ k ^{+ 10 Ф} ijst P i P j P' s P t 1 ^{+ 15 Ф} is P i PhP 11 ^{+ + 10 Ф} us P i PiPn i ^{+ 10 Ф} U P 11 Pin ^{+ 5 Ф} u P i P jiii ^{+ Ф} . P i '1111 = 0.

С учетом (11) – (13) получаем фusk pIpIp^pIp! +10Фyst PiPlpsp 1 +15Фj PiPjP1S1 = 0.

Используя опять выражение (13) с i = 2

^Ф 2js Pp ^{+ Ф} 21 P 11 ^{+ Ф} 22 Pn = 0,

^Ф 22 ( Pn ⁺ Ф P n ) = - B 2 ( ^Ф 2 , P 1¹ , P 12 )

и подставляя (16) в (15), получаем:

^Ф 22 B 5 ^{( Ф} , P 1 , P 1^{2) +} 1 ^{0 Ф} 22 ( ^Ф ₄ s 1 P i P j P s - ^Ф ₄ s 2 P i P j P s ф ) P 11 ⁺ + 15 Ф 222 (p 1i ) 2 ( Ф_{Я 1} - 2 Ф_Я 2 ф + Ф i 22 ф ² ) p i + ^{+ 30 Ф} 22 P n ( Ф^Ф i 22 ^-Ф i 12 ) P i B 2^{( Ф} 2 , P 1 , p " ) =

= ¹ 0 ^Ф 22 B з ^{( Ф} 2 , P 1 , P 12 ) B 2 ^{( Ф} 2 , P 11 , P 12 ) ^{- 1 5 В} 1 ^{( Ф} 22 , P ¹ , P^^{B 2 ( Ф} 2 , P ¹ , Pl^.

С учетом

’=ФГ = - ^ Φ 22

и равенств (9.3), (9.4) окончательно находим

Ф 22 B ₅( ф , p\, P 2 ) = 10 Ф 22 B з ( Ф 2 , p 1 , P 2 ) B 2 ( Ф 2 , p\, P 12 ) -

-15B1(Φ22,p11,p12)B22(Φ2,p11,p12).

Это и есть условие для A ₅. Аналогично определяются остальные выражения.

Таким образом, в данной работе, в дополнение к уже известным, получены условия образования каспоидных катастроф A ₅ (бабочка), A ₆ (вигвам), A ₇ (звезда) для случая n = 2 (функция двух переменных), что является крайне важным в прикладных расчетах для определения типа фокусировок волновых полей (см. [4; 8–11]).