Необходимые и достаточные условия поточечной и раномерной внутри интервала (0; ) аппроксимации непрерывных функций Синками

Данная работа посвящена изучению аппроксимативных свойств синк-приближений, используемых в теореме отсчётов Уиттекера-Котельникова-

Шеннона (см.[1],[2],[3],[4]). В связи с необходимостью развития теории кодирования сигналов, Э.Борель и E.T.Уиттекер ввели понятие кардинальной функции, сужение с оси на отрезок [0,тт] которой выглядит так:

и   ^sin⁽K^x-kK^{)   к}^ _ _vn

Lnj W = Lk=o пх-кп Т(п) = Lk=°

(-1)^k sin их пх-кп

f®.

(1)

Уже сейчас достаточно подробно изучены свойства синк-аппроксимаций аналитической на действительной оси функции, экспоненциально убывающей на бесконечности. Наиболее полный обзор результатов, полученных по этой тематике до 1993 года, как и большое количество важных приложений синк-аппроксимаций можно найти в [3]. Интересный исторический обзор исследований в этой области содержится также в [5].

При построении различных численных методов математической физики и приближения функций как одной так и нескольких переменных [6],[7],[8] в теории квадратурных формул [3] и теории вейвлет-преобразований или всплесков [1], [2], [4] синк-приближения нашли широкое применение.

В [9], [10] изучаются модификации синк приближений (1), с помощью которых можно приближать произвольные раномерно непрерывные функции, ограниченные на оси.

Из результатов работ [11], [12] мы заключаем, что при использовании классических синк-аппроксимаций (1) вблизи концов отрезка [0,л] возникает явление Уилбрейама-Гиббса.

Насколько нам известно, до появления работ [12], [13], [14], [15], [16], [17], приближение такими операторами на отрезке, или ограниченном интервале осуществлялось только для некоторых классов аналитических функций [3], [18] сведением к случаю оси с помощью конформного отображения. В [17] получена оценка сверху наилучшего приближения непрерывных, исчезающих на концах отрезка [0,я], функций линейными комбинациями синков.

Из плодов исследований в [19] видно, что при попытке приближения негладких непрерывных функций значениями операторов (1) возможно появление "`резонанса"', приводящего к неогранченному росту погрешности аппроксимации на всём интервале (0,я). В этой же работе [19] установлено отсутствие равносходимости значений операторов (1) и рядов или интегралов Фурье на классе непрерывных функций.

В [20], [21] и [22] предложены различные модификации синк приближений (1), позволяющие приближать произвольные непрерывные функции на отрезке [0,я]. Анализ полноты системы синков (1) в [21] в пространствах С[0, т] С 0 [0,7г] = {/:/’£ С[0, тг],/(0) = /(т) = 0} позволяет сделать вывод о том, что построить оператор в виде линейных комбинаций синков, позволяющий равномерно приближать произвольную непрерывную функцию на отрезке, невозможно.

В работах [21], [22] кроме того, установлены новые необходимые и достаточные условия равномерной сходимости синк-приближений (1) и некоторых их модификаций на всём отрезке [0,т].

Работа [23] посвящена исследованию аппроксимативных свойств операторов интерполирования, построенных по решениям задач Коши с дифференциальными выражениями второго порядка. Операторы, предложенные в [23], являются обобщением классических синк-приближений (1). В [24] приводится ряд приложений результатов работы [23] к исследованию аппроксимативных свойств классических алгебраических интерполяционных многочленов Лагранжа с матрицей узлов интерполирования, каждая строка которой состоит из нулей многочленов Якоби   Р^^п,1Вп с параметрами, зависящими от п.

Начиная с известной работы Крамера [25] изучаются вдобавок тоже аналоги теорем отсчётов для операторов интерполяции Лагранжа по узлам из спектра задачи Штурма-Лиувилля, например, [26].

В тесной связи с синк-приближениями находятся интерполяционные процессы Лагранжа, построенные по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля. Г.И.Натансон в [27] получил признак Дини-Липшица равномерной сходимости внутри интервала (0, л), т.е. равномерной на любом компакте, содержащемся в (0, л), процессов Лагранжа-Штурма-Лиувилля.

Исследования, проведённые [28], [29], [30] показывают, что при сколь угодно малом изменении параметров задачи Штурма-Лиувилля (потенциала q, или констант h, Н ) аппроксимативные свойства этих процессов могут сильно измениться. В работе [31] устанавливается существование непрерывной на [0, л] функции, интерполяционный процесс Лагранжа-Штурма-Лиувилля которой неограниченно расходится почти всюду на [0, л]

Основные результаты

Эта работа посвящёна необходимым и достаточным условиям возможности аппроксимации значениями операторов (1) функций из пространства C[0, л].

Используя методы и приёмы доказательств, разработанные в [32]-[38] установлена справедливость следующих утверждений.

Пусть / Е С [0, л] и последовательности положительных чисел у_п и е_п удовлетворяют соотношениям

Y n = o(1), lim —^^ = ”; ^п^(/-,П)

е_п = 1exp я

{-^r ¹ ).

(В случае / = const считаем

Yn = 0 , еп = — n        n ея

). Например, в качестве Yn

можно взять

J^

,тогда E_n =

^ея                          .

Для любого натурального n и xG [0, я] обозначим через р = p(n,x),m 1 , m₂

такие целые числа, что m1 = И + 1'т2 = [^22], яр <  < я(р + 1)

n —  — n , где номера к1, к2 определяются с помощью неравенств

^я(к 1 ^— 1) /

— X n

—

як

^£ п ^— ~~2" n

1 ^я(к 2

—

n

— <  X + £_п — — ⁿ      n

.

Здесь узлы интерполяции x_kn = ^ рассматриваются на всей числовой оси ^: к G Z, n G М. Таким образом, m 1 , т₂зависят только от / G С[0, я] и выбора последовательностей (2).

Теорема 1. Если функция / непрерывна на отрезке [0, я], то для всех xG[0, я] имеет место поточечная на отрезке [0, я] и равномерная внутри интервала (0, я), то есть равномерная на каждом компакте, содержащемся в этом интервале, сходимость lim(/(x) — Ln(f,x)) = 0,

П^та тогда и только тогда, когда выполняется, соответственно, поточечно на

отрезке [0, л] или равномерно внутри интервала (0, л) одно из

эквивалентных условий

lim I ^ (f (xk+1,n)  /(^JlkyiWl 0,

\ k=k i

(6)

him! ^ (f (xk-1,n)  /^x^^nC^I 0,

\ k=k 1

(7)

nLm ( ^ (f (xk+1,n)   2f (xxfe,n) + f (xxfc-i,n)^k,n(x)j 0,

/    7 vto k=k1                                           /

(8)

где

(-1)ksin nx k,n ^      nx-k^

.

Теорема 2. Если функция f непрерывна на отрезке [0, л], то для всех х G

[0, л] имеют место следующие соотношения

lim ( f(x) — Ln(f,x) щт I

1  ^k 2

— 2 ^ (f (xk+1,n) — f (xxk,n k=k1

)^k,n(x))   0,

(9)

lim | f(x)

П^т I

1   ^k 2

— Ln(f,x) — - ^ (f(xk-1,n) — f(xxk,n k=k1

^k^OO^  0,

(10)

lim ( f(x) — Ln(f,x) — n^rn I

^k 2

4 ^ ^{(f (x} k+1,n ) ^{— 2f (x} x _k, J ^{+ f (x} k=k 1

Xfc—i,n)^k,n(x)) — 0, (11)

где

^к,п 00

(-1)^к sin пх пх-кп

Сходимость в (9), (10), (11) поточечная на отрезке [0, п] и равномерная внутри интервала (0, п ), то есть равномерная на каждом компакте, содержащемся в этом интервале.