Неоднородности полей деформаций в зернах поликристаллических материалов и задача Эшелби
Автор: Ташкинов А.А., Шавшуков В.Е.
Статья в выпуске: 1, 2018 года.
Бесплатный доступ
Предложен и реализован способ вычисления неоднородных полей деформаций в зернах поликристаллических материалов. Вычисления основаны на разработанном ранее методе решения краевой задачи механики неоднородных поликристаллических тел с помощью оригинального варианта теории возмущений, основанного на аналогиях c квантовой теорией поля. Краевая задача для неоднородных полей деформирования в дифференциальной форме преобразуется в интегральное уравнение для тензора деформаций. Решение интегрального уравнения строится в виде ряда по интенсивности взаимодействия деформаций. Это позволяет интерпретировать неоднородную деформацию в какой-либо точке зерна как суперпозицию макродеформации, обусловленной граничными условиями, и двух составляющих, обусловленных внутризеренным и межзеренным взаимодействием. Показано, что в нетекстурированных поликристаллах, несмотря на дальнодействующий характер упругого взаимодействия, при оценке влияния межзеренного взаимодействия на неоднородность деформаций в выделенном зерне можно ограничиться учетом взаимодействия только с ближайшими и вторыми по удалению зернами-соседями. Вклады от взаимодействия с более далекими зернами взаимно компенсируют друг друга. Неоднородное в пределах одного зерна поле деформаций аппроксимируется кусочно-постоянной функцией. Для этого каждое зерно разбивается на большое число малых субзерен, в пределах которых поля деформаций принимаются однородными. Такая аппроксимация сводит интегральные уравнения для локальных деформаций к линейным алгебраическим, которые решаются численно. Применение метода к классической задаче вычисления деформаций в сферическом включении, погруженном в неограниченную матрицу, дает решение Эшелби. На модельных поликристаллах цинка выполнена численная оценка неоднородных деформаций. Вблизи границ сферического зерна экстремальные значения деформаций, обусловленные межзеренным взаимодействием, на 30 % превосходят средние. В материалах с более низкой упругой симметрией зерен концентрация деформаций существенно выше.
Неоднородные деформации, поликристаллы, интегральные уравнения
Короткий адрес: https://sciup.org/146211716
IDR: 146211716 | УДК: 539.3 | DOI: 10.15593/perm.mech/2018.1.05
Inhomogeneities in grains of polycrystalline materials and Eshelby problem
The paper presents the method aimed at calculating inhomogeneous strain fields in grains of polycrystalline materials. The calculations are based on the earlier developed method of solving boundary values problem for inhomogeneous polycrystalline bodies by means of the original perturbation theory variant based on analogies with the quantum fields theory. The boundary value problem for inhomogeneous strain fields in a differential form transforms into the integral equation for strains tensor. The solution of the integral equation is formed as a series upon the intensity of strains interaction. This allows interpreting inhomogeneous strain at any point in a grain as a superposition of macrostrain, caused by boundary conditions and two components conditioned by intragrain and intergrain interaction. It is shown that in untextured polycrystals, despite the long range type of elastic interaction, one can take into account the interaction only with the nearest and second neighbor grains to evaluate how the intergrain interaction influences the inhomogeneity in the given grain. The contributions of interactions with farther grains mutually annihilate each other. The strain field inhomogeneous within one grain is approximated by the step-wise constant function. For that, each grain is divided into a great quantity of small subgrains, where subgrain strain fields are supposed to be homogeneous. This approximation reduces the integral equations for local strains into linear algebraic ones, which are solved numerically. The application of this method to a classical problem related to calculating strains in a spherical inclusion embedded into the infinite matrix gives Eshelby solution. The numerical evaluation of strain inhomogeneities is made using model zinc polycrystals. Close to boundaries in spherical grains the extreme strain values, caused by intergrain interaction, surpass mean strain values by 30 percent. The strains concentration is much higher in materials with a lower elastic symmetry of grains.
Список литературы Неоднородности полей деформаций в зернах поликристаллических материалов и задача Эшелби
- Antolovich S.D., Armstrong R.W. Plastic strain localization in metals: origins and consequences//Progress in Materials Science. -2014. -Vol. 59. -P. 1-160 DOI: org/10.1016/j.pmatsci.2013.06.001
- Pineau A., Benzerga A.A., Pardoen T. Failure of metals I: Brittle and ductile fracture//Acta Materialia. -2016. -Vol. 107. -P. 424-483 DOI: org/10.1016/j.actamat.2015.12.034
- Failure of metals II: Fatigue/A. Pineau, D.L. McDowell, E.P. Busso, S.D. Antolovich//Acta Materialia. -2016. -Vol. 107. -P. 484-507 DOI: org/10.1016/j.actamat.2015.05.050
- Pineau A., Benzerga A.A., Pardoen T. Failure of metals III. Fracture and fatigue of nanostructured metallic materials//Acta Materialia. -2016. -Vol. 107. -P. 508-544 DOI: org/10.1016/j.actamat.2015.07.049
- Voight W. Lerbuch der Kristallphysuk. -Leipzig und Berlin:Teubner, 1928. -978 p.
- Reuss A., Berechnunug der Fliebgrenze von Mischkristallen auf Grund der plastizitatsbending fur einkristalle//Z. Angew. Math. und Mech. -1929. -Vol. 9. -No. 1. -P. 49-56.
- Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред. -М.: Наука, 1977. -400 с.
- Штремель М.А. Прочность сплавов. Ч. II. Деформация. -М: Изд-во МИСИС, 1997.-527 с.
- Multiscale Modeling and Simulation of Composite Materials and Structures. Eds Y.W. Kwon, D.H. Allen, R. Talreija -Springer Science+Business Media, LLC, 2008. -630 p.
- Overview of constitutive laws, kinematics, homogenization and multiscale methods in crystal plasticity finite-element modeling: Theory, experiments, applications/F. Roters, P. Eisenlohr, L. Hantcherli, D.D. Tjahjanto, T.R. Bieler, D. Raabe//Acta Materialia. -2010. -Vol. 58. -P. 1152-1211 DOI: 10.1016/j.actamat.2009.10.058
- Geers M.G.D., Kouznetsova V.G., Brekelmans W.A.M. Multi-scale computational homogenization: Trends and challenges//Journal of Computational and Applied Mathematics. -2010. -Vol. 234. -P. 2175-2182 DOI: 10.1016/j.cam.2009.08.077
- Multiscale modelling of plasticity and fracture by means of dislocation mechanics. Eds Pippan R., Gumbsch P. -Springer Wien New York, 2010. -394 p.
- Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно-и поликристаллов. Статистические модели//Физическая мезомеханика. -2011. -Т. 14, № 4. -С. 17-28.
- Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно-и поликристаллов. Прямые модели//Физическая мезомеханика. -2011. -Т. 14, № 5. -С. 5-30.
- Raabe D. Computational materials science. -WILEY-VCH Verlag Gmbh, 1998. -382 p.
- Computational Methods for Microstructure-Property Relationships. Eds. Ghosh S., Dimiduk D. -Springer Science+ Business Media, LLC, 2011. -658 p DOI: 10.1007/978-1-4419-0643-4
- Hill R. Elastic properties of reinforced solids -some theoretical principles//Journal of Mechanics and Physics of Solids. -1963. -Vol. 11. -No. 5. -P. 357-372.
- Moussaddy H., Therriault D., Levesque M. Assessment of existing and introduction of a new and robust efficient definition of the representative volume element//International Journal of Solids and Structures. -2013. -Vol. 16. -P. 3817-3828 DOI: org/10.1016/j.ijsolstr.2013.07.016
- Determination of the size of the representative volume element for random quasi-brittle composites/Pelissou, Baccou, Monerie, F. Perales//International Journal of Solids and Structures. -2009. -Vol. 46. -P. 2842-2855 DOI: 10.1016/j.ijsolstr.2009.03.015
- Shavshukov V., Tashkinov A. Quantum Field Theory Approach to Mechanics of Polycrystals//Solid State Phenomena. -2016. -Vol. 243. -P. 131-138 DOI: 10.4028/www.scientific.net/SSP.243.131
- Ташкинов А.А., Шавшуков В.Е. Решение задач механики деформирования поликристаллических материалов на основе теории возмущений//Вычислительная механика сплошных сред. -2016. -Т. 9, № 4. -С. 486-497 DOI: 10.7242/1999-6691/2016.9.4.41
- Лифшиц И.М., Розенцвейг Л.Н. К теории упругих свойств поликристаллов//Журн. эксперимент. теор. физ. -1946. -Т. 16, № 11. -С. 967-980.
- Eshelby J.D. The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion and related problems//Proc. R. Soc. A 241. -1957. -P. 376-396 DOI: 10.1098/rspa.1957.0133
- Кривоглаз М.А., Черевко А.С. Об упругих модулях твердой смеси//Физика металлов и металловедение. -1959. -Т. 8, № 2. -С. 164-164.
- Christensen R. Mechanics of Composite Materials. -New York: John Wiley & Sons, 1979. -336 p.
- Кунин И.А., Соснина Э.Г. Эллипсоидальная неоднородность в упругой среде//Докл. Акад. наук СССР. -1971. -Т. 9, № 3. -С. 571-574.
- Mura T. Micromechanics of Defects in Solids. -Dordrecht. -Martinus Nijhoff Publishers, 1987. -587 p.
- Шавшуков В.Е. Распределение полей напряжений в поликристаллических материалах//Физическая мезомеханика. -2012. -Т. 15, № 6. -С. 85-91.
- Шавшуков В.Е. Упругое взаимодействие зерен в поликристаллических материалах//Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. -2014. -№ 4. -С. 197-220 DOI: 10.15593/perm.mech/2014.4.08
- Богачев И.Н., Вайнштейн А.А., Волков С.Д. Статистическое металловедение. -М.: Металлургия, 1984. -176 с.
- Францевич И.Н., Воронов Ф.Ф., Бакута С.А. Упругие постоянные и модули упругости металлов и неметаллов. -Киев: Наукова думка, 1982. -286 с
- Tadao Watanabe. An approach to grain boundary design for strong and ductile polycrystals//Res Mechanica. -1984. -Vol. 11. -No. 1. -P. 47-84.
- Randle V. Grain boundary engineering: an overview after 25 years//Materials Science and Technology. -2010. -Vol. 26. -No. 3. -P. 253-261.
- Watanabe T. Grain boundary engineering: historical perspective and future prospects//Journal of Materials Science. -2011. -Vol. 46. -P. 4095-4115 DOI: 10.1007/s10853-011-5393-z
