Неоднородных разностных схем и амебы алгебраических гиперповерхностей

Разностные уравнения возникают в различных областях математики. В комбинаторном анализе разностные уравнения в сочетании с методом производящих функций дают мощный аппарат исследования перечислительных задач. Другой источник появления разностных уравнений – дискретизация дифференциальных. Так, дискретизация уравнения Коши-Римана привела к созданию теории дискретных аналитических функций, которая нашла применение в теории римановых поверхностей и комбинаторном анализе [1; 2]. Методы дискретизации дифференциальной задачи являются важной составной частью теории разностных схем и также приводят к разностным уравнениям [3]. Одно из важнейших свойств разностной схемы – устойчивость.

В теории Лакса [4] теорема эквивалентности утверждает, что если исходная дифференциальная задача корректна и схема аппроксимирует эту задачу, то устойчивость необходима и достаточна для сходимости.

В монографии [5] исследована устойчивость однородной двухслойной линейной разностной схемы с постоянными коэффициентами. Условие устойчивости здесь дается в терминах, связанных с понятием разностной функции Грина задачи Коши. В работе [6] к исследованию устойчивости многослойных однородных разностных схем применяется теория амеб алгебраических гиперповерхностей.

В данной работе исследуется случай неоднородных разностных схем. В первом параграфе получена формула для решения задачи Коши через ее фундаментальное решение (Теорема 1). Во втором параграфе формулируется и доказывается критерий устойчивости задачи Коши для многослойной линейной неоднородной разностной схемы (Теорема 2) в терминах теории амеб алгебраических гиперповерхностей.

Формула для решения задачи Коши. Введем необходимые обозначения и определения.

Пусть δ j оператор сдвига по j -ой переменной δ j f ( x ) = f ( x 1 , …, x j- 1 , x j + 1, x j+ 1 , …, x n ). Обозначим P ( 5 , 5 n +i ) = S а ар 5 “ 8 П _{+ 1} — полиномиальный раз-

(«,Р)е A ностный оператор, то есть A = (α, β) – конечное подмножество целочисленной решетки Zn+1, и 5 = (51,32, ^, 3n), а = (ai, а2, ^, а„) и 5а = б?15^2...5an.

Рассмотрим разностные операторы с постоянными коэффициентами, характеристический многочлен P ( z , w ) которых имеет вид

P(z, w) = Pm(z)wm + Pm–1(z)wm–1 +…+ P0(z), где Pj(z) являются многочленами переменных z = (z1, z2, ..., zn) и коэффициент при старшей по w степени Pm(z) ^ 1. Это означает, что (0, m) е A и для всех (а, в) е A,

• (α, β) ≠ (0, m ) выполняется условие m > β.      (*)

Такие разностные уравнения возникают в теории разностных схем и ниже мы будем использовать терминологию этой теории.

Сформулируем задачу Коши для неоднородной ( m + 1)-слойной линейной разностной схемы вида

m

5 m ₊i + s P j ( 5 ) 5 m - k k =1

f ⁽ x , y ) = g ⁽ x , y ),

где P j (δ) – полиномиальные разностные операторы с постоянными коэффициентами; g ( x , y ) – заданная функция и x = ( x i , x ₂, , x n ) е Z ⁿ .

Найти решение f(x, y) уравнения (1), удовлетворяющее начальным условиям f (x, У) = Ф y (x), У = 0,1,..., m — 1,           (2)

где φ _y ( x ) – заданные функции переменных x = ( x ₁, x 2 , ^, x n ) е Z ⁿ .

Определение 1. Решение P ( x , y ) разностного уравнения

P(5, 3n+1)P (x, y) - 5(0,0)(x, y), (x, y) е Zn+1, удовлетворяющее начальным условиям

P ( x , y ) = 0, y = 0, 1, …, m – 1,

J ^0, если⁽ x , y ) * ^(0,0)

где 5_m x , y ) = <                     называется фун-

^(0,0)           [ 1, если ( x , y ) = (0,0)

даментальным решением (функцией Грина) задачи (1)–(2).

Определим на Z ^{n + 1} две функции:

[ф y ( x ), для x е Z ⁿ , y = 0,1,..., m - 1,

ф ( x , У ) = 1

[ 0, для x е Z ⁿ , y >  m ;

0 ( x , У ) = £ « _ар ф ( x + а , У + р ), x е Z ⁿ , - m <  y <  0.

(а,0)е A

Обозначим через П = {( x , y ) е Z ^{n + 1} : y > 0} «полупространство» Z ^{n + 1}.

Приведем формулу для решения задачи (1)-(2), в которой искомое решение выражается через входные данные и фундаментальное решение.

Теорема 1. Если fx , y ) решение задачи Коши (1)-(2), то для ( x , у ) е П справедлива формула Дx , y ) = = f > ( x , y ) + f * ( x , y ), где

f ) ^{( x} , У ) = x ^ ^{( x} ', y '^{) P ( x - x}' y ^- y '),       (3)

( x ', У ')

причем суммирование проводится по всем точкам (x',у^е Zn+1, удовлетворяющим условию - m

(x', y')

где суммирование проводится по всем точкам (x', y) е Zⁿ⁺¹, удовлетворяющим условию 0 < y'< m-1. При этом для любого фиксированного (x, y) е П число слагаемых для f0 и f^* конечно.

Замечание. Отметим, что f₀(x, y) - решение однородной задачи Коши, f*(x, y) - частное решение с нулевыми начальными данными.

В случае двухслойных разностных схем эта формула была получена в монографии [5], для задачи Коши в положительном октанте Z +⁺¹ целочисленной решетки Zⁿ в [7], для многослойных однородных разностных схем в [6].

Для доказательства теоремы 1 нам потребуется следующая лемма.

Лемма. Пусть K - конус в №n+У) порожденный векторами a = (a^..., an, an+₁), j = 1, 2,..., m.

K J(x,y) е Rⁿ⁺¹:(x,y) = £Xjaj,X>0 >.

[                                 j=1

Если an+1 > 0 для j = 1, ..., m, то пересечение конуса K с гиперплоскостью y = const является ограниченным множеством.

Доказательство. Всякая точка (x, y) е K представ-m ляется в виде (x, y) = £XjUj , где Xj > 0, j = 1, ..., m. j=1

Точки (x, y) е K П {y = const}, следовательно, определяются из уравнения относительно X1, ., Xm вида an+1X1 + ... + am^X m = const, в котором коэффициенты an.1 > 0. Множество Л = {X} решений X = (X1, ., Xm) такого уравнения - ограниченное множество в Rm , а конус K можно рассматривать как образ множества Л при линейном преобра- зовании, матрица которого составлена из координат векторов aj.

Доказательство теоремы 1. Покажем, что число слагаемых в правой части формул (3), (4) конечно. Из ограничения (*) на характеристический многочлен P(z, w) следует, что m - в > 0 для всех (а, в) е А, (а, р) ^ + (0, m). Ниже (см. § 2) будет показано, что носитель фундаментального решения P(x, y) (т. е. множество suppP = (x, y): P(x, y) ^ 0) лежит в конусе K порожденном векторами (0, m) - (а, в). Согласно лемме, для фиксированного y это означает, что число значений фундаментального решения P(x, y), не равных нулю, конечно.

Докажем, что формулы (3), (4) дают решение уравнения (1). Действительно,

P(5, 5„+1) = P(5,5_п+1) f>(x, y) + P(5, 5„+1)f*(x, y).

При y > 0 с учетом определения фундаментального решения для любых (x, y) е П, имеем y -y' > 0, т. е. £ о(^x' y ')⁵(0 0) (^x-x',у^-у') = 0, тогда ( x', У')

P (5,5 n+1) f =     £     O( x', У ')5₍0,0)( x - x', y - y') +

(x', y'):-m< y '<0

+ £ g (x', y ')5₍0,0)( x - x', y - y') = g (x, y).

( x', У ) y'>0

Проверим выполнение условия (2).

Пусть 0 < y< m-1. Так как суммирование здесь ведется по всем (x',y) таким, что -m< у'< -1, то f (x, y) = 0. Имеем

f^(x, У) = fi^{( x}, У) = ) aавф(x' + а, У' + Р) P(x - x', У - У‘).

= £ £

(^x', У ’) ^ (^а,в)еA

Во внутренней сумме суммируем по тем (а, р), для которых -у'< р < m, так как для остальных (а, р) имеем ф(x' + а, у' + р) = 0.

Меняя порядок суммирования

f(x,У)= £ аа,р £ Ф⁽x' + ^а,у' + ^р)х (а,Р)е A        ( x’, y')

х P (x + а- (x Ча), у+р- (у' + р))

и индексы суммирования x'' = x' + а, y'' = y + р после приведения во внутренней сумме подобных при ф(x", y"), получим f (x, У) = £ аа,р £ Ф( x ”, У ”)P (x + а- x ”, у +р- у") = (а,р)        ( x", У")

= £ ф(x", уЭ    £    aа,рр(x - x"+4 у - у"+р).

( x, у")             (а,р)е А: у"+1<р< m

Здесь уже суммируем по (x", у") таким, что 0 < у"< < m-1 и по (а, р) таким, что у" + 1 < р < m, поэтому для 0 < р < y'' в силу неравенств 0 < y< m-1 по определению фундаментального решения имеем P (x -x” + а, у - у” + р) = 0.

Тогда

f (x, y )=     E     v( x", y")x

( x ", y"):0<y" < m-1

X E    aа,PP(x - X" + a, У - У" + в) =

(а,р)еA:0

m

= E Ф(X ", У")P(5, 5n₊JP(x - x ", y - y") =

( x", y")

= E Ф^(x", y"⁾⁵(0,0)^{(x - x}", У^-У") = Ф^(x, У^).

(x, y")

Устойчивость и амебы алгебраических гиперповерхностей. Приведем некоторые сведения из теории амеб алгебраических гиперповерхностей (см. [8]).

Определение 2. Многогранником Ньютона NP многочлена P(z,w)=E аарzаwв называется вы-(а,в)е A пуклая оболочка в Rn+1 элементов множества A.

Пусть V = {(z, w) е Сⁿ⁺¹:P(z, w) = 0} - множество нулей многочлена P(z, w), оно называется характеристическим множеством.

Определение 3. Амебой алгебраической гиперповерхности называется образ множества нулей V многочлена P (z, w)= E аа^zа wв при отображении (а,в)е A log: (z, w) = (z 1, ..., zn, w) ^

^ (log|z 1|, ..., log|z„|, log|w|) = (log|z|, log|w|).

Отметим следующие свойства амебы.

Множество V, а значит и logV, замкнуто, поэтому его дополнение открыто. Оно состоит из конечного числа связных выпуклых компонент и вершине (0, m) многогранника Ньютона NP соответствует связная компонента E0,m дополнения амебы, в которой ра циональная функция —-— разлагается в ряд Лора-P (z, w)

на вида

1      _________________1________________

P(z, w) = wm +  E аа,вz^аw^e

(а,р)е A’

_____________________1____________________

= w^m (1 - E (-аа,в)z^аw^e-m) (а,Р)е A ’

1                                                                          _____

= — E(-a^z^аw^вm) k = E m^{v а}Р          ⁷

^w  k=⁰                       (x,y)е(0,m)+K0,m AZ^{n +1}

P ( x, y ) z^xw^y+1

где A' = A\{0, m}, (x, y) е (0, m) + Ko,m П Zⁿ⁺¹, а Ko,m -конус, построенный на векторах (0, m) - (а, в), (a, в) е A.

Непосредственно проверяется, что P(x, y) - фундаментальное решение и suppP с K₀,_m.

Для произвольной функции ф(x, y), заданной в полупространстве П = {(x, y) е Zⁿ⁺¹_:y > 0}, определим ее норму следующим образом

IIф(x, y)|| = sup |ф(x, y)|.                   (5)

(x, y )еП

Определение 4. Назовем задачу (1)-(2) устойчивой, если существует константа L > 0 такая, что при любых ограниченных начальных данных (2) и ограниченной правой части g(x,y) для соответствующего решения f выполняется неравенство

II fl l< L-(М+1 |g| D.

Теорема 2. Пусть E₀,_m- связная компонента дополнения амебы характеристического многочлена P(z, w), соответствующая вершине (0, m) многогранника Ньютона. Задача Коши (1)-(2) устойчива тогда и только тогда, когда начало координат принадлежит E0,m, т. е. (0, 0) е E0,m.

Доказательство. Пусть задача (1)-(2) устойчива, докажем, что начало координат принадлежит E0,m.

Для произвольной фиксированной точки (x1, y1) е П найдем решение задачи (1)-(2) для начальных данных ф(x, y) = 0 и правой части g(x, y), построенной , следующим образом:

g( x1, Л)^{( x}, у )

Pm^(x1 ^{- x}, У1 ^-У )

= ” |Pm^(x1 ^{- x}, У1 ^-У )|’

0,

^Pm^(x1 ^{- x}, У1 ^-У) * ⁰,

Pm (x1 - x, У1 - y) = 0.

Согласно теореме 1, для решения f^_{x 1},_y 1)(x, y) задачи (1)-(2) с этими входными данными ф(x, y) = 0, g = g(x 1,y 1) имеем

^f(x₁, У1)^{( x}, У) = E g (x1, y1)^(x', y' ^)Pm^{(x - x}', У^-У').

( x’, У' )еП

При (x, y) = (x1, y1) получим, что f(x1, У1)( x, У ) =

E

( x', y' )еП

Pm^(x1 ^{- x}', У1 ^-У")

I Pm^(x1 ^-^, У1 ^-У' )|

"Pm^(x1 ^{- x}", У1 ^-У") =

= E Pm_m (x1 - x ',У1 - y')| = E |Pm (x ", У'')|.

( x', У' )en                                        ( x", y-)

Так как ||ф|| = 0 и ||g(_x 1,_y 1)||< 1, то в силу устойчивости задачи (1)-(2) получим

I f(x1, У1)( x1, У1)| = E |Pm (x ", У ")| < K (x" У")

для некоторого K > 0 и произвольной точке (x 1, у 1) е П.

у | Pm^(x,^y)|

^Ez^xw^y+1

Это означает, что ряд

сходится при z = 1,

w = 1, а значит точка (0,0) е E₀,_m.

Пусть начало координат (0, 0) е E0,m, докажем, что задача Коши (1)-(2) устойчива.

Пусть ф(x, у) - начальные данные и ||ф|| < +х. Согласно теореме 1 соответствующее решение разностного уравнения можно записать в виде f (x, у) = E ^(x", у")P(x - x", у - у")+

(x', У)

+ E g^(x', у')P^{(x - x}', у^-у'),

(x', У)

где

ц(x, y) =  E аа,рф(x + а, У + Р), x е Zⁿ, - m< y< 0.

(а,в)е A

Оценим функцию f(x,y):

f(x, y) ≤∑∑a_α,β ϕ(x′+α,y′+β)IIP(x-x′,y-y′) + (x′,y′) (α,β)∈A

+∑ |g(x′, y′) ||P(x-x′, y-y′) |≤

(x′,y′)

≤ϕII^∑′′ ^∑ I a_α,βP(x-x′,y-y′)+

(x′,y′) (α,β)∈A

+||g|| ∑ |P(x-x′,y-y′)|≤

(x′,y′)

≤L₁ϕ ∑ P(x-x′,y-y′+1) ⁺

(x′,y′)

+||g|| ∑ |P(x-x′,y-y′)|,

(x′,y′)

где L₁= ∑ a_αβ.

(α,β)∈A

Так как точка (0,0) ∈E0,m, то ряд ∑ ^P(x,y) (x,y)∈Π z^xw^y сходится, причем абсолютно в точке z = 1, w = 1, т. е.

∑ P(x,y)≤ L₂ , где L2 – некоторая константа. (x,y)∈Π

Получаем f ( x, y) ≤L1⋅L2⋅ϕII+L2⋅||g||≤L⋅(||ϕ||+||g||), где L = max{L1·L2, L2} и по определению это означает, что задача Коши (1)–(2) устойчива.

В качестве примера, иллюстрирующего теорему 2, рассмотрим задачу (1)–(2) для разностного оператора P(δ1,δ2)=δ2-¹₄δ1-¹₃.

Амеба его характеристического многочлена 11

P(z,w)=w-4z-3 имеет вид представленный на рисунке:

Обозначения на рисунке следующие: E0,1, E1,0, E0,0 – компоненты дополнения амебы, соответствующие вершинам (0,1), (1,0), (0,0) многогранника Ньютона. Заштрихованная на рисунке область – амеба.

По рисунку видно, что (0; 0) ∈E0,1, поэтому задача (1)–(2) для этого оператора устойчива. Тот же результат получается, если использовать известные методы теории схем [4].