Неосесимметричная динамическая задача прямогo пьезоэффекта для аксиально поляризованного сплошного цилиндра

Наиболее распространенными конструктивными элементами пьезокерамических преобразователей являются тела канонической формы в виде сплошных цилиндров конечных размеров (круглых толстых пластин) [1-3]. Для описания их работы в реальных условиях и расширения функциональных возможностей необходим углубленный анализ нестационарных процессов, без которого невозможно понять эффект взаимодействия механических и электрических полей напряжений. Вместе с тем существующие методы расчета пьезоэлектрических элементов конструкций на нестационарные воздействия далеко не совершенны, и большинство из них являются приближенными. При этом значительная часть исследований связана с разработкой численных методов решения [4, 5], а также с приведением этих задач к статическим или квазистатическим.

В связи с этим на первый план выходят методы, позволяющие получить замкнутые решения нестационарных начально-краевых задач теории электроупругости для тел конечных размеров в трехмерной постановке. Математические трудности при реализации данного подхода приводят к тому, что значительная часть работ в этой области связана с исследованием осесимметричных задач [6-12]. Существенно меньшее количество решений получено в случае неосесимметричной их постановки [6, 13-15]. Причем работы [6,13,14] посвящены исследованию собственных колебаний, а в [15] рассматривается установившийся режим вынужденных колебаний.

В настоящей работе неосесимметричная динамическая задача в трехмерной постановке исследуется с помощью последовательного применения конечных интегральных преобразований по всем пространственным переменным [16,17]. Данный подход позволяет получить точные, в рамках используемых моделей, расчетные соотношения в наиболее общем виде для пьезокерамического цилиндра, выполненного из материала гексагональной системы класса 6mm [18], в котором ось симметрии параллельна аксиальной координате.

1.    Постановка задачи

Сплошной анизотропный цилиндр занимает в цилиндрической системе координат ( r * , 0 , z * ) область Q : | 0 <  r * <  b , 0 < 0 <  2 л , 0 <  z * <  h } и выполнен из пьезокерамического материала. Торцевые электродированные мембранно закрепленные поверхности ( z * — 0, h ) подключены к измерительному прибору с большим входным сопротивлением и загружены динамической нагрузкой (нормальными напряжениями) q 1 * ( r * , 0 , t * ) , q ₂ * ( r * , 0 , t * ) , которая является произвольной функций радиальной, угловой координат и времени t * . На цилиндрических неэлектродированных поверхностях можно удовлетворить различные механические условия. Для определенности в дальнейшем будем считать их свободными от нормальных и касательных напряжений. В такой постановке задача моделирует работу пьезоэлементов в приборах прямого пьезоэффекта, трансформирующих механическое воздействие в соответствующий электрический сигнал.

Математическая формулировка рассматриваемой задачи электроупругости в безразмерной форме включает систему дифференциальных уравнений относительно компонент вектора перемещения U ( r , 0 , z , t ) , V ( r , 0 , z , t ) , W ( r , 0 , z , t ) , потенциала электрического поля ф ( r , 0 , z , t ) [6]

1 a 2u a 2u     1 a 2v 1 a v a 2w a2ф  a2u A V1U l Qa          „I a^     „ l a-. a„ —:---+ a=----- + a 6 — ---v = 0, 1       1 r2 a02 az2     r ara0 4 r2 a0 ar az a r az a t t' a V2V + \    + a a2v     1 a 2u „ + a 3        + a 4 1 a u —;---+ a, - 1 a 2w 1 a2ф a2v A + a6             t = 0, 1 1      r2 a02     2 az2     r ara0 r2 a0 5r a0az r a0az att' a T 1 av) a — V U +---+ a7 5 az V      r a0 J 2 (1 a 2w)    a 2w ( V 7 w +         + a7     + a,, V 2     r2 a02 ) 7 az2     8V v 2ф+ 1 a2ф) a2ф a2w A (1.1) r = a02 J+az = "at2   0 a (7T .  1 av )    ( .     1 a 2w a6    V U +      + a,, V W W + 6 az V       r a0 J   8 V 2     r2 a02) a 2w + Я 2   a9 az V|ф + V 1 ^1 a, ДВ—0 r2 a02) 10 azz и краевые условия

а                   т. 1av1.   aw аф ,

(1.2)

z = 0, L: ° zzz =0 = a111 V U +      l + a7^ + ^ = Q1 ( r, 0- t ) ,

V r a0)     a z    a z

° zz | z = L = a 11

1 av )    aw aф

( r , 0 , t ) ,

VU +      + a₇-- +    — q₇

r a0) 7 az az    2

U ( r , 6 ,0, t ) — U ( r , 6 , L , t ) = 0, V ( r , 6 ,0, t ) = V ( r , 6 , L , t ) = 0,

D z I z = 0, L

°M„ ^a 10 ~ ^{+ a} 12 8 z

1 8 V A 8 W

+---+--— r 8r J 8z

0;

8 U 8 V 8 W 8ф             8 U 8 V 8 W 8ф

6 — 0,2 л : UU , V , W , ф,--- , —,    ,         — U , V , W , ф,--- , —,    ,         , (1.3)

I 86 86 86 86j|0 0 I 86 86 86 86 J|0 27I„

8U    1 f   8VA    8W    8ф r = 1,0: CTrr । r—1 = "Г   + a13 — I U +     I + a11 ~   + а12Д2"" = 0,

8 r      r V    86 J     8 z      8 z

(1.4)

<8 W 8 U A   8ф _

^CT rzIr — 1 = a 2 I ~;    ⁺ “T^- I⁺ a 8 T^- = ⁰ , ^CT r 6| r —1 = ^a 1

V 8 r   8 z J    8 r

D r — 1

8Ф .

^— - ^a 9 — ^{+ a} 8 8 r

1 <8 U       8 V'

-I--v I + — r V 86 J 8r

< 8 W 8 U A _ —+— I— 0,

V 8 r   8 z J

— 0,

U ( 0, 6 , z , t ) <ю , V ( 0, 6 , z , t ) <да , W ( 0, 6 , z , t ) <« , ф ( 0, 6 , z , t ) <»;

t — 0: U ( r , 6 , z ,0 ) — U ₀, V ( r , 6 , z ,0 ) — V ₀, W ( r , 6 , z ,0 ) — W ₀, U ( r , 6 , z ,0 ) — U ₀, V ( r , 6 , z ,0 ) — V ₀, W ( r , 6 , z ,0 ) — W ₀, где ( U , V , W } — { U *, V *, W *} / b , ф — ф * e₃₃^bC₁₁ ) , { r , z , L } — { r * , z , , h } / b ;

(1.5)

t — t * b -¹ Т с ЦТр' , V ? —

8 ²    1 8     1

—т +-----T,

8 r ²    r 8 r r ²

v 2 — v 2 + 4, V ——+^; r ²        8 r r

^{{ a} 1 ,a 2 , ^ 3 , a 4 , a 5 , a ₇, a_u,a 13 ^{} — { C} ₆₆, ^C 55 , ^{( C} 12 ^{+ C} ₆₆ ⁾ , ^{( C} _n ^{+ C} ₆₆ ⁾ , ⁽ C 13 ⁺ C 55 ⁾ , ^С зз , ^C 13 , ^C 12^}/ ^C_n ;

^{{ a} 6 , ^a 8 , ^a 12 ^{} — {( e} 31 ^{+ e} 15 ⁾ , ^e 15 , ^e 31^}/ ^e 33 , ^{ a 9 , ^a 10 ^{} — { C} 11 ^e 11 , ^C 11 ^S 33^}/ ^e 33 ^

{q 1, q2} —{q 1*, q2*}/c11 ; CTjk, Dm - соответственно компоненты тензора механических напряжений и вектора индукции электрического поля (j, k — r, 6, z; m — r, z); b - радиус цилиндра; p, Cms, ems - объемная плотность, упругие постоянные и пьезомодули анизотропного пьезокерамического материала ( m, s — 1,6); е11,833 - диэлектрические проницаемости в радиальном и осевом направлениях; U*, V*, W*, ф* — компоненты вектора перемещений и потенциал электрического поля в размерной форме; U0,U0, V0, V0,, W0, W0 — известные в начальный момент времени перемещения, скорости перемещений.

Электрические граничные условия (1.2), (1.4) соответствуют режиму «холостого хода» на торцевых поверхностях и отсутствию электродного покрытия на цилиндрической поверхности цилиндра. Соотношения (1.3), (1.4) ( r — 0) являются условиями периодичности для круговых областей и регулярности решения. Начальные условия (1.5) определяет деформированное состояние системы в момент времени t — 0.

В равенствах (1.5) и ниже точка означает дифференцирование по t .

2.    Построение общего решения

Решение осуществляется методом интегральных преобразований, путем последовательно синус- и косинус-преобразования Фурье с конечными пределами по переменной О и z [19], а также обобщенного конечного преобразования (КИП) [20] по радиальной координате r . При этом каждый раз предварительно необходимо выполнять процедуру стандартизации (приведение граничных условий по соответствующей координате к однородным). На первом этапе для этой цели используется такое представление:

{ U ( r , О , z , t ) , V ( r , О , z , t ) } = H i ( r , О , z , t ) + { u ( r , О , z , t ) , v ( r , О , z , t ) } ,

W ( r , 0 , z , t ) = H 2 ( r , 0 , z , t ) + w ( r , 0 , z , t ) , ф ( r , О , z , t ) = H 3 ( r , О , z , t ) + % ( r , 0 , z , t ) .

Здесь H 1 = ( Lz - z ² ) ( q 1 + q ₂ ) , H ₃ = a ₉ ¹ H ₂,

H 2 = a ₉ [ 2 L ( a₁₀ - 1 ) ] Г ( 2 Lz - z ² - L ²) q , + z ² q ₂

В результате подстановки (2.1) в (1.1)-(1.5) получаем новую краевую задачу относительно функций u ( r , 0 , z , t ) , v ( r , 0 , z , t ) , w ( r , 0 , z , t ) , % ( r , 0 , z , t ) с однородными граничными условиями по координатам z и 0 . При этом дифференциальные уравнения (1.1), граничные условия (1.4) становятся неоднородными с правыми частями F 1 + F 4 и N 1 ^ N ₄, а в начальных условиях (1.5) вместо U ₀, V₀, W₀ следует принять u ₀, v ₀, w ₀.

К преобразованной краевой задаче (1.1)-(1.5) применяем последовательно синус -и косинус-преобразования Фурье с конечными пределами по переменной z и 0 , используя следующие трансформанты:

• { w ( r , 0 , n , t ) , v_s ( r , 0 , n , t ) } = £ { u ( r , 0 , z , t ) , v ( r , 0 , z , t ) } sin ( j_nz ) dz , { w c ( r , 0 , n , t ) , % c ( r , 0 , n , t ) } = £ { w ( r , 0 , z , t ) , % ( r , 0 , z , t ) } cos ( j n z ) dz , { U_c ( r , m , n , t ) , W c ( r , m , n , t ) , ф _c ( r , m , n , t ) } =

  (2.2)

  
  

  (2.3)

  
  

= £ _q²" { u s ( r , 0 , n , t ) , w c ( r , 0 , n , t ) , % _c ( r , 0 , n , t ) } cos ( m 0 ) d 0

Vs (r, m, n, t) = £2" vs (r, 0, n, t) sin (m0) d0, с соответствующими формулами обращения

{us ( r, 0, n, t) , ws ( r, 0, n, t) , %s ( r, 0, n, t)} = to

= ^ P m { U c ( r , m , n , t ) , W c ( r , m , n , t ) , ф _c ( r , m , n , t ) } cos ( m 0 ) , m = 0

to vs (r, 0, n, t) = л-1 ^ Vs (r, m, n, t) sin (m0), m=1

№

{ w (r, 0, z, t) , X(r, 0, z, t)} = EQ^ {wc (r, 0, n, t), %c (r, 0, n, t)} C0S jnz , n=0

/ = nn IL, P nm

2 л

к

( m = 0), _Q f L       ( « = 0),

( m ^ 0), ⁿ [L /2    ( n ^ 0).

В результате получаем следующую начально-краевую задачу относительно трансформант Фурье U_c ( r , m , n , t ) , V s ( r , m , n , t ) , W c ( r , m , n , t ) , ф c ( ^r , m , n , t ) :

v 2_n m        .2        m ⁸V s      m        . 8W c     . ⁸ф _c S U c

(2.4)

V1 Uc “ a1 ~Uc ~ a2 JnUc + a3--Д--a4 — Vs ~ a5Jn -;--a6Jn У---У~ = R1 c , r                   r 8 r     r           8 r        8 r    81

V72V  m2        -2T/ a1V1 Vs--F Vs “ a2 JnVs - a3У r                  r8

^^^^H

mmm a4 —Uc + a5Jn — Wc + a6 Jn - ф, rrr

r

8!i^=r c    812    R2 s'

. I m т У a5j  V U + V  + аг

5 n          c           s

V 2 W c

V

^^^^^^^s

2 A m F W c ^r J

^^^^^^^s

I a 7 J nWc + a 8 V 2 ф.

^^^^^^^s

I m a6 Jn I V Uc + —Vs l + a8

a 2

V W

^^^^^^^e

'             V r = 1 o • 8 Uc +a

*         , :                I a l

8 r

2 m F W c ^r J

nc

V

I a 9 V 2 ф,

V

m2

— ф c ^r J

^^^^^^^s

j n ² Ф c

^^^^^^^s

^{8 2} Wc. „

2 = ^R

^^^^^^^e

m              . 2

— ф c + a10 JnФ c = R r J

- 4 c ’

¹ ( ^U c ^{+ mV} s ) - a ll j n ^W c - ^a i2 j n ф c = ^Y 1 cr = 1 ,

(2.5)

(6W     А   Эф

-W + J n U c l + a 8 Ff- = Y 2 cr = 1 , a

V 8r        J     8r

8 V_s

8 r

■1 (mUc + Vs) = Y3

r

3 s | r = 1 ,

8ф _c

¹9 д ^{+ a} 8 8 r

(8W     )

-Wc + J n U c l = Y 4 dr = 1 ,

V 8r         J

।, m, n,t )<№ , Vs ( 0,m, n, t )<№, Wc (0, m, n, t )<да , ф c (0, m, n, t )

(2.6)

Vs (r, m, n,0) = V_0s (r, m, n), Vs (r, m, n,0) = V_0s (r, m, n),

Wc (r, m, n,0) = W0c (r, m, n), Wc (r, m, n,0) = W0c (r, m, n), где

{R1 c, R3 c, R 4 c, Y1 c, Y2 c, Y4 c, U0 c, U0 c, W0 c, W0 c } =

= J₀²"^ F1 s , F3c , F4c , N1 s , N2c , N4c , u0s , ^Ul0s , w0c , ^0c } ^cos(^m0) d⁰

{^R2s , ^Y3s , ^V0s , ^V0s } = {(L {^F2s , N3s , v0s , ^V0s } ^sin(m⁰) ^d0,

{^F1 s , ^F2 s , ^N1 s , ^N3 s , u 0 s , ^U0 s , v0 s , ^V0 s } = j^ { ^F1, ^F2, ^N1, ^N3, u 0, Vf v0, ^V0 } ^sin ( ^Jnz ) ^dz , {^F3c , ^F4c , ^N2c , ^N4c , w0c , ^w0c } = j^ {^F3, ^F4, ^N2, ^N4, w0, ^w0 } ^C0S( ^Jnz ) ^dz .

Повторяя еще раз процедуру стандартизации задачи (2.4)-(2.6), представляем трансформанты Фурье U_c, Vs, W_c, ф_c в виде

U_c ( r, m, n, t) = H₄( r, m, n, t) + UC (r, m, n, t),

Vs (r, m, n, t ) = H₅(r, m, n, t) + Vs*( r, m, n, t),

W_c (r, m, n, t) = H6 (r, m, n, t) + Wc* (r, m, n, t), ф_c (r, m, n, t) = H₇(r, m, n, t) + фС (r, m, n, t),

Г^деH4 =⁽r^—1)Y । r=1, ^H5 = ^a1 ^{( r —}^ Y3 s|r=1, ^H6 = a 2 ⁽r^—1)(Y2 c | r=1 ^—a8Y c|r=1 ⁾’

^H7 =⁽r^{— 1 Y}5 c I r=1’ Y5 c I r=1 = a8 ( a 2 a9 ⁺a 8 ) ( Y4 c I r=1 ^—a 2 a 8 Y2 c I r=1 ) ^.

При подстановке (2.7) в (2.4)-(2.6) получаем краевую задачу относительно функций Uc, Vs, WC, фС с однородными граничными условиями по координате r. При этом вместо правых частей дифференциальных уравнений (2.4) R_1c,R₂s R_3c, R_4c и начальных условий (2.6) U0c, (j₀c, V_os, V>₀s, W_oc, W_oc следует принять R^, R2s, R3c, R2c и U0c, U>' , VC_S, V^C_S, W₀*c, WC.

Краевую задачу (2.4)-(2.6) относительно функций UC, Vs*, W_c*, фС решаем, используя структурный алгоритм обобщенного метода конечных интегральных преобразований (КИП) [20]. Введем на сегменте [0,1] вырожденное КИП с неизвестными компонентами K1 ( ^in. ’ ^r ) ’ K2 (^,nm . ^r ) ’ K3 (^inm ’ r) ’^K4 (^inm ’ r) Ве^кТОр^-фу^нкц^иИ ^ядр^{а п}рб^обр^{азования}

G (^inm, m, n, t) = /0(UC K1 + v;K2 + WCK3)rdr,                   (2.8)

w

{u;,v;,w;,фС} = £g(K1,к,,к3,к4}||к„„|Г ,                   (2.9)

i=1

I Kinml I2 =/0[ к ,2+к 2+к3 ] rdr, где Xinm - положительные параметры, образующие счетное множество (i = 1, w).

При этом круговые частоты неосесимметричных колебаний цилиндра to_inm связаны с X_inm зависимостью

®,nm =Xnmb^—V^P .                        (2.10)

Подвергая систему уравнений и условия вида (2.4)-(2.6) относительно функций UCC, Vs, Wc, фС преобразованиям в соответствии со структурным алгоритмом [20], получаем счетное множество задач Коши для трансформанты G (X_inm, m, n, t), решение которых имеет вид

^G(X„m ’ m ’ n ’ t⁾= ^G0CPS ^(X„mt^{) +0}S.n ^(X„mt⁾/ ^Xnm^—Xinm {.F^(X„m ’ m ’ n ’ t Ц    (2.11)

X Sln Xinm (t — T) dV

и однородную краевую задачу для компонент К1 ^ К₄:

V7 2     m²     ■ 2 , Л 2 A I m d m L . dK₃     . dK_{4   A}

^V1  a      a2J_n +Xinm К 1 +1 a3        a4    IK2  a5J_n       a₆J_n      - 0,  (²-12)

r                     v r dr r )           dr         dr

2 ai^Vi

v

^m          , 2 . л 2

—т--67 э 7 “FA-     lx.о

2     2V n     mm    2

^^^^^^^^

a 3

V

md rdr

^m I       ^{m        m}

⁺a4 — I^K1 ⁺a5J_n —K3 ⁺a6J_n —K4 ^{- 0} , r )           r            r

r

a 5 jn

V К 1 + — К2 I + r V

a6 jn

a 2 V 2 v

m

2    a7 jn + X inm r )

К₃+

a8 V

m

^^^^^^^.

j

n

К₄- 0,

v

V К1 + — К₂I + r )

a 8

^V2

v

^^^^^^^.

m r 2 v

^^^^^^^.

К3

^^^^^^^.

^^^^^^^.

V r2

I a9 V2

К 4 - 0,

dK r - 1 : -Д- + a13 (К1 + mK2 )- all JnK3 - ai2 JnK4 - 0 , dr

(2.13)

dK₃ dr

+ JK 1 - 0,

d^ - 0

dr

d^ - —к - К - 0, dr 1     2      ’

r - 0 : K1 < да, К₂< да, К₃< да , К₄< да.

Зд^еСЬ F (Xin— , m, ⁿ, t) ^-J0¹[R1s^K 1 ⁺R2*c^K2 ⁺R3*s^K3 ⁺R4*s^K4 ] rdr,

G0 (Xin—, m, n) j [U0cK1 + V;_SK2 + W*.cK3 ] rdr,

G?0 (Xinm , m, n)- Л [ц/0cK1 + V;_SK2 + W0cK3 ] rdr.

При исследовании системы (2.12) имеют место следующие случаи: m - 0 и m ^ 0. Когда m - 0, рассматривается осесимметричная задача, решение которой получено автором в работе [7].

Для решения (2.12) при m ^ 0 вводятся новые функции К₅, К₆ на основании следующих представлений:

К5 - rsK,, К6 - r-K,. (s =±1).                          (2.14)

Тогда частные решения системы дифференциальных уравнений (2.12) находятся методом разложения функций К₃^ К₆ в следующие степенные ряды:

{К3,К4,К5,К6}-r^₽ jr {Ef,Rf,Yf,Pf}rf. (3-const).             (2.15)

f -0,2,4

После подстановки (2.15) в (2.12) приравниваем нулю все множители с одинаковой степенью и получаем значения для параметра 0 , а также выражения для коэффициентов Ef, Rf, Yf, Pf. В результате получаем четыре линейно независимых частных решений.

Подстановка полученных соотношений для К1 ^ К4 в граничные условия при r - 1 (2.13) формирует однородную систему уравнений относительно постоянных D1 ^D4. Ра- зыскивая ее нетривиальное решение, получаем трансцендентное уравнение для вычисления собственных значений X inm, а также выражения для D1 ^ D4. При этом полученные выражения для K1 ^ K4 удовлетворяют также и условия регулярности решения в центре пластины (краевые условия (2.13) при r = 0).

Применяя к трансформанте (2.11) последовательно формулы обращения (2.9), (2.3), (2.2), получаем с учетом (2.1), (2.7) следующие разложения для U(r,0,z,t), V(r,0,z,t), W(r,0,z,t), ф(r,0,z,t):

3 to toto cos (m0) f sin jnz,

(2.16)

sin (m0) f sin j_nz,

u(r,0,z,t) = h 1 + -XXP- h4 ■ XGK11IKmII

L n=1 ^ m=0      _

3 to          toto

V (r, 0, z, t) = H1 ■ - X Л X H5 + X ^GK21Kn. II

L n=1 ^ m =1 _ toto to

H6 + X GKз| IKJ i=1

to

H7 + X GK4 KJ i=1

cos (m 0)>cos j_nz

cos (m0)f cos j_nz .

W (r, 0, z, t ) = H, + Xn -1 IX P-1 n=0

toto

ф( r, 0, z, t ) = H3+Xn -¹IX Pm;

n=0

Разность потенциалов Q (t*) между торцевыми электродированными плоскостями пьезокерамического цилиндра определяется с помощью следующего равенства:

12л а

Q (t *) = (л а2) Jj[v( r*, 0, L, t *)-ф( r*, 0,0, t *)]r* dr. d 0.

0 0

3.    Численный анализ результатов. Выводы

В качестве примера рассматривается пьезокерамический цилиндр ( b = h = 0,01 м) состава ЦТС-19, имеющего следующие физические характеристики материала: {e₃₁, e₃₃, e₁₅} = = {-3,7;11,5;10,3}Кл/м², {е_и,_£33} = {8,08; 7,73}х10^-9 Ф/м, {C_n,C12,C13,C33,C55,C66} = = {13,2; 6,2; 6,9; 10,4; 2,8; 3,5}х 10¹⁰Н/м², р = 7400 кг/м³.

В таблице приведены численные значения спектра частот собственных колебаний щ_inm (m = 0,1,2, n, i = 1,2,3) пьезокерамического цилиндра, полученные с помощью построенного в настоящей работе алгоритма (верхние числа) и численным методом конечных элементов с использование программы ANSYS (нижние числа).

Следует отметить, что наименьшее расхождение численных значений to_inm наблюдается при вычислении первого тона (i = 1) колебаний. Вместе с тем с ростом i разница в частотах, найденных аналитическим и численным методами, становится более существенной и достигает 9,8 %. Кроме того, интересно отметить, что первая частота собственных неосесимметричных колебаний соответствует образованию одной полуволны по угловой координате (m = 1) и вдоль цилиндрической поверхности (n = 1) исследуемого элемента.

Значения спектра частот собственных колебаний пьезокерамического цилиндра

^ inm , кГц	m = 0			m = 1			m = 2
	n = 1	n = 2	n = 3	n = 1	n = 2	n = 3	n = 1	n = 2	n = 3
i = 1	113,4 108,1	257,2	317,9	77,2	165,5	251,6	92,8	169,6	252,5
		242,4	294,3	74,9	159,1	239,6	89,2	161,5	240,0
i = 2	187,2 176,6	344,3 324,8	396,5 370,6	117,5 114,1	190,6 183,2	273,1 260,1	145,2 138,3	209,2 195,5	285,5 264,3
i = 3	226,9 214,0	434,5	485,1	158,7	214,1	287,5	195,1	247,1	315,7
		402,2	445,0	151,1	201,9	268,7	182,2	228,7	287,2

На рисунке приведены графики изменения вертикальных перемещений W (r, 0, z, t) и разности потенциалов Q (t) во времени в случае действия на половине торцевой поверхности цилиндра (0 < r< 1, 0 < 0 < л) равномерно-распределенной нагрузки интенсивностью q₀ и различной частоты ц :

q1 (r, 0, t) = q1 (r, 0, t) = q0H (л - 0) sin цt, где H (...)- единичная функция Хэвисайда [21].

{W ( r, 0, L, t) ,Q (t)} / q 0

{W ( r, 0, L, t) ,Q (t)} / q 0

Рис. Графики изменения W(r,0,z,t) и Q(t) во времени: a - ц = 0,21 _inm (i,n,m = 1);

6- ц = 0,71^ (i,n,m = 1); 1 - W(1, л/2,0,t); 2 - W(1,3л/2,0,t); 3 - Q(t)

Цифрами 1, 2, 3 соответственно обозначены функции W(1,л/2,0,t), W(1,3л/2,0,t), Q (t), а пунктирной линией показан характер изменения внешней нагрузки во времени.

Очевидно, что вертикальная компонента вектора перемещений на незагруженном участке при 0 = 3 л/2 существенно меньше соответствующих значений в зоне действия нагрузки при 0 = л/2.

Результаты расчета также показывают, что при действии гармонической нагрузки допущение о стационарном режиме вынужденных колебаний, используемое при исследовании динамических задач, справедливо только в случае, когда частоты вынужденных колебаний существенно меньше первой частоты собственных колебаний. При высокочастотном внешнем воздействии вследствие наложения отраженных волн деформирования наблюдается более сложная зависимость изменения напряженно-деформированного состояния и электрического поля системы во времени.

На основании проведенных исследований можно сформулировать основные результаты.

• 1.    Построено новое замкнутое решение, позволяющее с помощью базовых расчетных соотношений описать работу типовых элементов пьезокерамических преобразователей резонансного и нерезонансного классов в виде сплошного цилиндра, подверженных действию динамической неосесимметричной механической нагрузки.

• 2.    Численные результаты расчета показывают, что использование построенного алгоритма расчета позволяет, по сравнению с численными методами, получить более точные значения спектра частот собственных колебаний, напряженно-деформированного состояния и электрического поля пьезокерамического цилиндра.

• 3.    В случае действия высокочастотной внешней гармонической нагрузки при исследовании упругих и электроупругих систем нельзя использовать допущение об установившемся режиме вынужденных колебаний.