Непараметрическое прогнозирование экономической динамики

Прогнозирование экономической динамики, несомненно, относится к числу важнейших прикладных задач экономических исследований [Басовский, 2006; Борисевич и др., 2001; Браунли, 1977; Владимирова, 2004; Мишулина, 2004; Орлова, Половников,2007]. Основой для прогнозирования обычно служит таблица ретроспективных наблюдений, трактуемая как регистрации значений случайного вектора (случайного      процесса      с      дискретным      време нем [Кендалл, Стюарт, 1976] ).

Различают долгосрочное, среднесрочное и краткосрочное прогнозирование. При долгосрочном количественном прогнозировании основным методом остается регрессионный анализ на базе логистической функции. Этот метод активно развивался в 60 - 70 гг. ХХ в., наиболее известными работами в этой области до настоящего времени остаются монографии Р. Эйреса [1971] и Э. Янча [1970].

При средне- и краткосрочном прогнозировании, в основном, используют статистические процедуры [Льюис, 1986; Четыркин,1977], основу которых (интерполирование и экстраполирование случайных последовательностей) заложил А.Н. Колмогоров [1941]. Наиболее интересные методы статистического прогнозирования, как видится автору, были предложены Т.А. Дубровой [2003,2007] и Ю.П. Лукашиным [1992,2003]. Имеются попытки примения в прогнозировании и методов спектрального анализа [Гренджер, Хатанака, 1972], но этот подход, требуя большой ретроспективы данных, более пригоден для стохастического анализа сложных технических си- стем [Свешников, 1968; Пугачев, Синицын, 2004; Пантелеев, Рыбаков, Сотскова 2006].

Зачастую в реальных задачах прогнозирования имеется очень короткий ретроспективный ряд (менее 10 наблюдений). В этой ситуации безнадежно искать аналитический вид тренда, сглаживая малую выборку какой-либо функцией. В связи с чем, практически важной выглядит разработка методов непараметрического прогнозирования очень коротких последовательностей (на один «шаг» по 6-10 точкам).

Непараметрическое экстраполирование количественных последовательностей в терминах конечных разностей

В этом пункте развит подход к непараметрическому прогнозированию экономической динамики, основанному на представлении тренда «взвешенной» суммой ретроспективных наблюдений. Идея метода, которая впервые была предложена в работе [Черепанов, Щиренко и др., 1987] и развита в работах [Черепанов, 2007, 2008; 2012, 2013.a,b], состоит в том, чтобы использовать в сумме ряда Маклоре- на, вместо производных конечные разности соответствующих порядков.

В одномерном случае задача формализуется следующим образом. Пусть имеется ряд вида       ^ ⁽'°) , ^ ^{( - 1)}, ... , ^ ^{( -} n ) ,...;

где ^ ⁽°)

наблюдение в текущий момент времени,

^ ( - k )

в « k –м

предыдущем» периоде (день, неделя, месяц, год) времени.

Нужно оценить значение показателя ^(t) в t -й (t = 1,2,...) момент времени. Конечную разность [Гельфонд, 1967] r-го порядка (r = 0,1,2,^) в точке ^(0) правомерно записать в виде где

( r ^

I ^к )

Д < r ) ^ < ⁰⁾

r

= X <-1)к к=0

( r ^

Iк)

< — к )

,

r   . Используя разложение непрерывной функции к! < r - к )!

в ряд Тейлора - Маклорена и заменяя r– ю производную по времени на соответствующую конечную разность, получаем:

^да      X             ^к л< ^{- к} )

^

Меняя порядок суммирования, получаем выражение вида да         ^к е<^-К) да      ^к + r             да        ^к И^-К)

^( t) ~ x < 1) ^    x t=e x < t) ^s   - к=0  Г<к +1)  r=0 Г

Соотношение (3), являющееся прямым аналогом ряда Маклорена для дискретного случая, служит основой для построения процедур экстраполирования одномерных временных последовательностей. Причем, при n —>да V к: t^₊₁ — t^ —> dt, в силу чего соотношение (3) перейдет в ряд Тейлора - Маклорена.

На практике, когда исследователь располагает лишь конечным числом замеров переменной во времени, величина (3) требует оценки.

Пусть  { x<^к) ; к = 1,n } - выборка ретроспективных данных, где

X<n) - последний по времени замер изучаемой переменной.

Bыражение (2) представим (в новых переменных) в виде v < n+t)

x

n

X

r=1

r <— 1) к+1 x <п-к+1)t кХ1 Г < к+1) Г < r - к+1)

.

Путем несложных преобразований (4) приводится к виду

£⁽n+t) _ _pt n^1 ⁽t)    Г⁽n ^к, t)(n-к) . _{t = 1}2

x      — e / a                           x       ;       ,^

к—о Г (к+1)  Г (n - к)

где Г (n—к, t) - неполная дополнительная гамма - функция [Янке и др., 1977,п.V.С], равная (для действительных неотрицательных чисел):

+ х

Г(x) — j tx—1 e—tdt, x > 0.

x

Для вычисления Г(n + 1,а) удобно воспользоваться выражением

[Прудников и др., 1981, п.4.1.6.10] вида

Г(n+1,а) — e"а n ! L — , а е Я® .    (6)

к—о к!

В широко известном методе экспоненциального сглаживания Р. Брауна [Браун и др., 1973; Чуев и др., 1975]), который носит эвристический характер, точки ретроспективных наблюдений« провешиваются» по экспоненте. Несложно заметить, что аналитически метод Р. Брауна является несколько упрощенным вариантом предложенного выше метода. Причем в нашем случае дано формальное обоснование метода непараметрического экстраполирования, ре- зультатом чего явилось провешиванием ретроспективных данных по экспоненте.

Из (5) видно, что при прогнозировании «на t шагов», происходит «присвоение весов» ретроспективным наблюдениям в виде:

t      n—к

р (к) — e (—t) Pt     Г ( n—к+1)

Г (к, t) , Г ( к )  ;

к—1,n , t—1,2,....  (7)

Использовав соотношение [Прудников и др., 1981, п.4.2.1.3], находим

^   (-1) k   = °о k-о k ! (n—k) ! n !  ’ где °q - символ Кронекера, для суммы «весов» ретроспективных наблюдений получаем выражение вида

£ _р (k) -у e (—t)^n—kг (^k, t) k-1 ^Ht     k-1 Г (n—k+1) Г (k)

n—1   k i t °k ,0  - 1

k-о Г(k+1)

n—1 _tk  k        (kA

-i A i (—1) j  .

k-0 k ! j-0       ^ J )

Процедура выявления многомерных последовательностей с некоррелированными компонентами случайного вектора

Для практических прогнозных задач, обычно, наиболее значим случай прогнозирования многомерных стохастических последовательностей (многомерного случайного процесса с дискретным временем). Пусть имеется ретроспективный ряд из n наблюдений, каждое из которых задано m -мерным вектором показателей. Иначе говоря, мы располагаем выборкой ретроспективных данных вида {xjk); j -1,m; k -1,n}. При этом последнее наблюдение имеет номер «n». Поскольку часто приходится сопоставлять динамику показателей, измеренных в разных шкалах, следует перейти к безразмерным величинам, например в виде «темпов роста»:

y^(k) - x,^(k) / x,⁽ⁿ) (i - 1, m , k - 1, n ) .     (10)

Сложность непосредственного использования оценок типа (5), которым в нашей постановке задачи следует придать вид

~(n+i) = e

"  (-1) n k Г(k ,1)  w . —Z                          y(k); i=1,m , (ii)

k=1 Г(п-к+1) Г(к) i обусловлена тем, что экономические показатели динамической си- стемы взаимозависимы и изменение каждого из них влечет косвен- ное, но заметное, изменение других показателей.

Большие экономические системы изменяются во времени «как целое», их количественные показатели стохастически («нежестко»)

взаимосвязаны. Динамические ряды стохастически взаимосвязанных показателей, характеризующих систему, являются всего лишь про- явлением динамики системы как таковой, динамики системы «в це- лом».

Сделаем преобразование данных вида

Z ) = y (k +1) _ y (k ) ; j = 1, m; k = 1, П _ 1 .

Построим матрицу скалярных произведений С вида n-1                         _____

< zi, Zj> = Cij = Z Zik)Zj4)  (i, j = 1, mm)

k=1

Матрица (13) является симметрической и положительно определенной. Следовательно [Гантмахер, 1971], существует ортогональный линейный оператор < α >, приводящий С к каноническому виду a C a = diag (^2; j = 1, m) , (14) где || a || - транспонированная по отношению к || a || матрица. Причем для оператора < a >, в силу его ортогональности, обратная и транспонированная матрицы совпадают: || a

^-1= a Г. Это

условие в координатах запишется в виде nn

Z aikajk  ^ij^j    Z akiakj ; i, j 1 m

k=1                           k=1

где

5-ij

- символ Кронекера. Уравнения (15), приводящие С к кано-

ническому виду, в координатах запишутся:

m

Z akialjCkl = ^j5ij(i, j = 1 m) k, l

Собственные значения λj матрицы С определяются из уравнений:

det {|| C||-^ 2| 71|} = 0; j = 1, m,

где I - единичная матрица размерности m на m. На практике элементы матрицы α , приводящей С к каноническому виду, находят «методом многомерных вращений» (см. [Ильин, Позняк, 1978]).

Ортогональный оператор < α > порождает изометрическое преобразование переменных (многомерный поворот базиса, при котором все расстояния между точками и углы между векторами сохраняются). Новые (обобщенные) показатели выражаются в виде

m

Vj = Z «ijzi (j = 1, m) i=1

.

Экстраполирование многомерных последовательностей с учетом стохастических взаимосвязей показателей

В факторном анализе [Айвазян и др., 1989; Бессокирная, 2000; Дубров, Мхитарян и др., 1973; Иберла,1980; Тихомиров, Тихомирова и др., 2011] полученные признаки ^Vj^(j = 1,^m ) называются «главными компонентами», которые образуют ортогональную систему векторов:

< Vi, Vj > = SyXj  (I, j = 1, m ) .

где 2j - собственные значения матрицы || С |1. С учетом ортого- нальности оператора a , это позволяет записать выражения вида

m

zj = Z aф (j = 1, m)

i

Заметим, что при изометрических преобразованиях линейных пространств шпур (след) матрицы С сохраняется [Гантмахер, 1971;

Ильин, Позняк, 1978]:        SP || C || = ^ZCj = ^{Z 2}.

j=1          j=1

Иначе говоря, сохраняется суммарная статистическая изменчивость (суммарная дисперсия) показателей. Будем считать (что соответствует просто выбору нумерации факторов, который произволен), что

А > 2₂> ... > 2s > ... > 2„, .       (20)

Но тогда некоторое (как правило, небольшое) число s первых компонент обладают «львиной» долей суммарной статистической из-sm менчивости системы:               Z 2j = Z Cjj ; s << m .

j=1 ^J      j=1

Из этого следует, что последние m-s показателей обладают малыми значениями дисперсий, т.е. последние m-s выражений вида (18) являются соотношениями, определяющими эмпирические уравнения взаимосвязей между изучаемыми показателями. В наибольшей степени это относится к последней компоненте, что позволяет записать выражение:

m

Ф = У ос z. = ± 3 Я = 0

m            im i            m       ,            (22)

где оценка гарантированной погрешности взята по непараметрическому правилу «трех сигм». Тогда можно записать соотношение вида

m

znn = - a -1 S a. z” ± 3 ^a -1 ; j g 1, m. j         jm       im i         m jm          , i≠j

Использовав вид преобразования (23), искомую прогнозную оценку запишем в виде

m

у”+1 = v” - аг'Ц a (y”+1 - y”) ± 3 A a—1

y j     y j     jm    imim y i     ^yU      m jm ,      (24)

где оценки ^y_l⁽ⁱ = ¹,^m)находятся из выражения типа (5), поскольку все переменные y”⁺¹попарно некоррелированы. Независимость пока-зателец – требование более сильное, чем некоррелируемость. Но на практике для экстраполирования «на один шаг» достаточно и некоррелируемо-сти.

И, вспомнив вид преобразования (10), мы можем записать прогнозные значения для исходного набора показателей:

m

” +1      ”     ”     „ — 1      „   ”+-1П+1       ”               ” „ —1

х = х I у — а У а (у — у ) ± Зл х а .

j         j y j       jm        im yi        yi            m j jm^.  (25)

Апробация процедур непараметрического прогнозирования на динамике курсов основных валют

Апробация предложенного метода прогнозировании была проведена на данных (за 2010 г.) ежедневных курсов валют. При ретроспективе в 8 наблюдений метод обеспечивает точность с погрешностью 0.2-1.0 % (абсолютно типичный пример приведен в таблице 1).

Из данных таблицы 1 видно, что предложенный алгоритм экстраполирования сверхкоротких последовательностей экономических данных де- монстрирует весьма высокую точность результатов. Так, прогноз значения основных валют (доллар США и евро) получены с погрешностью менее 0.1 %. Погрешности прогнозных значений австралийского доллара, японской йены и китайского юаня не превосходят 0.5 % от истинных значений. По неясным причинам, несколько выбивается из общей картины прогноз английского фунта стерлингов, который имеет погрешность порядка 1.2 %.

Заключение.

В работе предложен и математически обоснован новый подход к непараметрическому экстраполированию коротких последовательностей экономических показателей. Для учета взаимовлияния экономических показателей применяется метод выявления главных компонент. Идея подхода состоит в том, чтобы использовать в сумме ряда Маклорена, вместо производных аналитически неизвестной функции тренда, конечные разности соответствующих порядков.

Предложенный метод статистического прогнозирования фактически основан на представлении тренда взвешенной суммой ретроспективных наблюдений. «Веса» наблюдений ретроспективы находятся из формально - математических соотношений. Разработанная методика была успешно апробирован на реальных данных по ежедневной динамике курсов основных мировых валют.

Таблица 1. Прогнозирование ежедневных курсов основных валют.

	2 марта 2010	3 марта 2010	4 марта 2010	5 марта 2010	10 марта 2010	11 марта 2010	12 марта 2010	13 марта 2010	Прогноз на 16 марта	Точн. зна-чен.	Абсолютн. погрешн.	Относит. погрешн. %
Доллар	29.930	29.980	29.810	29.820	29.750	29.720	29.520	29.390	29.363	29.340	0.023	0.079
Евро	40.740	40.530	40.600	40.720	40.490	40.340	40.250	40.260	40.337	40.330	0.007	0.018
Австралийский доллар	26.910	26.995	26.930	26.840	27.110	27.200	27.040	26.950	26.960	26.840	0.120	0.448
Японская йена (100)	33.530	33.590	33.570	33.720	33.030	32.990	32.650	32.450	32.498	32.350	0.148	0.458
Фунт стерлингов	45.380	44.720	44.740	44.840	44.640	44.340	44.190	44.430	44.904	44.390	0.514	1.158
Юань (10)	43.850	43.910	43.680	43.690	43.580	43.540	43.240	43.060	43.048	42.980	0.068	0.159

__________________________________________________________________"Теория и практика современной науки"                №7(13) 2016