Нерелятивистский вывод выражения силы Лоренца

Показано, что выражение магнитной составляющей силы Лоренца непосредственно следует из уравнений Максвелла, дополненных конвективными составляющими токов смещения.

До настоящего времени в классической электродинамике существуют два слабо связанных друг с другом раздела. С одной стороны, имеется формула Лоренца, определяющая силовое взаимодействие электродинамических систем. Она исходит из требований инвариантности законов Максвелла в инерциальных системах отсчета и опирается на соображения теории относительности [1].

С другой стороны, существуют уравнения Максвелла [2], из которых следуют нерелятивистские волновые уравнения для электромагнитных полей. В результате столь странного «размежевания» двух направлений одной и той же области знаний до настоящего времени вся классическая электродинамика находится в состоянии, когда для объяснения электродинамических явлений приходится применять принципиально различные подходы. Наглядным примером такой «двойственности» является известное исключение из «правила потока», сформулированного Фарадеем (1831). Согласно этому правилу, ЭДС ℰ в контуре с током равна взятой с обратным знаком скорости изменения магнитного потока Ф_м, пронизывающего контур:

ℰ = – d Ф м / dt .                                        (1)

В этой формулировке неразличимы две возможности: движется контур или меняется поле. Для анализа этих случаев в электродинамике приходится пользоваться двумя совершенно разными законами: магнитной составляющей силы Лоренца е(v×B) в случае движущегося контура или законом rotE = – (∂B/∂t) в случае меняющегося поля. Как отмечает Р. Фейнман, «мы не знаем ни одного другого такого примера, когда бы простой и точный закон требовал для своего настоящего понимания анализа в терминах двух разных явлений» [1].

Цель нашей статьи – показать, что магнитную составляющую силы Лоренца можно получить без привлечения соображений теории относительности непосредственно из уравнений Максвелла, если в них частные производные от векторов электрической и магнитной индукции (∂ Е /∂ t ) и (∂ B /∂ t ) заменить на полные d Е / dt и d B / dt , как это первоначально имело место в его работах [3]. Этот же вывод следует из термодинамического вывода уравнений Максвелла, основывающегося на основном уравнении термодинамики диэлектриков и магнетиков в форме [4]

dЭ v = ТdS – E ⋅ d D – H ⋅ d B ,                      (2)

которое связывает энергию Э _v единицы объема системы с работой её поляризации đW _еv = E ⋅ d D и намагничивания đW _мv = H ⋅ d B внешними полями с напряженностью E и H . Интересующая нас пара скорректированных уравнений Максвелла имеет вид:

rot E = – dB/dt.(3)

div B = 0 .(4)

Поскольку полная производная от магнитного поля по времени B = B(r,t), её полный дифференциал dB/dt = (v·∇)B + (∂B/∂t).(5)

где v – скорость переноса электрического заряда. После подстановки (5) в (3) имеем:

rot E = – (vе·∇)B – (∂B/∂t).(6)

Согласно известным правилам векторного анализа [5, III-9]

(vе·∇)B = – rot(v×B) + vdivB + (B·∇)v – Bdivv.(7)

В силу (4) второй член правой части (7) обращается в нуль. При v = const обращаются в нуль и последующие члены, выражающиеся через градиенты и дивергенцию скорости. Что же касается второго члена правой части (6), то, используя определение векторного потенциала B = rot А , его можно представить в виде (∂ B /∂ t ) = rot (∂ А /∂ t ). С учетом этого выражение (6) принимает вид:

rot E = rot( v × B ) – rot(∂ А /∂ t ),                      (8)

или в дифференциальной форме

E = [ v × B ] – (∂ А е / ∂t ).                        (9)

Слагаемые правой части этого выражения характеризуют «сторонние» (индуцированные) силы, действующие на движущийся электрический заряд e помимо кулоновской силы E_к = – ∇ φ (которая в данном выражении отсутствует в связи с тем, что при выводе 163

уравнений (3) и (4) рассматривался замкнутый электрический контур). В более общем случае вслед за Максвеллом можем написать:

ℰ = ∫ (– ∇ φ + v × B – ∂ А е /∂ t ) d ℓ е .                    (10)

Таким образом, полная сила F _e, действующая на заряд e , имеет вид:

F e = – e [ ∇ φ – v × B + (∂ А е / ∂t )],                      (11)

т.е. включает не только так называемую «магнитную составляющую» силы Лоренца F _л = e [ v × B ], но и силу e (∂ А _е/ ∂t ), не имеющую специфического названия. Это позволяет обобщить закон Ома на случай действия «некулоновских» сил:

j е = – σ е { ∇ φ – [ v × B ] + (∂ А е / ∂t )} ,                   (12)

где σ _е – коэффициент электропроводности.

Дальнейшее обобщение закона Ома на случай действия термических, химических и т.п. сил осуществляется уже вне рамок электродинамики. В частности, как показано в [3], в системах с неоднородным полем температур закон Ома следует дополнить «термоэлектрической силой» Х _ет, выражающейся градиентом температуры. В еще более общем случае электрохимических систем на движение заряженных частиц влияют также электрохимические силы Х _е k , определяемые градиентами концентрации заряженных компонентов системы. Это позволяет получить целый ряд так называемых «эффектов наложения», выражающих взаимосвязь электрических явлений с неэлектрическими.