Нестационарные одномерные динамические задачи разномодульной упругости с кусочно-линейной аппроксимацией краевых условий

ВЕСТНИК ПНИПУ. МЕХАНИКА № 4, 2019PNRPU MECHANICS BULLETIN

Известно, что большинство природных и конструкционных материалов обладают существенной нелинейностью связи между напряжениями и деформациями. Разномодульные среды занимают особое место в этом ряду, поскольку их нелинейность имеет практически сингулярный характер и проявляется уже на стадии упругого деформирования. В первую очередь это касается горных пород [1-5], всевозможных пористых и связных сыпучих сред [6-8], волокнистых и зернистых композитов [9-12], а также некоторых современных сплавов [13-16]. Распространенность и промышленная ценность таких материалов являются причиной активного экспериментального и теоретического изучения их физикомеханических свойств. К настоящему времени разработан целый ряд нелинейных математических моделей разномодульных сред (например, [17-23]), поскольку классических представлений линейной теории здесь оказывается недостаточно. Учет физической нелинейности разномодульного материала достигается в модельных соотношениях самыми разными способами: зависимостью упругих модулей от типа напряженно-деформированного состояния [21, 22, 24], постулированием упругого потенциала особой формы [17-20, 23], построением различных реологических схем [25-29] и т.д. В [30] на основе компиляции подходов [17, 18, 20, 24] модельные соотношения разномодульной упругой среды в простейшем случае ее одномерного движения записаны в форме кусочно-линейных функций напряжения от деформации. Замена гладкой нелинейной связи на ее кусочно-линейную аппроксимацию существенно упрощает процедуру решения ряда нестационарных краевых задач одномерной динамики разномодульной среды. Так, в [31] представлены обобщенные решения с одиночными плоскими одномерными волнами деформаций, возникающими в разномодульной среде [18] при различных гладких нелинейных краевых условиях; в [32] для этой же модели получено решение одномерной задачи о гармоническом нагружении границы полупространства с чередованием ударных волн и жестких слоев; в [33-35] рассмотрено движение одномерных плоских и сферических волн в кусочно-линейной разномодульной среде при кусочно-гладком изменении граничной нагрузки с растяжения на сжатие или наоборот. Однако до сих пор для разномодульных материалов не затрагивался вопрос о нестационарном взаимодействии нелинейных волновых фронтов друг с другом, поскольку даже кусочно-линейные модельные соотношения не позволяют в этом случае обойтись без привлече- ния специальных приближенных методов [36]. Данную проблему можно в некоторых частных случаях снять, если в дополнение к линеаризации модельных соотношений разномодульной среды выполнить кусочнолинейную аппроксимацию нестационарных краевых условий задачи. Продемонстрируем это в настоящей статье.

1. Определяющие соотношения

Запишем систему модельных уравнений динамики деформирования разномодульной упругой среды в прямоугольных декартовых координатах, считая, что процесс адиабатический, деформации малые и массовые силы отсутствуют:

_ д W   р .

° ij, = Р Vi ,   ° = д--- , --- = 1 - uk, к ’ д eij     Ро

• 2 e ij = u i, + u j , i ,    v i = i t i ,

X _₂

^E 1     e kk ,    ^E 2     ei k e ki .

Здесь ° у - компоненты тензора напряжений Коши; e ij -компоненты тензора малых деформаций; р ₀ и р - начальная и текущая плотность среды; u i и v i -компоненты вектора перемещений и вектора скорости перемещений точек среды; латинским индексом после запятой обозначена частная производная функции по независимой пространственной переменной x^ , точкой -частная производная по времени t . Различное сопротивление материала растяжению и сжатию в системе (1) постулируем упругим потенциалом среды W [18, 20], где X , ц - параметры Ламе линейной среды, дополнительное слагаемое с константой v отвечает за проявление эффекта разномодульности при смене типа деформированного состояния. Многоточием обозначены невыписанные слагаемые неаналитичного при e_y = 0 разложения [20] упругого потенциала в ряд по сферическим функциям, для которого в [20] дополнительно принято W (0) = 0 и показано существование пределов lim W ( e ij ) = 0, lim д W 1 6 e ij = 0. В случае

I e ij l ^ ⁰ I e ij l ^ ⁰

одномерного движения точек среды ( u 1 = u ( x , t ), u ₂ = u ₃ = 0, e = u , _x ) упругий потенциал W в форме (1) приводит к кусочно-линейной зависимости ° ( e ):

° ( e ) = { X + 2 ц- 2 v- sign( e )} e , ° (0) = 0,      (2)

где sign( e ) = e /1 e | при e * 0 . Аналогично обобщенной модели [20] второе равенство (2) обеспечивает сохранение непрерывности связи ° ( e ) в нуле. Используя (2), из системы (1) получаем уравнение движения

2                 I a = 7Р^{- 1} (Х + 2ц + 2v), u , x < 0,

СИ , xx = U, с = ^         -------------- ⁽³⁾

[ b = уР ¹ (Х + 2ц-2v), u , _x > 0.

В (3) характеристическая скорость с может принимать различные значения в зависимости от типа деформации: с = а в областях сжатия среды, с = b в областях растяжения (а > b при v> 0). Решение уравнения (3) в форме Даламбера u (x, t) = f (t - x/c) + g (t + x/c)          (4)

с неизвестными функциями f ( £ ( x , t )), g ( n ( x , t )) определяется для каждой конкретной задачи с учетом заданных краевых и начальных условий.

Если в обобщенном решении уравнения движения (3) возникает одномерный фронт сильного разрыва x = D ( t ), то множество краевых условий задачи необходимо дополнить условиями совместности разрывов [37] и требованием непрерывности перемещений на поверхности D ( t ):

[°] = -р⁺ D '( t )[ v ], [ v ] = - D '( t )[ u , x ], [ u ] = 0.     (5)

В (5) и далее разрывы функций на фронте D ( t ) обозначены как    [ m ] = m ⁺ - m" ,   где m ⁺= m l , , „,

L J                       ’                                        ID (t )+0 ’ m~ = m\D(t)-0. Из условий (5) для модели (2) можно вычислить скорость сильного разрыва:

D'(t) = u +

^X + 2 ц ^{2 v} ■ ^sig^{n( u ,}- ) ^{- 2 v} ■ ^[sig^{n( u} , x ^)]—■■ ^{[ u} , x I.

/ + (6) р ,

которая оказывается зависимой от деформированного состояния ( u , + , u , - ) в малых окрестностях с обеих сторон от фронта D ( t ). Как будет показано далее, такая модельная особенность приводит к существенным отличиям динамики разномодульной среды от известных результатов линейной упругости даже в простейшем случае одномерных движений.

Для классификации возможных сильных разрывов D ( t ) в обобщенном решении уравнения (3) используем терминологию, аналогичную принятой в [38]. Если u , + * 0 и u,*u , - > 0, то в среде распространяется быстрый или медленный простой разрыв x = ^ ( t ); если u , + u , - = 0 при u , + * u , - , то такая волна - быстрый или медленный полусигнотон x = у ( t ) . Из (5), (6) следует, что простые разрывы и полусигнотоны в среде (2) движутся с характеристической скоростью c , равной а для быстрых фронтов у ± a ( t ), ^ ± a ( t ) и b для медленных Y ± ^b ( t ), ^ ± ^b ( t ) [31, 38] (знаками «+» и «-» у верхних индексов а ( b ) обозначим противоположные направления движения быстрых (медленных) фронтов;

далее знак «+» будем опускать). Ударной волной x = S ( 1 ) со скоростью S' ( 1 ) = G ( 1 ) будем называть такой сильный разрыв, у которого u,*u, x < 0 . Используя (5), (6), для модели (2), (3) можно показать, что b <| G ( 1 )|< a [31, 38].

Согласно приведенной классификации, простой разрыв £ ( 1 ) и ударная волна 2 ( 1 ) распространяются только по ненулевому предварительному полю деформации u , + * 0 . Ударная волна скачком меняет тип деформации с растяжения ( u , + > 0, с ⁺ = b ) на сжатие ( u , - < 0, с - = a ). Следует отметить, что ударный переход от сжатия к растяжению невозможен в силу неэволюционности такого разрыва [39]. Простой разрыв, в отличие от ударной волны, не изменяет тип деформированного состояния среды. Полусигнотон у ( 1 ) несет ударное граничное возмущение (растяжение или сжатие) в предварительно недеформированную область ( u , + = 0). Кроме того, в разномодульной среде (2) быстрый и медленный полусигнотоны могут двигаться парой, образуя между собой жесткий слой у b ( 1 ) <  x < у ^a ( 1 ) при переходе предварительно сжатого материала в растянутое состояние [31, 32, 38].

Перечисленные свойства сильных разрывов в обобщенном решении уравнения движения (3) далее используем для анализа возможных волновых картин в задаче нестационарной одномерной динамики разномодульной среды.

2.    Движение и взаимодействие плоских одномерных волн деформациив разномодульном упругом полупространстве

Рассмотрим задачу об одномерном динамическом деформировании разномодульного упругого полупространства под действием нестационарного граничного нагружения в режиме «растяжение-сжатие». Считаем, что изначально среда находилась в недеформированном состоянии: u ⁰ = 0 , e ⁰ = 0 , ст⁰ = 0. Пусть в момент 1 ₀ = 0 на границу x = 0 полупространства x > 0 начинает действовать нагрузка, вызывающая движение граничных точек по гладкому нелинейному закону u (0, 1 ) = Ф ( 1 ) (пунктирная линия на рис. 1): ^Ф ( t )| 1 ₀ < t < 1 ₃ < ⁰, ^ф ( t )| t > 1 ₃ > ⁰, ^ф ( 1 0 ) = ^ф ( 1 3 ) = ⁰, Ф '( 1 ₂) = 0, 1 ₀ <  1 ₂ <  1 ₃. Такое одномерное движение точек границы x = 0 приводит к растяжению среды при 1 ₀ <  1 <  1 ₂ и к сжатию при 1 >  1 ₂.

В [34,35] для описанного режима граничного воздействия показано, что в момент t2 в разномодульной среде (2) возникает ударная волна S(1), которая движется со скоростью G(1) > b за первичным медленным фронтом уb (t) и скачком переводит среду из растянутого состояния в сжатое. Однако временной интервал представленных в [34,35] решений не включает момент, когда ударная волна догонит идущий впереди нее медленный фронт растяжения. Здесь мы не будем накладывать таких ограничений, так как изучение взаимодействия волновых фронтов различного типа в разномодульной среде (2) является одной из основных целей нашего исследования.

Рис. 1. Заданное перемещение граничных точек полупространства

Fig. 1. Displacement specified for boundary points of a half-space

Для заданной гладкой функции граничных перемещений u (0, 1 ) = Ф ( 1 ) можно построить ее непрерывное кусочно-линейное приближение:

y 1 ( t ), 1 0 < t,, y 2( t), t, < 1 2,

...

. у. ^{( 1} ),    t n - 1 <  ¹ ,

y. (1) = kit + pi, ti- < 1 < ti, i = 1,2,...,n, n > 2, k, = ф _ фi-1, p, = фi-1 - kt-1, ф, = ф(i,), y( tj) ‘ = yj+dtj) =Ф( tj), j = 1,2,..., n-1.

В (7) количество и расположение узловых точек t i функции ф ( 1 ) выбирается в зависимости от желаемой точности аппроксимации. Примем в (7) n = 3 и построим функцию ф ( t ) в форме трех линейных участков (сплошная линия на рис. 1):

ф ( ¹ ) = •

y 1 ( t ) = k 1 1 ⁺ Р 1 , y 2⁽ t ) = k 2 t ⁺ Р 2 , y ₃( t ) = k 3 t ⁺ p 3 ,

0 < 1<11, t1 < t

Константы ki, pi в (8) вычисляются согласно (7). Три узловые точки функции ф(t) фиксируем при постановке задачи: 1₀= 0 и 1₃> 0 соответствуют нулям функции Ф( t), ф₀=Ф( 1₀) = 0, ф₃=Ф( 1₃) = 0; 1₂ -момент изменения граничной нагрузки с растяжения на сжатие (Ф'(1₂) = 0). Положение точки 11 может быть любым в интервале (0; 1₂).

Таким образом, нестационарную начально-краевую задачу с гладкой функцией граничных перемещений u(0,1) = Ф( 1) разбиваем на несколько последовательных временных этапов, выбирая для каждого из них соответствующую часть кусочно-линейного краевого условия (8). Прогноз волновой картины на текущем этапе строим исходя из результатов предыдущего этапа.

В дополнение к (8) в систему краевых условий каждого локального этапа включаем условия (5) на подвижных границах – фронтах сильных разрывов.

Действуя по описанному алгоритму, получаем последовательность автомодельных решений, объединение которых составляет кусочно-гладкую аппроксимацию полей u(x,t) и u,_x (x,t) во всей области деформирования на интервале t е [t0; t*]. Момент t* > t2, позже которого волновая картина уже не меняется при заданном формулой (8) движении граничной плоскости, является здесь точкой остановки вычислительной процедуры.

Этап 1: нестационарное растяжение разномодульного полупространства при t е [0; t2). Согласно (8) движение точек границы x = 0 на интервалах времени t е [0; t1) и t е [t1; t2) определяется функциями у1 (t) и y₂ (t) соответственно. Результатом такого граничного воздействия являются два медленных волновых фронта (рис. 2): полусигнотон yb (t) и простой разрыв Sb (t).

б

Рис. 2. Диаграммы сильных разрывов и областей гладкого решения: a - сценарий AB (T₂< T3, b < G1 < G₂< a);

б - сценарий BA (T3 < T₂, b < G₂< G1 < a)

Fig. 2. Diagrams for strong discontinuities and regions of a smooth solution: a - AB scenario (T₂< T3, b < G1 < G₂< a); b - BA scenario (T3 < T₂, b < G₂< G1 < a)

Область 0 соответствует начальному (недеформиро-ванному) состоянию материала, в областях I и II среда подвергается растяжению (cI = cII = b). Полусигнотон Yb (t) (волна первичного растяжения) возникает в начальный момент 10 = 0 . Появление простого разрыва Sb (t) обусловловлено исключительно наличием излома функции ф(t) в точке t1. Здесь стоит отметить, что увеличение количества фронтов Sb (t) на этапе 1 за счет увеличения числа узловых точек ti е [0; 12) повышает точность аппроксимации всего решения, однако для наших целей достаточно одного простого разрыва Sb (t). С учетом краевого условия (8) на этапе 1 при t е [0; 12) решение в областях I и II (см. рис. 2) принимает вид и'(x,t)           = A. + B.t + Cx,      A = p. = 0, B, = k, C = -k / b,

Sb (l )< xb (I)      ^{11       1}               1    ^1           1      ¹     1        ¹

u" ⁽x^,‘) L<xb₍t) = ^A2 ^{+ B(}‘ — t1) ^{+ C}2x,  A2 = p2, ^B2 = ^k2, ^C2 = -^k2 ^{7 b},

Yb (t) = bt, Sb (t) = b(t - s).

Этап 2: нестационарное сжатие разномодульного полупространства с момента t₂и до первого взаимодействия разрывов различного типа. В момент t₂ режим граничной нагрузки меняется с растягивающих усилий на сжимающие. Согласно (8) движение граничных точек теперь задано функцией ф(t) = у3 (t). В результате в момент t₂ на границе x = 0 возникает ударная волна Z1(t) (см. рис. 2), которая движется со скоростью G1 (b < G1 < a) в предварительно растянутую область II, создавая за собой новую область сжатия III (cIII = a при 0 < x< 21(t)). Такая волновая картина существует в полупространстве до момента t = T1, когда ударная волна 21 (t) догонит медленный простой разрыв Sb (t) (см. рис. 2).

Как и перемещение u^III(x,t), скорость G₁ входит в число неизвестных функций задачи. Eсли условие на границе x=0 задано в форме гладкого нелинейного закона и(0,t) = Ф(t), то G1 в (5), (6) будет зависеть, кроме t , еще и от неизвестного скачка [и,x ]|z, _(t) = (и,+ — и,- )|_{2 (}t). В таком случае решение даже простой одномерной краевой задачи можно получить только численно или с привлечением специальных приближенных аналитических методов [36]. Замена нелинейной функции Ф(t) ее кусочно-линейной аппроксимацией (8) позволяет существенно упростить процедуру решения, так как перемещение граничных точек по линейному закону ф(t)|_(>( = у3(t) инициирует ударную волну 21 (t), которая движется по предварительному полю и,x = const > 0 с постоянной скоростью:

2  22 k /b

G, = a - (a - b )------------= const, b < G, < a, u Ш(x,t) |0

B₃= k₂(1 - G1 / b) + RG1 /a, C₃= -R / a.

Этап 3: эволюция ударной волны X, (t) в результате ее взаимодействия с медленным простым разрывом Sb (t). Область растяжения II перестает существовать при t = T1 > t1, когда ударная волна £1 (t) догоняет простой разрыв Sb (t) (см. рис. 2). Положение, которое в момент T занимают волны £1 (t) и Sb (t), определяется координатой X1 = Е,(T1) = Sb (T). В результате такого попутного столкновения £1 (t) и Sb (t) транформи-руются в два новых фронта, расходящихся от плоскости x = X 1 (см. рис. 2): быстрый простой разрыв S- a (t) и ударную волну £2 (t) со скоростью G2 ^ G1. Решение в новой области сжатия IV (cIV = a ) имеет вид u IV( x, t )|           = A + B. (t - T) + Cx, v ’ ' k-a (t)

S-^a (t) = X1 - a (t - TO,

£2 ( t) = X1 + G2( t - T),

_T = G1 t2 ^-bt_x

¹     G1 - b ’

X1 = ^( T) = Sb (T) =

bG1(12 -11) G1 - b

A4 = ^k1 t1 ^{- p}1 ^-C4 ^X1,

B4 =

bG₂( k₃+ R) + ak1( b - G₂) b (a + G₂)

^C4 ⁼

k1( b - G₂) - b (k₃+ R) b (a + G₂)

В (12) скорость G₂ ударной волны £₂(t) вычисляется из (5) с учетом (8), (9), (11) по формуле

G2

k1( a²- b²)

k1( a + b) - b (k₃+ R)

= const ^ G1, b< G₂< a.

Этап 4: эволюция ударной волны X₂ (t) в процессе нарастающего сжатия на границе полупространства. Система разрывов {S-a, £₂, yb} существует до момента наступления одного из событий:

A = {£₂(T₂) = yb (T₂) = X₂} - попутное столкновение ударной волны £₂(t) с медленным полусигнотоном Yb (t) в момент t = T₂ (X₂= X 1 + G₂(T₂- T) = bT₂);

B = {S-a (T₃) = 0 } - отражение быстрого простого разрыва S-a (t) от границы x = 0 в момент t = T₃.

Таким образом, дальнейшее решение может развиваться по различным сценариям: AB (T2 < T3) или BA (T2 > T3). Случай T2 = T3 не рассматриваем ввиду малой вероятности одновременного наступления событий A и B. Опуская подробности дальнейших вычислений, представим решения для каждого из указанных вариантов.

На рис. 2, a показана диаграмма сильных разрывов для случая AB (T2 < T3), на рис. 2, б - для случая BA (T2 > T3). Области, где волновые картины различаются, отмечены штриховкой. При T2 < t < T3 (см. рис. 2, a) волновой пакет состоит только из быстрых разрывов {S-a, S-a, Ya}, разделенных областями сжатия III, IV и V (c111 = cIV = cV = a ), причем полусигнотон у a (t) и простой разрыв S-a (t) есть результат события A. В случае T3 < t < T2 (рис. 2b) волновая картина включает попутные разрывы {S4, X2’ Yb}, движущиеся с различными скоростями, и области с разными типами деформации: в IV и VI - сжатие (cIV = cVI = a), в I - растяжение (cI = b). Таким образом, ударная волна £2(t) может как закончить свое существание в самом начале этапа 4 в момент t = T2 < T3 вследствие ее трансформации в быстрые разрывы у a (t) и S- a (t) (вариант AB), так и продолжать участвовать в формировании поля деформации в областях сжатия IV, VI на всем протяжении этапа 4 вплоть до момента t = T2 > T3 (вариант ВА). Это приводит к двум различным наборам краевых условий (5) на сильных разрывах для случаев AB и BA. С учетом данного факта перемещение u(x,t) в областях V и VI вычисляется в виде u V(x, t )| E- am

T2 = T1 + bt1/(G2 - b), uVI(x,t)|0<

T₃= T + X J a,

S-a (t) = X2 - a (t - T2),     у a (t) = X2 + a (t - T2), (14)

S4 (t) = a (t - T3),

A5 = 0.5X₂(B₄/a -C₄),    B₅= 0.5(B₄-aC₄),

C5 = 0.5(C4 -B4 /a),

A6 = p 3 + k3 T3,     B6 = k3,

C6 = (B4 -k3)/a + C4.

Константы B₄, C₄ в (14) известны из решения (12), (13) предыдущего этапа 3.

Этап 5: продолжение сжатия на границе полупространства при t > T3 или t > T2 в зависимости от сценария предыдущего этапа (AB или BA). На данном этапе, начало которого совпадает с моментом t = T3 (вариант AB, рис. 2, a) или t = T2 (вариант BA, рис. 2, б), движение точек граничной плоскости по-прежнему определяется согласно (8) функцией ф(t) = y3 (t). В любой момент этапа 5 волновая картина состоит из трех быстрых разрывов (попутных или разнонаправленных, рис. 2), тип деформации во всех актуальных областях гладкого решения соответствует сжатию. Передним фронтом сжатия является быстрый полусигнотон у ° (t), который движется в недеформированную область 0. Помимо у ° (t), в формировании полей u (x, t) и u, x в областях V–VIII участвуют быстрые простые разрывы ^з a (t), ^4 (t), ^ (t). Неизменность типа деформации на протяжении всего этапа 5 приводит к постоянству характеристической скорости c всюду между передним фронтом у ° (t) и границей x = 0 (cV = cVI = cVII = = cVIII = a), а также к сохранению характера сильных разрывов ^±° (t) при их взаимодействии друг с другом (при t = Т4) и с границей полупространства (при t = Т5). Это позволяет легко получить решение задачи в областях VII, VIII:

u^VII(x, t)           = A + B_n (t - T) + Cx,

V ’ 71 ^a (t)

u VIII (x, t )|     „ = A + B8 (t - T) + Cx, o< x <^ (t)               8v      578

T4 = 0.5( T2 (a + b)/ a + T3),

T5 = 2T4 -T3,    ^ = a(t-T5),

A = A + B5(T4 -T2) + a(T4 -T3)(C5 -C7),(15)

B7 = 0.5(B₄+ B5 - a (C6 - C5)),

C₇= 0.5(B₅- B6 + a (C₅+ C6)) / a, A = A7 + B7( T5 - T4), B8 = k3,

C8 = (B₇-k₃)/a + C₇.

Как показано на рис. 2, в обоих случаях AB и BA при t = T₅ возникает волновой пакет из попутных быстрых разрывов {^^, ^4, Ya}, который уже не изменяется с течением времени, если граничные точки продолжают двигаться по закону u (0, t) = y₃(t). Таким образом, процедуру решения описанной задачи можно остановить в любой момент t* > Т₅, например, руководствуясь оценкой масштаба реального граничного перемещения u(0,t*) , достигнутого к этому моменту времени.

3.    Анализ решения

На рис. 3 схематически изображена последовательность моментальных кусочно-линейных диаграмм перемещения u(x,r) и деформации u,_x (X,т) , соответствующих полученным решениям (9) – (15) при возникновении случая AB (Т₂< Т₃). На каждой диаграмме момент т принадлежит одному из описанных выше этапов деформирования, условная пространственная координата x имеет свой нормирующий множитель, характерный для выбранного интервала времени: (a) t1<т<1₂, x = x/(bт); (б) 1₂<т<Т1, x = x/(G₁т) ; (в) T< т < T₂, x = x / (G₂т); (г) T₂< т < T₃, x = x / (a т); (д) T₃< т < T₄, x = x / (a т); (е) т > T₅, x = x / (a т).

Рис. 3. Результаты поэтапного решения краевой задачи (сценарий AB)

Fig. 3. Results of the stepwise solution for the boundary value problem (AB scenario)

Несомненно, рис. 3 не отражает всех возможностей развития системы разрывов и полей u , u,_x в рассмотренной задаче. Так, на рис. 2 показано, что кусочнолинейная геометрия ударного фронта 21 + S₂, которая определяется значениями скоростей G₁ и G₂ , может изменяться в зависимости от положения узловой точки t1 функции ф(t) в (8). Устремляя данную точку к началу процесса растяжения (моменту 1₀= 0), мы получаем вогнутую форму фронта 21 +22, так как b< G1< G₂< a (см. рис. 2, a); если точка t1 расположена ближе к моменту 1₂, то разрыв 21 + 22 принимает выпуклую форму при b< G₂< G1 < a (см. рис. 2, б). Аналогичного эффекта можно добиться при фиксированном положении узла t₁ путем изменения значения ф(t1), т.е. фактически варьируя кривизну функции u (0, t) = Ф( t) на интервале растяжения t е [0;1₂] (рис. 4).

Полученные с учетом (8), (10), (12)–(14) зависимости скоростей G₁ , G₂ и моментов T₂ , T₃ от величины | ф(tj)| схематически показаны на рис. 5, где f* = Ф⁽t1) | G = g₂, f ** = Ф⁽t1) | t₂=t₃ ; ^G1 < ^G2 ^в области Q₃ при | Ф(t1)|< f *, G1 > G2 в Q2 при | ф(t1)|>f *; T2< T, при | ф(t1) |< f ** (сценарий АВ), T₂> Т₃ при

| ф(О l>f ** (сценарий BA). Отметим, что значения f * и f ** в общем случае не совпадают, т.е. существует узкий диапазон A=|f **- f *|~10^-3 м, где при G₁> G2 волновая картина на этапе 4 (нарастающее сжатие) может развиваться по сценарию BA при T2 > T3 (заштрихованные области на рис. 5).

Рис. 4. Функция граничного перемещения с вариацией кривизны на стадии растяжения

Fig. 4. Boundary displacement function with curvature variation at the stretching stage

Рис. 5. Зависимости параметров решения от значения | ф(г₁)|

Fig. 5. Dependencies of solution parameters on the value | ф(?₁)|

Заключение

Итак, в статье показано, что кусочно-линейная аппроксимация нелинейных краевых условий динамической задачи позволяет описать процесс возникновения, движения и взаимодействия плоских одномерных волн деформаций в разномодульной упругой среде, не обращаясь к специальным методам типа метода возмущений и др. Полученное с помощью такого подхода кусочно-линейное решение моделирует нелинейный эффект, характерный для динамики деформирования нелинейно-упругих материалов и не описываемый в рамках линейной упругости – возникновение ударной волны сжатия со скоростью, зависящей от динамического поля деформаций по обе стороны от волнового фронта. Данный подход можно использовать для решения нестационарных краевых задач упругой динамики нелинейных и разнопрочных сред с более сложными граничными условиями, чем представленное здесь (например, режимы циклической нагрузки-разгрузки или вибрации), при этом точность решения может быть улучшена путем добавления дополнительных узловых точек аппроксимирующей кусочно-линейной граничной функции. Также результаты работы могут послужить теоретическим дополнением для экспериментальных исследований нелинейного поведения реальных природных и конструкционных материалов под действием высокоскоростных динамических нагрузок.

Работа выполнена при частичной поддержке Программы «Приоритетные научные исследования в интересах комплексного развития Дальневосточного отделения РАН» (проект 18-5-002).

Acknowledgments

This work was supported in part by the Program “Priority Scientific Research for the Comprehensive Development of the Far Eastern Branch of the Russian Academy of Sciences” (project 18-5-002).