Нестационарные термоупругодиффузионные колебания балки Бернулли - Эйлера под действием распределенной поперечной нагрузки
Автор: Земсков А.В., Ле Ван Хао
Статья в выпуске: 3, 2023 года.
Бесплатный доступ
Рассматривается задача о нестационарных колебаниях балки Бернулли - Эйлера с учетом релаксации температурных и диффузионных процессов. Исходная математическая модель включает в себя систему уравнений нестационарных изгибных колебаний балки с учетом тепломассопереноса, которая получена из общей модели термомеханодиффузии для сплошных сред с помощью обобщенного принципа Даламбера. На основе полученных уравнений сформулирована постановка начально-краевой задачи об изгибе шарнирно-опертой ортотропной балки, находящейся под действием распределенных по поверхности термоупругодиффузионных возмущений. Решения задачи о нестационарных термоупругодиффузионных колебаниях балки ищется в интегральной форме. Ядрами интегральных представлений являются функции Грина, для нахождения которых используются разложения в тригонометрические ряды Фурье и преобразование Лапласа по времени. Трансформанты функций Грина представлены через рациональные функции параметра преобразования Лапласа. Переход в пространство оригиналов осуществляется аналитически с помощью вычетов и таблиц операционного исчисления. Получены аналитические выражения для функций Грина рассматриваемой задачи. На примере шарнирно-опертой трехкомпонентной балки, выполненной из сплава цинка, меди и алюминия, находящейся под действием распределенной по длине механической нагрузки, исследовано взаимодействие механического, температурного и диффузионного полей. Проанализировано влияние релаксационных эффектов на кинетику тепломассопереноса. Решение представлено в аналитической форме и в виде графиков зависимости искомых полей перемещения, приращений температуры и приращений концентрации компонент среды от времени и координат. В заключение приведены основные выводы о влиянии связанности полей и релаксационных эффектов на напряженно-деформированное состояние и тепломассоперенос в изгибаемой балке.
Термоупругая диффузия, преобразование лапласа, ряды фурье, функции грина, балка бернулли - эйлера, нестационарные задачи
Короткий адрес: https://sciup.org/146282680
IDR: 146282680 | УДК: 539.3 | DOI: 10.15593/perm.mech/2023.3.07
Unsteady thermoelastic diffusion vibrations of the Bernoulli - Euler beam under the action of a distributed transverse load
The paper deals with the problem of unsteady vibrations of the Bernoulli - Euler beam, taking into account relaxation of temperature and diffusion processes. The original mathematical model includes a system of equations of non-stationary bending oscillations of the beam taking into account heat and mass transfer, which is obtained from the general model of thermoelastic diffusion for continuum using variational D'Alembert principle. Based on the obtained equations, the statement of the initial-boundary problem concerning bending of the hinged orthotropic beam, which is under the action of thermo-elastic diffusion perturbations distributed on the surface, is formulated. Solutions of the problem of unsteady thermoelastic diffusion vibrations of the beam are sought in integral form. The kernels of integral representations are Green’s functions, for finding of which decompositions into trigonometric Fourier series and Laplace transformation over time are used. Laplace transformants of Green's functions are represented through the rational functions of Laplace transformation parameter. Transition into the space of the originals is carried out analytically using deductions and tables of operational calculus. Analytical expressions for Green functions of the problem under consideration are obtained. On the example of a simple supported three-component beam made of an alloy of zinc, copper, and aluminum, which is under the influence of mechanical load distributed along the length, the interaction of mechanical, temperature and diffusion fields is investigated. The influence of relaxation effects on the kinetics of heat and mass transfer is analyzed. The solution is presented in analytical form and in the form of graphs of the dependence of the desired fields of movement, temperature increments, and increments of concentration of medium components on time and coordinates. In conclusion, the main conclusions concerning influence of field connectivity and relaxation effects on the stress-strain state and heat and mass transfer in the bendable beam are given.
Список литературы Нестационарные термоупругодиффузионные колебания балки Бернулли - Эйлера под действием распределенной поперечной нагрузки
- Maxwell J.C. On stresses in rarefied gases arising from inequalities of temperature // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. - 1879. - Vol. 170. - P. 231-256.
- Горский В.С. Исследование упругого последействия в сплаве Cu-Au с упорядоченной решеткой // Журнал экспериментальной и теоретической физики. - 1936. - Т. 6, № 3. -С. 272-276.
- Nachtrieb N.H., Handler G.S A relaxed vacancy model for diffusion incrystalline metals // Acta Metallurgica. - 1954. -Vol. 2, no. 6. - P. 797-802.
- Petit J., Nachtrieb N.H. Self-Diffusion in Liquid Gallium // Journal of Chemical Physics. - 1956. - Vol. 24. - P. 1027.
- Prussin S. Generation and Distribution of Dislocations by Solute Diffusion // J. Appl. Phys. - 1961. - Vol. 32. - P. 18761881.
- Подстригач Я.С., Павлина B.C. Дифференциальные уравнения термодинамических процессов в N-компонентном твёрдом растворе // Физико-химическая механика материалов. - 1965. - № 4. - С. 383-389.
- Еремеев В.С. Диффузия и напряжения. - М.: Энерго-атомиздат, 1984. - 182 с.
- Князева А.Г. Введение в термодинамику необратимых процессов. - Томск: Изд-во «Иван Федоров», 2014. - 172 с.
- Индейцев Д.А., Мочалова Ю.А. Диффузия примеси в материале под действием вибрационных нагрузок // Чебышев-ский сборник. - 2017. - Т. 18, № 3. - С. 292-305.
- Парфенова Е.С., Князева А.Г. Влияние параметров химической реакции на взаимодействие тепловых, диффузионных и механических волн в условиях обработки поверхности потоком частиц // Вычислительная механика сплошных сред. - 2021. - Т. 14, № 1. - С. 77-90.
- Lata P. Time harmonic interactions in fractional thermoelastic diffusive thick circular plate // Coupled Systems Mechanics. - 2019. - Vol. 8, no. 1. - P. 39-53.
- Швец Р.Н., Флячок В.М. Вариационный подход к решению динамических задач механотермодиффузии анизотропных оболочек // Мат. физ. и нелинейная механика. -1991. - № 16. - C. 39-43.
- Швец Р.Н., Флячок В.М. Уравнения механодиффу-зии анизотропных оболочек с учетом поперечных деформаций // Математические методы и физико-механические поля. -1984. - Вып. 20. - С. 54-61.
- Aouadi M., Copetti M.I.M. Analytical and numerical results for a dynamic contact problem with two stops in thermoelastic diffusion theory // ZAMM Z. Angew. Math. Mech. -2015. - P. 1-24. DOI: 10.1002/zamm.201400285
- Copetti M.I.M., Aouadi M. A quasi-static contact problem in thermoviscoelastic diffusion theory // Applied Numerical Mathematics. - 2016. - Vol. 109. - P. 157-183.
- Aouadi M., Miranville A. Smooth attractor for a nonlinear thermoelastic diffusion thin plate based on Gurtin-Pipkin's model // Asymptotic Analysis. - 2015. - Vol. 95. - P. 129-160.
- Aouadi M. On thermoelastic diffusion thin plate theory // Appl. Math. Mech.-Engl. Ed. - 2015. - Vol. 3, no. 5. - P. 619-632.
- Aouadi M., Miranville A. Quasi-stability and global at-tractor in nonlinear thermoelastic diffusion plate with memory // Evolution equations and control theory. - 2015. - Vol. 4, no. 3. -P. 241-263.
- Bhattacharya D., Kanoria M. The influence of two temperature generalized thermoelastic diffusion inside a spherical shell // International Journal of Engineering and Technical Research (IJETR). - 2014. - Vol. 2, iss. 5. - P. 151-159.
- Multiple fields coupled elastic flexural waves in the thermoelastic semiconductor microbeam with consideration of small scale effects / M. Huang, P. Wei, L. Zhao, Y. Li // Composite Structures. - 2021. - Vol. 270 - P. 114104. DOI: 10.1016/j.compstruct.2021.114104.
- Kumar R., Devi S., Sharma V. Resonance of Nanoscale Beam due to Various Sources in Modified Couple Stress Thermoelastic Diffusion with Phase Lags // Mechanics and Mechanical Engineering. - 2019. - Vol. 23. - P. 36-49.
- Tarlakovskii D.V., Zemskov A.V. An Elastodiffusive Orthotropic Euler-Bernoulli Beam with Considering Diffusion Flux Relaxation // Math. Comput. Appl. - 2019. - Vol. 24, iss. 1. -23. DOI: 10.3390/mca24010023
- Zemskov A.V., Okonechnikov A.S., Tarlakovskii D.V. Unsteady elastic-diffusion oscillations of a simply supported Eu-ler-Bernoulli beam under the distributed transverse load action // Multiscale Solid Mechanics. Advanced Structured Materials. -2021. - Vol. 141. - P. 487-499.
- Кумар Р., Каушал С., Викрам. Отклик нелокальных и фазовых запаздываний на нагружения линейного типа в теориях термоупругих моментных напряжений с учетом диффузии // Изв. РАН. МТТ. - 2021. - № 4. - С. 151-164.
- Комар Л.А., Свистков А.Л. Термодинамика упругого материала с релаксирующим потоком тепла // Изв. РАН. МТТ. - 2020. - № 4. - С. 152-157.
- Kumar R., Devi S. Deformation of modified couple stress thermoelastic diffusion in a thick circular plate due to heat sources // CMST. - 2019. - Vol. 25, no. 4. - P. 167-176.
- Zenkour A.M. Thermoelastic diffusion problem for a half-space due to a refined dual-phase-lag Green-Naghdi model // Journal of Ocean Engineering and Science. - 2020. - Vol. 5, no. 3. - P. 214-222. DOI: 10.1016/j.joes.2019.12.001
- Ailawaliar P., Budhiraja S. Dynamic Problem in Thermoelastic Solid Using Dual-Phase-Lag Model with Internal Heat Source // J. of Math. Sci. and App. - 2014. - Vol. 2, no. 1. -P. 10-16.
- Формалев В.Ф. Теплоперенос в анизотропных твердых телах. Численные методы, тепловые волны, обратные задачи. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2015.
- Abbas A.I. The effect of thermal source with mass diffusion in a transversely isotropic thermoelastic infinite medium // Journal of measurements in engineering. - 2014. - Vol. 2, no. 4. -P. 175-184.
- Davydov S.A., Zemskov A.V. Thermoelastic Diffusion Phase-Lag Model for a Layer with Internal Heat and Mass Sources // International Journal of Heat and Mass Transfer. -2022. - Vol. 183, part C. - P. 122213. DOI: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2021.122213
- Крылов В.И., Скобля Н.С. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа (справочная книга). - М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1974. -224 с.
- Земсков А.В., Ле Ван Хао. Модель нестационарного изгиба балки Бернулли - Эйлера с учетом тепломассопереноса // Механика композиционных материалов и конструкций, сложных и гетерогенных сред: сборник трудов 11-й Всероссийской научной конференции с международным участием. Москва, 23 - 25 ноября 2021 г. - М.: ООО «Сам Полиграфист», 2021. - С. 280-289.
- Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. - М.: Высшая школа, 1965. - 586 с.
- Физические величины: шравочник / А.П. Бабичев, Н.А. Бабушкина, А.М. Братковский [и др.]; под общ. ред. И.С. Григорьева, И.З. Мелихова. - М.: Энергоатомиздат, 1991. - 1232 с.
