Неустойчивость скользящего контакта с покрытием на упругой подложке при наличии трения и разогрева от трения

Автор: Зеленцов Владимир Борисович, Митрин Борис Игоревич, Айзикович Сергей Михайлович

Журнал: Вестник Донского государственного технического университета @vestnik-donstu

Рубрика: Механика

Статья в выпуске: 4 (87) т.16, 2016 года.

Бесплатный доступ

Рассматривается нестационарная динамическая контактная задача термоупругости о скольжении с трением и разогревом от трения жёсткой полуплоскости по поверхности упругого покрытия, сцепленного с упругой подложкой из другого материала. Решение сформулированной начально-краевой задачи записывается в виде контурных интегралов обратного преобразования Лапласа. После изучения изолированных особых точек подынтегральных функций в комплексной плоскости переменной интегрирования решение задачи строится в виде бесконечных рядов по полюсам с добавлением интегралов по берегам разреза. Определяются границы областей устойчивых и неустойчивых решений задачи на множестве её безразмерных параметров. Изучается влияние упругости подложки на границу области неустойчивых решений задачи, а также на развитие температуры и напряжений на скользящем термофрикционном контакте.

Еще

Скольжение, контакт, трение, фрикционный разогрев, упругая подложка, динамика, термоупругая неустойчивость

Короткий адрес: https://sciup.org/14250248

IDR: 14250248   |   DOI: 10.12737/22148

Текст научной статьи Неустойчивость скользящего контакта с покрытием на упругой подложке при наличии трения и разогрева от трения

Введение. Для защиты рабочих поверхностей деталей механизмов и машин широко применяются защитные покрытия — антифрикционные, антикоррозийные, противоизносные и другие. Замечено, что при увеличении скорости функционирования механизмов и машин на скользящем контакте их поверхностей достаточно часто возникает неконтролируемый рост температур и давлений, который может привести к возникновению нештатных ситуаций, предаварийному и аварийному состоянию оборудования. В связи с этим изучение скользящего контакта рабочих поверхностей при наличии покрытий представляет как теоретический, так и практический интерес. Математическому моделированию и решению задач о скользящем контакте с учетом сил трения и разогрева от трения уделялось достаточно много внимания [1–17]. Для определения области неустойчивых решений контактной задачи — области термоупругой неустойчивости (ТУН) скользящего контакта часто применяется метод малых возмущений [1– 8], а для определения решения задач — численные методы [9, 10]. Метод интегрального преобразования Лапласа оказался наиболее универсальным методом аналитического решения задач этого класса [11–17], который не только позволяет построить точное решение задачи, но и определить область устойчивых решений задачи, совпадающую с областью ТУН скользящего контакта. В [1–5, 11–13] исследовались области устойчивых решений квазистатических задач термоупругости о скользящем контакте, а в [6, 7, 14, 17] было показано, что область устойчивых решений динамических задач является подобластью области устойчивых решений квазистатических задач. В настоящем исследовании изучается влияние упругих свойств подложки покрытия на динамику контактных напряжений и температуры при скольжении жёсткой полуплоскости по поверхности покрытия.

Постановка задачи. Рассматривается динамическая задача термоупругости в рамках плоской деформации о скольжении с постоянной скоростью V жесткой полуплоскости I (h ≤ x < ∞) по поверхности x = h упругого покрытия (0 ≤ x ≤ h) , нижняя грань x = 0 которого сцеплена с подложкой (основанием) в виде упругой полуплоскости II (-∞ < x ≤ 0) из другого материала (рис. 1). Скольжение недеформируемой полуплоскости I по поверхности упругого покрытия происходит с учетом кулоновского трения и разогрева от трения. В начальный период времени полуплоскость I деформирует упругое покрытие, смещаясь вдоль вертикали в направлении, противоположном оси x, по закону ∆(t) . Движущаяся полуплоскость I теплоизолирована, а поток тепла, образующийся за счет трения, направлен в упругое покрытие. Кроме того, на границе покрытия и полуплоскости II выполняются условия идеального теплового контакта. Начальная температура полуплоскости II, как и покрытия, равна нулю. В начальный момент покрытие и полуплоскость II находятся в покое. На бесконечности (x → -∞) в полуплоскости II смещения и напряжения исчезают.

Рис. 1. К постановке задачи термоупругости о скользящем термофрикционном контакте

Представленная задача сводится к решению дифференциальных уравнений термоупругости для покрытия (0 x h ) и подложки ( -∞ <  x 0) совместно с уравнениями теплопроводности:

2 u 1 2 u

-

x    a t

1 + ν ∂ T

= α ,0 < x < h , t > 0

1 - ν ∂ x

2 T   1 T

-

x 2    κ ∂ t

= 0, 0 < x < h , t > 0

2 u 1     1 2 u 1

-

x    a 1 t

1 + v    ∂ T

1 α 1 1

1 - v 1     x

-∞ <  x 0 , t 0

2 T 1 - 1 T 1 = 0 x 2    κ 1 t

-∞ <  x 0 , t 0

2 µ (1 ) ρ (1 - 2 ν ) ,

a 1 =

2 µ 1 (1 1 )

ρ 1 (1 - 2 ν 1 )

(0.1)

(0.2)

(0.3)

(0.4)

(0.5)

где µ — модуль сдвига, ρ — плотность, ν — коэффициент Пуассона, α — коэффициент линейного теплового расширения, κ — коэффициент температуропроводности, a — скорость продольной упругой волны, u ( x , t ) , T ( x , t ) — функции распределения смещений и температуры в покрытии (без индекса). Индексом 1 отмечены соответствующие параметры µ 1 , ρ 1 , v 1 , α 1 , κ 1 , a 1 , u 1( x , t ) , T 1( x , t ) подложки.

Граничные условия для дифференциальных уравнений (0.1), (0.2) на верхней поверхности покрытия x = h принимаются в форме:

механическое:

u ( h , t ) = -∆ ( t ) t > 0

(0.6)

температурное:                               K ^(^’ t ) =- fV с ( h , t ) t >  0                                         (0.7)

d x

Условие (0.7) означает, что величина потока тепла в покрытие пропорциональна работе сил трения на контакте V т , где т = f с ( h , t ) — касательные напряжения на поверхности покрытия, А ( t ) — закон внедрения, K — коэффициент теплопроводности материала упругого покрытия, f — коэффициент трения, с ( x , t ) — нормальные напряжения в покрытии.

На нижней поверхности x = 0 покрытия выполняются механические условия сцепления покрытия с упругой полуплоскостью II и температурные условия их идеального теплового контакта механические:                              и(0,t) = и1(0,t) c(0,t) = <^(0,t) t > 0(0.8)

температурные:                     T(0, t) = T1 (0, t) K ^(^ t) = K1    (^ t) t > 0(0.9)

dx где K1 — коэффициент теплопроводности материала полуплоскости II,

C ( x , t ) — нормальные напряжения в полуплоскости II .

На бесконечности в упругой полуплоскости II смещения и1 (x, t) и напряжения c1 (x, t) исчезают, также как и температура, то есть выполняются условия механические: и 1(-«, t) = 0, C1(-», t) = 0,               t > 0                                                         (0.10)

температурные: T1( , t ) = 0                               t >  0                                                      (0.11)

Связь между напряжениями, смещениями и температурой в покрытии и подложке определяется соотношениями Дюамеля-Неймана [18]

C x,t ) = М-Й. * - М+Й a T ( x , t )                         (0.12)

1 - 2 v 8 x    1 - 2 v

d( x , t ) = Y1 " V 1)    - Y1 + V 1) a T 1 ( x , t )                               (0.13)

1 2 V 1     d x      1 2 V 1

Начальные условия задачи на смещения, их скорости и температура нулевые:

и ( x ,0) = ^I x 0. = и ( x ,0) = d u 1( x ,0) = T ( x ,0) = T ( x ,0) = 0, А (0) = 0                      (0.14)

8 1         1                8 1                      1

Закон внедрения полуплоскости I в поверхность покрытия А ( t ) имеет активную фазу внедрения на 0 t t £ и пассивную на t £ t < « и принимается в виде

А ( t ) = А 0 [( - 1 + e s t ) H ( t ) H ( t £ - 1 ) + H ( t - 1 £ )]                                         (0.15)

где А 0 , 0 < А 0 h — глубина максимального внедрения жесткой полуплоскости I в упругое покрытие, t £ = s 1 ln2 ( s >  0) — время активной фазы внедрения, s — параметр закона внедрения, H ( t ) — функция Хэвисайда.

Таким образом, решение рассматриваемой нестационарной динамической контактной задачи термоупругости о скольжении с учетом трения и разогрева от трения жёсткой полуплоскости I по поверхности покрытия на упругой подложке в виде полуплоскости II сводится к совместному решению дифференциальных уравнений термоупругости (0.1), (0.3) совместно с уравнениями теплопроводности (0.2), (0.4) с граничными условиями (0.6) -(0.9), условиями на бесконечности (0.10) -(0.11) и начальными условиями (0.14).

Решение задачи в контурных квадратурах. Применив преобразование Лапласа к дифференциальным уравнениям (0.1) -(0.4) с учётом начальных условий (0.14), к формулам Дюамеля-Неймана (0.12) -(0.13) и граничным условиям (0.6) -(0.9), получим систему четырёх линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами относительно трансформант Лапласа искомых функций и ( x , t ), T ( x , t ). После решения системы дифференциальных уравнений относительно трансформант с учётом граничных (0.6) -(0.9) условий в трансформантах и условий на бесконечности (0.10) -(0.11) и применения к ним обратного преобразования Лапласа, получим решение задачи в виде контурных квадратур [19]

7                              ~

T ( x , t ) =---- 1--L j o ( z ) NT ( x , z ) R -1 ( z ) ezt dz t 0, 0 x h

1 + v a h 2 n i Г

N T ( x , z ) = V z to ( z ) to 1 ( z ) ( a * ch y z + Ц * sh y z ) x

х

R ( z ) = ( a * sh y z + Ц * ch y z ) to 1 ( z ) Q 1 ( z ) - Y V Q 2( z )

Q 2 ( z ) = —a*^*= ю ( z ) Ю 1 ( z ) + Ю 1 v * a * к *

I х

(0.1)

(0.2)

(0.3)

х

a

to ( z ) = 1 - Y 2 z ,

to 1 ( z ) = 1 -y j 2 к * z ,

a

a * = — , a * = — , к *

a i

a 1

к к

—, Y 1 = —г, Y = к /( ah ), V = a 1 h

к 1

fV a 2 ц (1 + v ) h K   1 - 2 v

_ (1 - v )/(1 - 2 v ) Ц * = 2 ^ 1 (1 - V 1 )/(1 - 2 V 1 )

, *

_ (1 + v )/(1 - v )          к

= , K = , I

(1 + v 1 )/(1 - v 1 )          K 1    к

h 2

~

t

—, t = —

к

t к

g ( x , t ) = -

2^М — ■ ( z ) (1 - 2 v ) h 2 n i Г ' '

N ( x z ) ez7dz R ( z )

0 x h , t 0

0                       2                 -

N a ( x , z ) = Y z ® 1 ( z ) Z G k ( x , z ) + to, ( z ) G 3 ( x , z )

(0.4)

(0.5)

G 1 ( x , z ) = -y 2 V^z ( a * ch G 2 ( x , z ) = ( a * ch ( y zxh - 1 )

+ Y 2 V 4z Цк*;

I + K * ch ( y[zxh 1 ))

l+

G з ( x , z ) = y V 7

aK

------;= to( z ) + ( * K * V z v * a *A /к*

где Г = { z : - i м + dt к , i м + dt к} — контур интегрирования в комплексной плоскости z, который представляет собой прямую линию, параллельную мнимой оси и отнесенную от нее вправо на величину dt к , в которой d подбирается таким образом, чтобы все полюсы подынтегральных функций в (0.1), (0.4) были бы левее dt к . Функция D ( z ) определяется через трансформанту Лапласа закона внедрения (0.15) и имеет вид

D ( z ) = А 0

2 e - z t вк - 1   1 - e - (z t к ) t Ек

--1-- z         z -81

к

Re z > e t t к вк

t 8 t к

(0.6)

Исследование подынтегральных функций контурных квадратур в (2.1) и (2.4) показывает, что

D ( z ) N T ( x , z ) R -1( z ) = O ( z - 1/2) при | z |

D ( z ) N a ( x , z ) R -1( z ) = O (1) при | z | ^ м                                       (0.7)

Это означает, что интеграл в (0.4) понимается в обобщенном смысле [20, 21] и для получения его регулярной части необходима регуляризация подынтегральной функции на бесконечности при | z | ^ м . Регуляризация подынтегральной функции в (0.4) производится с помощью выражения

D ( z ) ( ch y zxh - 1 + ( ц * / a * ) sh y zxh 1 )( sh y z + ( ц * / a * ) ch y z ) 1 Y z                                (0.8)

после чего формула (0.4) для g ( x , t ) принимает вид

g ( x , t )

2 ц (1 - v ) (1 - 2 v ) h

Q ( x , t ) + 1— J D ( z ) 2 n i г

N а ( x , z ) R . ( z )

~ e z dz

0 x h , t 0

(0.9)

Q ( % , t ) = A 0 - 1 t a [ z h ] qn [ a ( to - ( % , t ) ) + q A ( to + ( % , t ) ) ]                                        (0.10)

n = 1

to ± ( % , t ) = a - 1 [ at - (2 n - 1) h ± % ]

N a ( % , z ) = N 0 ( % , z ) | sh y z + — ch у z l-y zR ( z ) | ch | у z — ] + — sh | у z — | l                      (0.11)

(        a *       J ( ( h J a *    ( h ))

R o ( z ) = f sh y z + — ch y z J R ( z ), q = 1 Ц **                                  (0.12)

(         a *       J             1 + ц */ a *

Изолированные особые точки подынтегральных функций квадратур решения. Подынтегральные функции полученных квадратур (0.1), (0.9) удовлетворяют лемме Жордана-Гаусса [19], так как имеют алгебраическое убывание на бесконечности. Кроме того, подынтегральные функции в (0.1), (0.9) являются многозначными с точкой ветвления алгебраического типа z = 0. Для получения области однозначного представления подынтегральных функций в комплексной плоскости переменной интегрирования z = ^ + i n проводится разрез от точки z = 0 до точки z = -да вдоль отрицательной части действительной оси. Для вычисления квадратур методами теории функций комплексного переменного необходимо изучение всех изолированных особых точек в комплексной плоскости интегрирования. Полюсы и устранимые особые точки, если такие есть, определяются из трансцендентного уравнения

R ( z ) = 0 (0.1)

где R(z) определена в (0.3). При определении нулей R(z) численными методами в комплексной плоскости z = ^ + in необходимо хорошее нулевое приближение. Анализ уравнения (0.1) производится с помощью содержащихся в R(z) основных безразмерных параметров y и V . При произвольном y , положив V = 0, из (0.1) получим упрощенное уравнение to(z)to1(z)Q0(z)Q[ (z) = 0,                                                      (0.2)

где Q 0 ( z ) = a * sh y z + Ц * ch y z , Q [ ( z ) = д/к Т ch V z " + K * sh V z .

Нулями to ( z ) и to [ ( z ) в (0.2), а значит и в (0.1) при V = 0 являются z = Y 2 и z = Y - 2 к- 1 соответственно, которые, однако, не являются полюсами подынтегральных функций, а являются устранимыми особыми точками, так как являются нулями числителей — функций N T ( % , z ) (0.2), N a ( % , z ) (0.11).

Комплексные корни уравнения Q 0 ( z ) = 0 определяются формулой

±     1           n / Y q 0         1 -ц* / a

(0.3)

z 0 n = nln q I ± i )                         q =      ——, n = 0,1,2, -

2 y          [п ( n + 1)2 ) / y q 0          1 + ц * / a *

и так как 0 < | q | < 1, то z ± n располагаются в комплексной плоскости слева от мнимой оси, а при q = 1 — на мнимой оси.

При решении уравнения Q[ (z) = 0 в комплексной плоскости z с разрезом вдоль отрицательной части действительной оси arg(z) на верхнем листе римановой поверхности изменяется от -п до п : -п < arg(z) < п. На промежуточном этапе решения получается равенство zk

= ^ ^| + i п

к Х> 0

к + 1)2 Х< 0

1 -^/К Т / K *

1 +VK 7 / к * ’

к = 0, ± 1, ± 2, _

(0.4)

при этом Rei

; (^ ) = "2 ln| Х| 0 при д/К 7 / K * 1, а Re (V z ) = ln| Х| >  0

ни при каких ^К 7 / K * . Таким образом, V z имеет

Re (V z ) < 0

и находится во 2-ом квадранте с

п /2 arg

(V z )

< п

или в 3-ем квадранте с

п <  arg

(v z )

<-п /2. При

возведении в квадрат Vz его arg(z) должен увеличиться в 2 раза, после чего z попадает на другой лист римановой поверхности с п< arg(z) < 2п или с -2п < arg(z) <-п . Ветвь Vz выбирается на верхнем листе выполнением равенства V1 = 1. Отсюда следует, что уравнение Q[ (z) = 0 на верхнем листе римановой поверхности корней не имеет.

Таким образом, z ± n являются нулевыми приближениями для определения множества нулей z n (V) V е [0, да )

при фиксированных значениях у при численном решении уравнения (0.1). При V > 0 на верхнем листе римановой поверхности присутствуют также множества нулей Z.(V) к = 0,1,2,... , V е [Vк, Vk“], где V^, V- — значения V , при котором Z.(V) выходят с нижнего листа римановой поверхности на верхний лист (+) и обратно (-) (при фиксированных остальных параметрах уравнения).

Исходя из физического смысла величин к, a, h, параметр у = к (ah)-1 может принимать только положительные действительные значения. Отношение к/а имеет размерность длины и для большинства материалов составляет величину порядка 1-30 нм. Поэтому практический интерес представляют значения 0 < у < 1.

Расположение нулей функции R(z) (0.3) при V е [0, да) и фиксированном у = 10 2 иллюстрирует рис. 2. Цвет траектории отражает значение ц*, которому соответствует траектория (значения приведены на рисунке). Множества z± (V) n = 1, 2, 3 представляются траекториями, похожими на незаконченные эллипсы (рис. 2). Начальные точки траектории z±n = z± (0) определяются формулой (0.3). Стрелки на траекториях показывают направление перемещения mzn (V) по траектории при изменении V от 0 до да и указывают на точку сгущения, к которой стремится z± (V) n = 1, 2, 3 при V ^да. При увеличении ц*, что соответствует уменьшению жесткости подложки относительно покрытия, z±n перемещаются влево, а вместе с ними смещаются и множества z± (V), что приводит к увеличению величины V, при которой zn (V) приобретает положительную действительную часть. Следует отметить, что множества z± начинаются слева от мнимой оси, а заканчиваются в точке сгущения ck. = lim z± (V) справа (ц* = 10-5) V ^да или слева (ц* = 1, 2,1, 2,3). Дальнейшее увеличение ц* приводит к тому, что траектории нулей z± (V) оказываются полностью в левой полуплоскости, и Re(z± (V^)) < 0 при любых значениях V е [0, да).

м!т(.-)

Рис. 2. Расположение нулей функции R ( z ) (0.3) в комплексной плоскости при V е [0, да ) и различных значениях ц * (обозначены цветом)

Пары нулей z + (V) = zq (V) располагаются вблизи действительной оси и при изменении V от 0 до 7 сначала отдаляются от нее, находясь слева от мнимой оси, затем пересекают мнимую ось, после чего вновь приближаются к действительной оси уже справа от мнимой оси и при некотором V переходят на действительную ось, превращаясь в нули zq (V) и z 1 (V). Первый из них при дальнейшем увеличении V устремляется по действительной оси в точку ветвления, располагающуюся в начале координат, и покидает верхний лист римановой поверхности, в то время как второй устремляется по действительной оси в положительном направлении. При этом, чем значение ц* ближе к 0, тем более «стянутой» к началу координат оказывается вся траектория zQ(V') . Таким образом, после того, как z±(V) в первый раз пересекает действительную ось, в правой полуплоскости всегда присутствует нуль, являющийся полюсом подынтегральных функций в (Q.1), (Q.9) для T(x, t), g(x, t).

Заметим, что для zn и Z ± выполняются соотношения сопряженности z„+= z„ , Z +=Zk n,k = Q,1,2,_ (Q.5)

Таким образом, нули характеристического уравнения или определителя системы (q.1), с одной стороны, являются собственными значениями начально-краевой задачи (Q.1) -(Q.14), а с другой — полюсами подынтегральных функций контурных квадратур решения задачи в (Q.1), (Q.9).

Решение задачи. Полученные сведения об изолированных особых точках подынтегральных функций в (Q.1), (Q.9) позволяют вычислить эти интегралы методами теории функций комплексного переменного [22] и представить решения задачи — температуру и напряжения в виде функциональных рядов по полюсам подынтегральных функций и несобственных интегралов по берегам разреза

Z 2

T ( x , t ) = 1--- ^V A Q I Sk ( x , ~ ) H ( ( - 1) k ( ~ - t EK ) ) Q x h , t Q

(Q.1)

1 + v a h    k = 1

c ( x , t ) = -

1^^ A Q Q ( x , t ) + I S k ( x ,~ ) H ( ( - 1) k ( ~ - t (1 - 2 v ) h    L          k = 1

k = 1

1Ек ) ) Q x h , t Q

~ в которых t , Q(x, t) из (Q.3), (Q.1Q). Функции Sk (x, t) k = 1,2 вычисляются по формулам

S 1 ( x , t ) = G ( x , t ) + 5 1 ( x , t ), S 2 ( x , t ) = G ( x , t ) - 2 G ( x , t - 1 eK ) + 5 2 ( x , t )

G(x, t) = I [g- (z+ )K‘(z+, x, t)+ 0- (zk )K‘(zk, x, t)]+ k=Q

+ I [ g- ( z + ) k ( z + , x , t ) +g- ( z k ) K ( z - , x , t ) ]

k = Q

5 1( x , t ) = K ( e t K , x , t ) - K (Q, x ,Q) + J 1( x , t ), 5 2( x , t ) = K (Q, x ,Q) + J 2( x , t )

1 7 +                         N ( x , - i ^ , -9 N ( x , i V^ , -^ )

J ( x , t ) , 'g ©Q ( x , ^ ) d ^ , Q ( x , ^ ) = —T—/=— X— T1V —T

2 n i q                            R ( - i Д , -Z )    R ( i ТЁ , -Z )

(Q.2)

(Q.3)

(Q.4)

(Q.5)

N ( x , z )    / x

=-------- exp( zt )

R '( z )

e t к z ( z ±e t к )

K ( z , x , t ) = N ( x z ) exp( zt ), K '( z , x , t ) = R ( z )

K (Q, x ,Q) = lim N ( x z ) , G ± ( z ) = - z ^ Q R ( z )               :

В формулах (Q.5) введены обозначения

N ( x , z ) = N ( x , V z , z ) , R ( z ) = R (V z , z ) для отслеживания поведения этих функций на берегах разреза.

Области устойчивых и неустойчивых решений. Функция G ( x , t ) (Q.4) из Sk ( x , t ) (Q.3) содержит два бесконечных ряда — по z + и по Z +

G ( x , t ) = S + ( x , t ) + S - ( x , t )

(Q.1)

S + (x,t) = Ib(x,zk^ezt,    S-(x,t) = Ib(x,Z +)eZ+t k =1                                 k =Q

N ( x , z ) ( x , z ) = 0 ( z )

Если все Re ( z +)< 0 и Re ( z + ) < 0 n , к = 0,1,2, . для 0 V V 0 , то есть все z + и Z + находятся левее мнимой оси рис. 2, а при V V 0 хотя бы один из них - z + * или Z + * — находится справа - Re ( z + * ) > 0 или Re ( z + * ) > 0 , то область V S е [ 0, V 0 ] при фиксированных других параметрах ц * , у , a * , . называется областью устойчивых решений задачи, а V U е V 0 , да ) называется областью неустойчивых решений задачи. Если у одного из полюсов z + * (или Z + * ) Re ( z + * ) > 0 или Re ( z+ * ) > 0, то один из рядов в (0.1) становится расходящимся, а решение его содержащее — неустойчивым. Чтобы показать это, достаточно перестроить ряд S + ( x , t ) в (0.1) для z + * , у которого Re ( z + * ) > 0 , по формуле

S + ( x , t ) = b ( x , z + * J1 + £ Bn ( x , z k ) exp ( ( z + V к = 1

z k ) ) ) exP ( z + * t ) , B n ( x , z ) =

b ( x , z ) b ( x , z n )

из которой видно, что ряд в скобках сходится, но за счет множителя explz+*t)   lim S+ (x, t) = да и такое решение, t ^да содержащее z+*, неустойчиво.

При анализе траекторий полюсов z + и Z + n, к = 0,1,2, . , изображенных на рис. 2, при изменении V от 0 до да следует отметить, что полюса движутся по своим траекториям с разной скоростью: наибольшей скоростью среди них обладает z ( , z + или Z + ■ С увеличением V один из этих полюсов первым пересекает мнимую ось, пусть,

ˆˆ

ˆˆ

например, при V = V crit , после чего при V V crit

Re ( z + ) > 0 и решение задачи неустойчиво, независимо от того,

пересекли или нет мнимую ось другие полюса. Вывод заключается в том, что область устойчивых решений задачи V e [ o, V crit ] , область неустойчивых решений задачи — V е ( V crit, да ) при фиксированных других параметрах задачи: Y , ц * , a * , . . Полюсы Z ± к = 1,2, . имеют Re ( z ± ( V )) < 0 при V е [ 0, да ) и не образуют неустойчивых решений.

На рис. 3 представлены графики изменения границы между областью устойчивых решений (ОУР) и неустойчивых решений (ОНР) в зависимости от параметров V V , ц * , у при K * = 6,5, к * = 5, V * = 1,2, а * = 2,2, р * = 0,4, a * = ^ ц * * . При ц * ^ 0 и ц * ^ да решения задачи II неустойчивы при сколь угодно малых V 0 или V 0.

Рис. 3. Граница области устойчивых и неустойчивых решений задачи в пространстве (lg ц * , у , V )

Численный анализ решения задачи. Чтобы проиллюстрировать влияние упругих и теплопроводных свойств подложки на решение задачи, на рис. 4 а , б приведены графики температуры ( а ) и напряжений ( б ) на контакте. Графики получены при значениях параметров задачи, соответствующих покрытию из алюминия толщиной h = 2 мм. Принимались следующие значения параметров материала покрытия: μ = 25,5 ∙ 109 ГПа, ρ = 2,7 ∙ 103 кг/м3, a = 6,24 ∙ 103 м/с, ν = 0,34, K = 0,21 ∙ 103 Вт/(м ∙ К), α = 22,9 ∙ 10–6 1/К, κ = 87,4 ∙ 10–6 м/с2. Скольжение осуществляется со скоростью V = 0,15 м/с при коэффициенте трения f = 0,15. Параметры закона внедрения А( t ) (0.15): А0 = 0,01 h , v 0 =

0,05 мм/с, ε = 10 1/с, t ε = 6,93 ∙ 10–2 с. Безразмерные величины γ , V ˆ принимают следующие значения: γ = 7 ∙ 10-6, V ˆ = 1,052. При этом значения параметров подложки вычисляются через µ * , a * , K * , κ * , значения которых указаны в таблице 1. Значения остальных безразмерных параметров задачи принимаются следующими: ρ * = 0,346, ν * = 1,192, α * = 1,924 (что соответствует покрытию из алюминия на подложке из углеродистой стали).

Рис. 4. Графики напряжений p(t) = -σ(h, t) и температуры T(h,t) на скользящем термофрикционном контакте при различных значениях параметров μ , a , K , κ

Таблица 1

Значения безразмерных параметров μ , a , K , κ , использовавшиеся для построения графиков на рис. 4

Номер графика

μ*

a

*

K

*

κ

*

1

4,264 ∙ 10-19

1,110 ∙ 10-9

4,610 ∙ 10-18

6,906 ∙ 10-18

2

4,264 ∙ 10-15

1,110 ∙ 10-7

4,610 ∙ 10-14

6,906 ∙ 10-14

3

4,264 ∙ 10-13

1,110 ∙ 10-6

4,610 ∙ 10-12

6,906 ∙ 10-12

4

4,264 ∙ 10-12

3,510 ∙ 10-6

4,610 ∙ 10-11

6,906 ∙ 10-11

5

8,529 ∙ 10-12

4,964 ∙ 10-6

9,220 ∙ 10-11

1,381 ∙ 10-11

6

4,264 ∙ 10-11

1,110 ∙ 10-5

4,610 ∙ 10-10

6,906 ∙ 10-10

*

4,264 ∙ 10-1

1,110 ∙ 100

4,610 ∙ 100

6,906 ∙ 100

В последней строке таблицы приведены данные для основания из углеродистой стали (для сравнения).

Графики 1 решений динамической задачи, изображенные на рис. 4 а , б , совпадают с соответствующими графиками решений задачи для полосы на жестком основании [14]. С уменьшением жесткости основания (увеличением µ * ) величина напряжений и температуры на контакте стремительно падает, несмотря на ослабление теплопроводных качеств основания (увеличение K * ), что демонстрируют графики 2 6 рис. 4. Заметим, что на графиках 2 6 рост температуры и напряжений сменяется их убыванием сразу ( 5 , 6 ) или спустя некоторое время ( 2 , 3 , 4 ) после момента t ε окончания активной фазы внедрения жёсткой полуплоскости I в покрытие.

Графики 1 4 демонстрируют термоупругодинамически неустойчивое решение задачи, на графиках 5 6 изображено устойчивое решение. Заметим, что рост амплитуды напряжений σ( h , t ) несколько опережает рост температуры на контакте T ( h , t ).

Заключение. Исследование решения нестационарной динамической контактной задачи термоупругости о скользящем контакте с учётом трения и разогрева от трения жёсткой полуплоскости с поверхностью упругого покрытия на упругой подложке из другого материала показывает, что основное влияние на напряжения и температуру на контакте в первую очередь оказывают механические характеристики покрытия и подложки, и только во вторую очередь — температурные.Границы области устойчивости также наиболее существенным образом зависят от механических характеристик контакта и в первую очередь от отношения жёсткостей покрытия и подложки — параметра µ * . При приближении µ * к единице ( µ * 1 ) ширина области устойчивых решений в плоскости µ *, V ˆ принимает наибольшее значение, тогда как при µ * 0 или µ * → ∞ ширина области уменьшается до сколь угодно малой величины.

Правильный подбор материалов покрытия и подложки на этапе конструирования триботехнических устройств позволяет улучшить их эксплуатационные характеристики, практически исключить возможность возникновения термоупругодинамической неустойчивости и обеспечить безаварийную эксплуатацию триботехнических устройств.

Список литературы Неустойчивость скользящего контакта с покрытием на упругой подложке при наличии трения и разогрева от трения

  • Dow, T. A. Thermoelastic instability of sliding contact in the absence of Wear/T. A. Dow, R. A. Burton//Wear. -1972. -Vol. 19, no. 3. -P. 315-328.
  • Burton, R. A. Thermoelastic instability in a seal-like configuration/R. A. Burton, V. Nerlikar, S. R. Kilaparti//Wear. -1973. -Vol. 24, no. 2. -P. 177-188.
  • Barber, J. R. Stability of Thermoelastic Contact for the Aldo Model/J. R. Barber//J. Appl. Mech. -1981. -Vol. 48, no. 3. -P. 555-558.
  • Моров, В. А. Термоупругая неустойчивость фрикционного контакта штампов с полупространством/В. А. Моров, И. Н. Черский//Трение и износ. -1985. -Т. 6, № 1. -С. 27-38.
  • Ciavarella, M. Interaction of thermal contact resistance and frictional heating in thermoelastic instability/M. Ciavarella //Int. J. Solids Struct. -2003. -Vol. 40, no. 21. -P. 5583-5597.
  • Afferrante, L. Sliding thermoelastodynamic instability/L. Afferrante, M. Ciavarella, J. R. Barber//Proc. R. Soc. A Math. Phys. Eng. Sci. -2006. -Vol. 462, no. 2071. -P. 2161-2176.
  • Afferrante, L. A note on thermoelastodynamic instability (TEDI) for a 1D elastic layer: Force control/L. Afferrante, M. Ciavarella//Int. J. Solids Struct. -2007. -Vol. 44, no. 5. -P. 1380-1390.
  • Mao, J.-J. Thermoelastic contact instability of a functionally graded layer and a homogeneous half-plane/J.-J. Mao, L.-L. Ke, Y.-S. Wang//Int. J. Solids Struct. -2014. -Vol. 51, no. 23-24. -P. 3962-3972.
  • Yi, Y.-B. Effect of convective cooling on frictionally excited thermoelastic instability/Y.-B. Yi, A. Bendawi//Wear. -2012. -Vol. 296, no. 1-2. -P. 583-589.
  • Yi, Y.-B. Finite element analysis of thermoelastic instability in intermittent sliding contact/Y.-B. Yi //J. Therm. Stress. -2014. -Vol. 37, no. 7. -P. 870-883.
  • Слоновский, Н. В. О термоупругой устойчивости при трении скольжения/Н. В. Слоновский//Прикладная математика и механика. -1969. -Т. 33, № 1. -С. 117-121.
  • Пырьев, Ю. А. Анализ устойчивости термоупругого контакта в трибосистеме типа радиальных уплотнений цилиндра/Ю. А. Пырьев, Ю. И. Мандзик//Трение и износ. -1996. -Т. 17, № 5. -С. 621-628.
  • Евтушенко, А. А. Влияние изнашивания на развитие термоупругой неустойчивости фрикционного контакта/А. А. Евтушенко, Ю. А. Пырьев//Известия РАН. Механика твердого тела. -1997. -№ 1. -С. 114-121.
  • Зеленцов, В. Б. Термоупругодинамическая неустойчивость решения контактной задачи для покрытия с учетом тепловыделения от трения/В. Б. Зеленцов //Вестник ДГТУ. -2014. -Т. 14, № 4. -С. 17-29.
  • Zelentsov, V. B. Instability of solution of the dynamic sliding frictional contact problem of coupled thermoelasticity/V. B. Zelentsov //Mater. Phys. Mech. -2015. -Vol. 23. -P. 14-19.
  • Зеленцов, В. Б. Неустойчивость скользящего термофрикционного контакта жесткого тела с упругим покрытием, содержащим пьезокерамическую прослойку/В. Б. Зеленцов //Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. -2015. -№ 4. -С. 52-60.
  • Зеленцов, В. Б. Динамическая и квазистатическая неустойчивость скользящего термофрикционного контакта/В. Б. Зеленцов, Б. И. Митрин, С. М. Айзикович//Трение и износ. -2016. -Т. 37, № 3. -С. 280-289.
  • Новацкий, В. Вопросы термоупругости/В. Новацкий. -Москва: Изд-во АН СССР, 1962. -363 с.
  • Диткин, В. А. Интегральные преобразования и операционные исчисления/В. А. Диткин, А. П. Прудников. -Москва: Физматлит, 1961. -524 с.
  • Виленкин, Н. Я. Функциональный анализ/Н. Я. Виленкин ; под ред. С. Г. Крейна. -Москва: Наука, 1964. -425 с.
  • Брычков, Ю. А. Интегральные преобразования обобщенных функций/Ю. А. Брычков, А. П. Прудников. -Москва: Наука, 1977. -288 с.
  • Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики/А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. -Москва: Наука, 1977. -735 с.
Еще
Статья научная