Нормализованная RBF-сеть для обратной кинематики: учет многозначности и локальное уточнение DLS
Автор: Полещук Ф.А., Соколов С.В.
Журнал: Труды Московского физико-технического института @trudy-mipt
Рубрика: Механика
Статья в выпуске: 1 (69) т.18, 2026 года.
Бесплатный доступ
Представлен практический метод решения задачи обратной кинематики шестизвенного манипулятора на основе нормализованной радиально-базисной сети (RBFN). Подход обеспечивает постоянное время вывода и устойчивость вблизи запястных сингулярностей благодаря четырём компонентам: (i) кодирование круговых суставов [sin в, cos 0] устраняет разрывы при переходах через ±я; (ii) облегчённая схема разделения по режимам обратной кинематики (отражение запястья / без отражения) выбирает решение по ошибке в рабочем пространстве; (iii) несколько шагов уточнения методом демпфированных наименьших квадратов (DLS) позволяют скорректировать положение рабочего органа без тяжёлых итерационных процедур; (iv) смещение по запястью при формировании обучающих данных повышает полноту выборки в области J5 « 0°. Формализована непрерывность ветви решения обратной кинематики на компактных множествах; показано, что нормализованная радиально-базисная сеть равномерно аппроксимирует такую ветвь. Эксперименты на упрощённой модели KUKA KR200/2 подтверждают высокую точность и плавность траекторий без скачков ориентации; приведён анализ влияния числа центров, числа локальных моделей и величины смещения.
Обратная кинематика, радиально-базисная сеть, разделение по режимам, демпфированные наименьшие квадраты, робототехника
Короткий адрес: https://sciup.org/142247868
IDR: 142247868 | УДК: 681.5
RBFN-based inverse kinematics with mode gating and DLS refinement
A practical 6-D0F inverse kinematics solver based on a normalised radial basis function network (RBFN) is proposed. The method provides constant-time inference and robustness near wrist singularities through four key components: (i) [sin в, cos d| encoding removes discontinuities for circular joints; (ii) a lightweight mode selection scheme distinguishes wrist-flip and non-flip configurations using workspace error; (iii) several damped least-squares (DLS) iterations refine the end-effector pose; (iv) wrist-biased data sampling improves coverage near J5 « 0°. We formalise the continuity of the inverse-kinematics branch on compact domains and show that a normalised RBFN uniformly approximates it. Experiments on a simplified KUKA KR200/2 confirm accurate, flip-free trajectories and include ablations over centres, experts, and bias strength.
Текст научной статьи Нормализованная RBF-сеть для обратной кинематики: учет многозначности и локальное уточнение DLS
Задача обратной кинематики заключается в определении вектора суставных координат О G R” по заданной позе рабочего органа х. Классические итерационные методы (псевдообратный оператор, DLS) обеспечивают высокую точноств, но требуют переменного времени вычисления и теряют устойчивость вблизи сингулярных положений запястья [1]. Нейросетевые аппроксиматоры на базе RBF [2, 3] позволяют реализовать фиксированную вычислительную сложность и обеспечивают переносимость между различными роботами, однако сталкиваются с многозначностью решения и круговой природой отдельных суставов (скачки углов J4/J6 на ±л, см. также обсуждение кватернионов [5, 6]).
В работе предложена единая схема RBFN-IK: нормализованная радиально-базисная сеть с адаптивными ширинами, кодирование [sin в, cos в], разделение по режимам по workspace-ошибке, локальное уточнение методом DLS [7, 8] и смещение по запястью при генерации данных.
Пусть х = [pT, qT]T G R7, г де p G R3 — позиция, q G S3 — кватернион ориентации (канонизация по знаку, w ^ 0 [6]). Требуется аппроксимировать одну ветвь отображения д : 8 С R7 ^ 0 С R6, О « д(х), (1)
где 8 — компакт, исключающий точки ветвления и сингулярные множества.
Для суставов j G {4, 6} применяется кодирование dj н [sin dj , cos в j ]; обратное восстановление выполняется через atan2 с приведением к диапазону (-л, л] (см. также метрику ориентации в [5]).
Пусть заданы т пентров {еД^ и ширииы {Д}. Для стандартныхровашюго входа х:
^( Х ) = ехр(-Д|| Х - е.Д |2), Д = ^^—;, ^ = [Д,...,^™, 1]т.
j=i ^j
Параметры линейного выхода находятся в замкнутой форме методом гребневой регрессии:
Дх1)Т
1У = (ФТФ + XI )-1 ФТУsincos,
ф =
^(XN )Т
Использование (2) стандартно для RBF-регрессии [3 4].
3.2. Выбор центров и ширин
Центры выбираются методом ^-средних [9, 10] или случайным подмножеством точек; ширины — из локального масштаба:
д = А, ^ = у Е IIе* - cj 112, i Н^к (i)
что обеспечивает адаптивную гладкость аппроксимации.
3.3. Разделение по режимам
Обучаются К локальных моделей (локальные эксперты а 1а МоЕ [11]) {gk }k=i с разными наборами центров и ширин. На этапе вывода выбирается модель с минимальной стоимостью
Ck = Wp • 103 • IIPк - p^2 + wo Z(qк, q)deg + w^wrap^k - 0prev)||2, где (Pk, qk) = ЕК(вк) а угол между кватернионами считается как 2arccos(|(qk, q)|) [5].
3.4. Локальное уточнение методом DLS
Для выбранного начального приближения во выполняются Т шагов (см. обзор [8], практику [1]):
e =
Pt - P
^(R^Rt)
А в = (Jт J + А2/) 1 J т е , в ^ clipqlim(wrap( в + А в )).
Здесь ш0 — вектор, соответствующий логарифму на 50(3) (vee-оператор) [5].
-
4. Алгоритм и вычислительная сложность
Алгоритм инференса:
1) Вход: x = [p, q], (пеобяз.) eprev.
2) Для каждого эксперта k: вк = gk(x), затем (pk, qk) = ЕК(вк) и £k.
3) Выбрать fc = arg min £k, поло жить во = dt. к
4) Выполнить Т шагов DLS, получить в*.
5. Экспериментальная валидация
Сложность. База RBFN: O(md + mn) на эксперта (d=7, n=6) [3]. МоЕ умножает на. К [11]. DLS добавляет Т итераций решения nxn СЛАУ [1]. Для m G [80, 300]. К ^ 3. Т ^5 задержка — миллисекунды на CPU.
Робот. KUKA KR200/2 (6 DoF). Диапазоны: J1..6 : ±45°.
Данные.
Семплирование в пространстве суставов в пределах qlim\ через FK получаем x. Wristbias: доля 0.35 примеров с J5 ~W (0, (6°)2), затем об резка по qlim. Сплиты: train/val/test = 4000/1000/1000.
Как видно на рис. 1, центры охватывают рабочее пространство.
Обучение.
Центры — k-means [9. 10]: ширины — по локальному масштабу (Кух=5): гребневая регрессия (2) е А = 10-3. Для МоЕ: К =2 эксперта.
Метрики.
Средняя абсолютная погрешность суставов (град), среднеквадратичная ошибка по положению RMSE (мм), средняя абсолютная погрешность ошибка по ориентации МАЕ (град) по геодезической метрике кватернионов [5].
Рис. 1. Облако позиции (train)
и центры RBF (эксперт в МоЕ)
6. Результаты и абляции
Результаты экспериментов приведены в табл. 1, а зависимости ошибок на рис. 2, 3.
Т аблица!
Рис. 2. Кривая обучения линейного выхода
Рис. 3. Абляция по числу центров т (валидация)
Лучшие конфигурации
|
Модель |
Joint МАЕ, ° |
Pos RMSE, мм |
Ori МАЕ, ° |
|
МоЕ + DLS (3 эксперта) |
2.42 |
0.074 |
0.547 |
|
МоЕ + DLS (2 эксперта) |
3.369 |
0.097 |
0.562 |
|
МоЕ (8 эксперта) |
5.839 |
43.222 |
5.575 |
|
Single RBFN |
6.847 |
84.679 |
5.899 |
7. Анализ ошибок и траекторий
Распределения ошибок по позиции и ориентации показаны на рис. 4 и 5, а распределение ошибок по суставам и траектория движения на рис. 6 и 7 соответственно.
Рис. 4. Распределение ошибок по позиции (мм) Рис. 5. Распределение ошибок по ориентации на тесте (град) на тесте
Рис. 6. Ошибки по суставам на тесте
Рис. 7. Траектория суставов (МоЕ; w^ > 0 подавляет wrist-flip)
8. Заключение
Предложена переносимая, быстрая и устойчивая схема IK на базе нормализованной RBFN с МоЕ-гейтингом, кодированием круговых суставов и локальным DLS-уточнением.
