Нормальные расширения полугрупп и вложения полугрупповых C*-алгебр

В статье рассматриваются нормальные расширения абелевых полугрупп с сокращением и редуцированные полугрупповые С *-алгебры для этих полугрупп.

Редуцированная полугрупповая С *-алгебра - это алгебра, порожденная левым регулярным представлением полугруппы с сокращением. Изучение таких С *-алгебр было начато в работах Кобурна. [1], Дугласа. [2] и Мерфи [3]. Свое дальнейшее развитие теория полу-групповых С *-алгебр получила в статьях ряда авторов (см. ссылки, например, в [4]).

В категории полугрупп, как и в других категориях (см., например, [5]), расширения играют важную роль при изучении свойств объектов и морфизмов. В исследованиях по полугруппам рассматриваются различные виды расширений. В работе Клиффорда. [6] изучались идеальные расширения. В статье Редей [7] были введены шрайеровы расширения. Нормальные расширения были рассмотрены в работах Глускина и Перепелицына. [8,9].

Данная статья является продолжением исследований редуцированных полугрупповых С *-алгебр, начатых в [10-16]. В ней изучаются полугрупповые С *-алгебры для двух полугрупп S и L, таких, что L является нормальным расширением S с помощью конечной группы вычетов Z_n по модулю п При этом рассматривается частный случай нормальных

расширений полугруппы S, а именно так называемые расширения, порожденные одним элементом полугруппы L. Основным результатом статьи является теорема о вложении редуцированной полугрупповой С *-алгебры для S в аналогичную алгебру для полугруппы L. Этот результат был анонсирован без доказательства в совместной работе [17, теорема 3].

Содержание статьи следующее. Она состоит из Введения и еще трех разделов. Во втором разделе приводятся необходимые сведения о нормальных расширениях полугрупп. В третьем разделе рассматриваются нормальные расширения полугрупп, порожденные одним элементом. В заключительном четвертом разделе строится вложение полугрупповых С *-алгебр. Необходимые сведения из теории С *-алгебр содержатся, например, в [18].

2.    Нормальные расширения полугрупп

Пусть S, L и М - абелевы аддитивные полугруппы с сокращением и нейтральными элементами, которые будут обозначаться символом 0.

Напомним определения, связанные с расширениями полугрупп [8,19]. Все определения приведем для абелевых аддитивных полугрупп.

Тройка ( L,t, с) называется расширением полугруппы S с помощью полугруппы М, если т : S —> L - инъективный гомоморфизм полугрупп, ас : L —> М - сюръективный гомоморфизм полугрупп, такие, что т(S ) является полным прообразом некоторого элемента полугруппы М.

Иногда мы будем называть саму полугруппу L расширением полугруппы S с помощью полугруппы М. В литературе также можно встретить другую терминологию, в которой полугруппа L называется расширением полугруппы М с помощью полугруппы S.

Расширение (L, т, о) полугруппы S с помощью полугруппы М называется нормальным, если т(S ) является полным прообразом не!гтралыюго элемента полугруппы М. то есть с^-1(0)= т (S ).

Другими словами, всякое нормальное расширение задается короткой точной последовательностью, состоящей из полугрупп и их гомоморфизмов:

0 ---> S ——■ L -—— М ---> 0.

Полугруппа S называется нормальной в L, если т(S ) - нормальная подполугруппа в L, то есть для любых а Е S и х Е L, если х + т (а) Е т (S), т ох Е т (S).

Понятия нормального расширения и нормальной полугруппы тесно связаны. А именно, имеет место следующее утверждение [19, теорема 4.11]. Расширение (L, т, с) полугруппы S является нормальным тогда и только тогда, когда S является нормальной в L.

Отношение эквивалентности ~ нa L называется конгруэнцией, если оно стабильно, то есть для любых x,у,z Е L, если х ~ у,то х + z ~ у + z. В этом случае на фактор-множестве L/^ можно задать структуру полугруппы. Отношение конгруэнции на L задается с помощью сюръективного гомоморфизма о : L —> М следующим образом: для любых х,у Е L положим х ~ у, если и только если с(х) = с(у). Тогда, согласно [20, теорема 1.5], существует изоморфизм ф : Ь/^ —> М, такой, что ф о я = о, где тг : L —> L/^ - канонический гомоморфизм, то есть существует коммутативная диаграмма:

L

L/~ ,v М ■

Таким образом, если тройка ( L,t, о) является нормальным расширением полугруппы S с помощью полугруппы М, то, нестрого говоря, L является «большой» полугруппой, содержащей нормальную подполугруппу, которую можно отождествить с S, и М можно отождествить с фактор-полугруппой по конгруэнции на L, заданной с помощью эпиморфизма о.

Стандартный вопрос в теории расширений следующий. Предположим, нам все известно о полугруппах S и М . Что мы можем сказать о полугруппе L?

Пусть Z_n = Z/nZ - аддитивная группа вычетов по модулю п. Элементы группы Z_n мы будем обозначать символами

[0]п, [1]ги ■"> [п 1]п.

В дальнейшем будут рассматриваться нормальные расширения полугрупп с помощью конечной группы Z_n, то есть полугруппы L и S, для которых задана короткая точная последовательность

0 ----> S -—^ L ——— Z« ----> 0.                  (1)

Отметим, что если ( L,t, a) - нормальное расшпрение полугруппы S с помощью группы Z_n, то полугруппа L представляется в виде дизъюнктного объединения подмножеств

L = т (S) U Li U ... U L«—i,                                  (2)

таких, что каждое подмножество L^ является полным прообразом элемента [k"]_n Е Z_n, то есть a^-1([k]_n) = L, 1 <  k < п — 1.

3.    Нормальные расширения полугрупп, порожденные одним элементом

Рассмотрим нормальное расширение ( L,t, а) полугруппы S с помощью группы Z_n, то есть короткую точную последовательность (1).

Зафиксируем некоторый элемент ж Е L \ т (S), такой, что а(ж) = [m]_n, и чпела п и m взаимно просты. Обозначим через L_x подполугруппу в L, порожденную элементом ж и всеми элементами из т (S).

Лемма 1. Полу группа L_x является нормальным расширением полугруппы S с помо-ш,ью группы Z_n.

Доказательство. Поскольку т (S) С L_x С L, то существует вложение т : S —> L_x. Пусть a_x : L_x —> Z« - полугрупповой гомоморфизм, такой, что a_x(y) = а(у) для любого у Е L_x. Так как а(ж) = [m]_n, где m Е N, 1 — 1, то стДж) = [m]_n.

Докажем, что a_x - сюръекция. Для этого покажем, что для любого натурального числа k. удовлетворяютего неравенству 1 <  k < п — 1. найдется патт'ралыюс число I. такое, что ст_x(Zж) = [k]_n, или, что эквивалентно,

[Zm]„ = [k]„.

Действительно, так как п и m взаимно простые, то существуют а,З Е Z, такие, что am + Зп = 1.

Если a > 0, то [akm]_n = [k]_n. Тогда для I = ak получаем требуемое равенство. Если a <  0, то [— а(п— k)m]_n = [— (п— k)]_n = [k]_n. Тогда при I = — а(п—k) получим требуемое равенство. Осталось заметить, что стДпж) = [nm]_n = [0]«. Таким образом, a_x - сюръекция.

Наконец, поскольку ст^-1([0]_п) = т(S ) С L_x, то и (a_x)^-1([0]_n) = т(S) Таким образом, короткая последовательность

0 ---> S —— Lx -—^ Z_Tl ---> 0

является точной, то есть (L_x,T,a_x ) - нормальное расширение. □

Далее вместо a_x будем писать просто а. Тройку (L_x,T, а) или саму полугруппу L_x мы будем называть нормальным расширением полугруппы S, порогмеденным элементом ж.

Лемма 2. Пусти Г_ж - нормальное расшпрение полугруппи S с помоглию группи Z_n, порожденное элементом х. Тогда пх Е т(S ) и каэюдий элемент у Е Г_ж однозначно представляется в виде у = т(а) + кх, где а Е S , 0 <  к < п — 1.

Доказательство. Пусть т Е N, 1 <  т <  п — 1, такое, что ст(х) = [т]_п. Тогда ст(пх) = [пт]„ = [0]„. Это означает, что пх Е т(S ). Поскольку Г_ж порождается элементом х и всеми элементами из т(S ), то каждьш элемент у Е Г_ж записывавтся в виде у = т (а) + кх. Покажем однозначность такой записи. Действительно, пусть т (а) + кх = т (с) + Гх. Если к = I, то а = с. Пусть к = Г. Условие ст(кх) = ст(1х) эквивалентно тому, что [кт]_п = [Гт]_п. Тогда в случае, если к > Г, мы имеем равенство [(к — Г)т\_п = [0]„. Оно означает, что число (к — Г)т кратно п. Но это невозможно, поскольку числа пит взаимно просты и выполняется неравенство 0 < к — Г < п — 1. □

Из леммы 2 вытекает, что дизъюнктное объединение (2) для полугруппы Г_ж имеет следующий вид:

Т_ж = т(S) U (т (S) + х) U ... U (т(S ) + (п — 1)х),                      (3)

где т (S) + кх := {т(а) + кх | а Е S}. 0 < к < п — 1.

Приведем пример нормального расширения, порожденного одним элементом.

Пример. Пусть Z+ - полугруппа всех неотрицательных целых чисел. Рассмотрим короткую последовательность:

0 -----> Z+       - Z+ \ {1} ———^ Z3 -----> 0, где т(к) = 3к, ст(т) = [т]з для любых к Е Z+ и т Е Z+ \ {1}. Очевидно, что справедливо равенство ст-1([0]п) = т(Z+), то есть построенная короткая последовательность точна. Полугруппа Z+ \ {1} представляется в виде (3):

Z⁺ \ {1} = т (Z⁺) U (т(Z⁺) +2) U (т(Z⁺) + 2 • 2).

Таким образом, расширение (Z+ \{1}, т, ст) является нормальным расширением полугруппы Z+ с помощью группы Z3. порожденным элементом х = 2.

4.    Полугрупповые С*-алгебры C*(S) и С*(Ьж)

Пусть Р - произвольная абелева аддитивная полугруппа с сокращением. Рассмотрим гильбертово пространство квадратично суммируемых комплекснозначных функций на Р:

Г2(Р ):= {/ :Р ^ C | £|/(₇)|²< х .

7 Е Р

Канонический ортонормированный базис гильбертова пространства Г2(Р) мы будем обо- зиа.чать {е7 | 7 Е Р}. где е7(7‘) := |

1 ,

0 ,

соли 7 = 7’;

соли 7 = 7’.

Пусть С * (Р ) - редуцированная полугрупповая С *-алгебра, т.е. С *-подалгебра в алгебре всех ограниченных операторов В(Г2(Р )) на Г2(Р ), порожденная множеством изометрий ^{Т₇ | 7 ^{Е Р}}. где Тт ⁽е₇‘) = е₇+₇‘. 7,7' ^{Е Р}

Пусть (Г_ж,т, ст) - нормальное расширение полугруппы S с помощью группы Z_n, порожденное элементом х. Рассмотрим С *-алгебры C*(S) и С * (Г_ж ), которые порождаются множествами {Т’а | а Е S} и {Т_у | у Е Г_ж} соответственно. Единичные элементы этих алгебр будем обозначать через I.

По лемме 2 каждый элемент у Е Г_ж может быть однозначно представлен в виде у = т(а) + кх, где а Е S, 0 < к < п — 1. Очевидно, что справедливо равенство

к ту    Тт(а)+кх    Тт(а)тх *

Таким образом, С *-алгебра C*(L_х) порождается множеством изометрий {Т_т (_а) | а G S } и одним изометрическим оператором Т_х.

Операторы Т_а,Т*,а G S, порождающие С *-алгебру C*(S), будем называть элементарными мономами. Любое конечное произведение элементарных мономов будем называть мономом. Множество всех мономов образует инволютивную полугруппу, которую мы будем называть полугруппой мономов и обозначать через Mon⁵.

Произвольный моном V⁵ G Mon⁵ представляется в виде

V 5

= Т * Т*”^-1... Т*¹. а„ а„-1     <11 ’

где а і , ...,а_п G S, г_ъ ..Д п G {0,1} и Т^. : = Т_а., Т^ : = Т^..

Отметим, что представление оператора в С *-алгебре С * (S ) в виде монома (4) неоднозначно. Например, два монома Т_аТ*ТД С и Т_а+_С представляют один и тот же оператор в С *-алгебре C*(S ). поскольку Т*Т ъ = I.

Конечные линейные комбинации мономов

р

A^s = ^aV /f                           (5)

* =1

образуют плотную инволютивную подалгебру в С *-алгебре C*(S), которую будем обозначать Р (S ).

Аналогично, в инволютивной полугруппе мономов С *-алгебры C*(L_х) имеется подполугруппа Mon^T(5), каждый элемент которой представляется в виде

V^т ( 5 ) =Т *^п ,Т * ^п- 1 ....Т * 1 „                                   (6)

т ( а п) T ( а п- 1 ) T (11)’                                                V 1

где О 1 , ...,а„ G S, гу, ...,г_п G {0,1} и Т^. ) := Т т ( а . ), Т 1 ₍ ) := Т^. ). А в плотной инволютивной подалгебре Р ( L _x ) в С *-алгебре C*(L_х) имеется подалгебра Р(т(S )), каждый элемент которой представляется в виде

р

A^{T (5)} = ^a*V*^{T (5)}.                                    (7)

* =1

Используя разложение (3), представим гильбертово пространство t²(L_x) в виде ортогональной суммы своих подпространств:

п — 1

^²(L.) = фн_к,                                  (8)

к =0

где для каждого к, 0 <  к <  п — 1, подпространство Н к определяется множеством базисных функций { Ct ( а ) + кх | а G S }.

Лемма 3. Для каэюдого к, 0 < к < п — 1, и для любого а G S подпространства Нк инвариантны относительно операторов Т_т(_а), а следовательно, они инвариантны относительно мономов V^T(5) G Mon^T(5) и конечных линейных комбинаций A^T(5) G Р (т(S)).

Доказательство. Действительно, вычислим Т_т(_а) на базисных векторах е_т (_С)+^_ж G Н_к, ГД⁶ С ^{G S}- ПолуЧИМ Д- ( а )^е т ( с )+ кх — ^е т ( а + с )+ кх ^{G Н} к- □

Как отмечено во введении, следующая теорема была сформулирована автором без доказательства в [17, теорема 3]. Ниже приводится доказательство этого результата.

Теорема. Пусть ( L _x ,t,o) - нормальное расширение полугруппы S с помогцью группы Z_n, поромсденное одним элементом. Тогда существует единственный унитальный изометрический *-гомоморфизм ф : C*(S) —> C*(L_х), такой, что диаграмма

C * (S )

S

р

С* ( L x )

коммутативна, то есть справедливо равенство у о тг = р, где тг ( а ) = Т_а и р(а) = Т_т ( _а ) для любого а Е S .

Доказательство. Рассмотрим гильбертово пространство 1²(L_X) и его подпространства Нк, 0 <  k < п — 1, из разложения (8). Напомним, что ортогональным базисом пространства Н к является множество {в_т(_а)+ к _х \ а Е S }. Ортогональным базисом пространства 1²(S) является множество {в_а \ а Е S}.

Для каждого к, 0 <к < п — 1, построим унитарный оператор:

U k : 12^(S)  >  ^Н к ^{: в} а ^ ^в т ( а )+ кх .

По лемме 3 подпространства Н к инвариантны относительно операторов Т_т(_а) для любого а Е S. Следовательно, каждый оператор Т_т(_а) можно представить в виде прямой суммы операторов

П- 1 ^Т ( а ) = ф Т . к =0

m ( к )

где Тт ( а ) = Т_т ( _а ) |п_к^_ ограничение оператора Т_т(_а) на подпространство Нк.

Аналогично, каждый моном V^т(5) Е Моп^{т (5)} и каждый оператор А^т(5) Е Р(т (S)) можно представить в виде

_V т ( 5 ) = ф(^ ( 5 ))( к ), к =0

п — 1

Ат (⁵) = ^ф ( Ат (⁵))(^к), к =0

где (V^т(5))^(к) = V^{т (s)}| н_к, (А^т(5))^(к) = А^{т (5)} \ н _к ^ соответствующие ограничения на подпространство Нк-

Покажем, что для любого к, 0 <  к < п — 1, диаграмма

1²(S )---------- ^1 ²( S )

и _к

Н к

гр (у ^т (а)

и _к

V

Н к

коммутативна, то есть справедливо равенство для операторов

Т^ к = и к Т а .                          (10)

Действительно, для любого с Е S имеем равенства

Т⁽ к ))и к е_с = Т^к^вт ( с )+ кх = в т ( а )+ т (О+ кх = и кв^е = и_кТ_а в_с.

Применив инволюцию к равенству (10), легко видеть, что также справедливо равенство

( Тт* ( а ) ) ^(к)ик = и к Т*.

(И)

Используя равенства (10) и (11), мы получаем, что аналогичное равенство справедливо как для мономов вида (4) и (6):

(V^ ⁽⁸⁾)^(к)и к = ( Тт

п

^(ап )

) ^(к) (^ТХ ₁ ) ) ^(к)- (^ТХ ) ) ^(к)ик =

= и^Т)пТ)п-1 ...Т= UfcVs ап ап-1

так и для конечных линейных комбинаций вида (5) и (7):

рр

(Ат(5))(к)ик = £а^(^т(5))(к)ик = ^aiUkV^f = икА5.

г=1

Далее мы определим гомоморфизм ф. Для этого сначала зададим его значения на образующих С *-алгебры C * (S) формулами

ф(Та) = т_{т н}, ф^а^ т^-

Затем продолжим ф на мономы V⁵ = Т ^ " ТіП—1 ...ТО) Е Mon⁵ по формуле

ф(V^s) = V^{т (5)} = Т Д Л ^г"- 1 ,...Т^г1 _v т ( a n ) т ( а _п- 1 )      т (ai)

Докажем корректность такого продолжения. То есть если два различных монома V⁵ и V^ F задают один и тот же оператор на 1²(S ), то и К^⁽⁵⁾ = ф( V⁵), и V^⁽⁵⁾ = y(V₂⁵) также задают один и тот же оператор на 1²(L_x).

т (5)           т ( 5 )

Пусть Vj⁵е_с = V 5 е_с для лтооого с Е S. Покажем, что тогда и Vj ^v Ф, = V2 ^v Ф, для любого у Е L_x. По лемме 2 элемент у Е L_x представляется в виде у = т (с) + кх для некоторых с Е S к к, 0 <  к < п — 1. Тогда, используя равенство (12), мы получаем следующую цепочку равенств:

Vf ⁽⁵⁾е_у = (Vf ⁽⁵⁾)^(к)е_т ( с )_+к х = (К ⁽⁵⁾)^(k)U_k е с = UkV⁵ е с = UV е с =

= (V2^T(5))^(k)U k е с = К ⁽⁵⁾)^(к)е_т ( с )+ кх = V2^{т (5)} е,.

Таким образом, имеем требуемое равенство V^⁽⁵⁾ = V^⁽⁵⁾.

Наконец, продолжим отображение ф по линейности на конечные линейные комбинации Р мономов А5 = ^ aiV-5 Е Р(S): г=

Р               Р

Ф(А⁸ ) = £о_гф(Қ⁵) = ^^⁽⁵⁾ = А^т(5).

г =1               г =1

Корректность этого продолжения показывается аналогично, как и для мономов, с помощью равенства (13).

Нетрудно видеть, что ф является унитальным *-гомоморфизмом на *-подалгебре Р(S ).

Ввиду равенства (9) и (13), каждый оператор Ат(5) может быть представлен в виде п—1

А^т(5) = ф U k A⁵U k .

к =0

Следовательно, имеется равенство для норм ||А^т(5)^ = ||А⁵1|, и *-гомоморфизм ф является изометрическим на плотной в C*(S) инволютивной подалгебре Р(S ). Таким образом, ф продолжается по непрерывности на вето С *-алгебру C*(S) и является унитальным изометрическим *-гомоморфизмом С *-алгебр. Единственность указанного гомоморфизма очевидна. □

Работа выполнена за счет средств субсидии, выделенной Казанскому федеральному университету для выполнения государственного задания в сфере научной деятельности, проект № 1.13556.2019/13.1.