Новые аналитические решения для задач колебания толстых пластин

Точные решения задач колебаний и устойчивости в механике деформируемого твердого тела встречаются достаточно редко. Для прямоугольных толстых пластин точные решения задачи об установившихся колебаниях построены в форме тригонометрических рядов лишь для случая, когда противоположные стороны пластины являются шарнирно-опертыми. Дискуссия о возможности построения точных решений в иных случаях граничных условий продолжается до настоящего времени. Как правило, приближенное решение строится в аналитической форме на основе вариационного подхода. Заметим, что при возрастании частоты колебаний приходится увеличивать и число базисных функций, вовлекаемых в решение, что делает неэффективным использование подобных решений для описания структурного элемента в рамках таких методов, как Continuous Element Method, Spectral Element Method и Dynamic Stiffness Method. В представленной статье на основе метода суперпозиции впервые получены аналитические решения для свободных колебаний толстых ортотропных пластин. Для построения общего решения уравнений колебаний предлагается использовать модифицированный тригонометрический базис, с помощью которого оказывается возможным свести краевую задачу к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Рассмотрены случаи практически важных граничных условий для полностью свободных и полностью зажатых сторон пластины. Представленные аналитические решения для полностью свободных и полностью зажатых сторон пластины позволяют описать структурный элемент в виде толстой ортотропной пластины с помощью матрицы динамической жесткости. В свою очередь, это позволяет использовать данные элементы для моделирования более сложных структур. Полученные результаты могут также применяться при проектировании конструкций, разработке новых устройств и оптимизации их параметров.