Новые двусторонние оценки полных эллиптических интегралов первого и второго рода

Необходимость в вычислении значений полных эллиптических интегралов первого:

П 2

К (k) = J         '.(1)

о 1 - - k ² sin² '

и второго рода:

E(k) = J 71 - k2sin2' • d'(2)

о часто возникает в самых разнообразных задачах (см., например, [1, 2]).

При фиксированном k e (0,1) существует целый ряд алгоритмов для определения величин интегралов (1) и (2). Например, полный эллиптический интеграл первого рода можно вычислять методом арифметико-геометрического среднего, который предложил ещё К.Ф. Гаусс [3, с. 160], а полный эллиптический интеграл второго рода можно найти способом, описанным в [4]. Однако для теоретического исследований выражений, содержащих функции (1) и (2), эти методы неудобны. Более эффективными в такой ситуации являются двусторонние оценки интегралов (1) и (2). Примеры таких оценок дают следующие теоремы.

Теорема 1. При k е [0,1] полный эллиптический интеграл второго рода удовлетворяет неравенствам:

где

и

Е - ( к ) <Е ( k ) <Е + ( k ) ,

ππ

Е ( к ) =----

2  2

1 - (1 - к ²у

Е + ( к ) = П . J1 -

4 ■ к²

Доказательство. При к е [0,1) производная от функции (2) по модулю к имеет вид:

d Е ( к )       ^{П 2} sin² ф ■ d ^

= - k ⋅ ∫                  .

^dк         о д/1 - к ² sin² ф

Представим подинтегральное выражение в правой части формулы (6) как произведение двух функций: f (ф) = sin2 ф и g(ф) = (1 - к2 sin2 ф) 1/2, и применим к этому интегралу как прямое, так и обратное неравенство Гёльдера [5, с. 11].

Сначала выберем следующие значения показателей Гёльдера: p = q = 2 , тогда прямое неравенство Гёльдера есть не что иное, как неравенство Коши-Буняковского, а равенство (6) при к е (0,1) даёт:

1 dE(к)  П2 sin2 ф. dф      П2 . 4         П2

--— = I        =

к ак     ^J₀   1 - к² sin²ф   V о             V о 1 - к sin ф

Интегралы в правой части этого неравенства вычисляются элементарно. Таким образом, неравенство (7) сводится к следующей оценке для производной от функции (2):

dE(к) <п  Гз к е (0,1) .

ак “4  \ 2 ' ,\ к^,

Интегрируя неравенство (8) по модулю эллиптического интеграла от 0 до к, используя свойства интеграла Римана и учитывая, что Е(0) = П2 , получим, что при к е (0,1)

Е (к) < Е(к) с функцией (4) в левой части этого неравенства. Справедливость неравенства при к = 0 и к = 1 проверяется непосредственно.

Далее, применим к выражению (6) обратное неравенство Гёльдера [5, с. 16] с показателями Гёльдера p = 1/2 (для функции f (p)) и q = -1 (для функции g (p)):

1 dE(k) _П² sin²p ■ dp _> k ^dk₀  1 - k² sin²p

П 2

П 2

j(sin²p)1²dp  ■ J 71 - k² sin²p ■ dp

0                            0

Неравенство (9) даёт для производной функции (2) следующую оценку:

dE(k) _> k dk ’Ek ’

k e (0,1).

Обращаясь с неравенством (10) так же, как и в предыдущем случае, для k e (0,1)

получим неравенство E(k) +(k) с функцией (5) в правой части этого неравенства. Справедливость неравенства при k = 0 и k = 1 проверяется непосредственной проверкой. Теорема доказана.

Теорема 1 иллюстрируется рис. 1, на котором представлены графики двусторонней оценки (3). Они демонстрируют, что при k e (0,1) функции (4) и (5) приближают функцию

(2) весьма неплохо.

Рис. 1. Оценки полного эллиптического интеграла второго рода.

Для того, чтобы выразить количественно, насколько хорошо приближают полный эллиптический интеграл второго рода его оценки снизу (4) и сверху (5), введём относительные погрешности:

3E ( k ) =

E( k ) -E^-( k ) E( k )

Ж+ (k) =

E⁺( k ) -E( k ) E( k )

Графики функций (11) в зависимости от модуля k полного эллиптического интеграла приведены на рис. 2. Из этого рисунка видно, что Ж-(k) < 0,05 при k е[0, 0,9], а Ж+(k) < 0,05 при k е [0, 0,76], следовательно, при k е[0, 0,76] функции (4) и (5) можно применять при решении прикладных задач для оценки полного эллиптического интеграла второго рода с инженерной точностью.

Рис. 2. Относительная погрешность оценок полного эллиптического интеграла второго рода.

Аналогичная теорема может быть доказана и для функции (1).

Теорема 2. При k е [0,1) полный эллиптический интеграл первого рода удовлетворяет неравенствам:

К-(k) <К(k) <К+(k),(12)

где 3

К-(k) = - - П •1 ~(1 -k )4 - П-|1      |-ln(1 - k2)(13)

26    Тб    4 ^ Тб)

и п п Г 4            п L 4" , J1 -4k21п2 + J1 - 4/ п2

К+ (k) = --  • 1--у ln(1 - k2) + -• 1--у In^-------'            '---.(14)

2  4 V   п²            2 V п²        1 + 4 - 4/ п²

Доказательство. В работе [6] выведена следующая нелокальная связь между функциями (1) и (2), справедливая при k е [0,1):

К (k) = Е( k) + Г q '^Е(q)' d^q 0   ¹- q

.

Комбинируя соотношение (15) с двусторонней оценкой (3) с функциями (4) и (5) и выполняя элементарное интегрирование, придём к двусторонней оценке (12) с функциями

• (13)    и (14). Теорема доказана.

На рис. 3, который иллюстрирует утверждение теоремы 2, приведены графики двусторонней оценки (12).

Из этого рисунка видно, что при к е [0,1) функции (13) и (14) приближают функцию (1)

довольно хорошо.

Для того, чтобы выразить количественно, насколько хорошо приближают полный эллиптический интеграл первого рода его оценки снизу (13) и сверху (14), введём относительные погрешности:

-     К ( к ) -К^-( к )

дК (к) =--------------,

К ( к )

_ж. ( к ) = ^К+(к )^{-К( к} ) К ( к)

.

Графики зависимостей функций (16) от модуля k полного эллиптического интеграла приведены на рис. 4. По нему можно заметить, что дК (к) < 0,05 при к е [0, 0,99], а дК⁺(к) < 0,05 при к е [0, 0,81], значит, при к е [0, 0,81] функции (13) и (14) можно применять при решении прикладных задач для оценки полного эллиптического интеграла первого рода с инженерной точностью.

Рис. 4. Относительная погрешность оценок полного эллиптического интеграла первого рода.

Продемонстрируем применение доказанных теорем на следующем примере.

Рассмотрим два круговых цилиндра радиусов 1 и k ( 0 < k< 1 ), оси которых

пересекаются под прямым углом (см. рис. 5).

Рис. 5. Круговые цилиндры разных радиусов с осями, пересекающимися под прямым углом.

Объём тела, ограниченного ими, равен [7, с. 214]:

• V(k) = - • [(1 + к2) • Е(к) - (1 - к2) • К(к)].(17)

Комбинируя неравенства (3) и (12), для величины (17) легко получить следующую двустороннюю оценку:

• V- (к) < V(к) < V+(к),(18)

где

• V-(к) = - • [(1 + к2) • Е-(к) - (1 - к2) • К+(к)](19)

и

• V+(к) = - • [(1 + к2) • Е+ (к) - (1 - к2) • К-(к)].(20)

Графики функций (17), (19) и (20) в зависимости от модуля k полного эллиптического интеграла приведены на рис. 6.

Рис. 6. Оценки объёма пересечения двух круговых цилиндров разных радиусов с осями, пересекающимися под прямым углом.

Для количественной характеризации качества приближения объёма (17) величинами

• (19)    и (20), построенными с помощью функций (4), (5), (13), (14), как и ранее, введём

относительные погрешности:

3V - (к) = V^(к) - V^{- (к}), V ( к )

.V₊ (к) = V + ^{( к}) - V^(к > V ( к )

Графики зависимостей функций (21) от модуля k полного эллиптического интеграла приведены на рис. 7.

Рис. 7. Относительная погрешность оценок объёма пересечения двух круговых цилиндров разных радиусов с осями, пересекающимися под прямым углом.

Из этого графика видно, что SV± (к) > 0,05 при всех к е (0,1), при этом кривая SV⁺(к)

уходит вверх до заметных значений. Однако кривая SV (к) остаётся ограниченной и снизу, и сверху: 0,068 < SV (к) < 0,084 , следовательно, формула (19) вполне пригодна для определения по заданному k значения объёма (17) с инженерной точностью.

Таким образом, теоремы 1 и 2, доказанные в этой работе, применимы для оценки величин как полных эллиптических интегралов первого и второго рода, так и их линейных комбинаций, с инженерной точностью.

В заключение отметим следующее обстоятельство: как хорошо известно, полные эллиптические интегралы первого и второго рода выражаются через гипергеометрические функции [3, c. 151]:

Е(к) = - • F| - 1,1,1, к²

2   ^  2,2, ,

К(к) = -• FI -,-,1,к²I,             (22)

следовательно, утверждения теорем 1 и 2 означают, что специальные функции (22), являющиеся решениями линейных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами, могут быть эффективно приближены с помощью элементарных функций.