О четырехслойной итерационной схеме

Введение. Большинство прикладных задач таких, как задача транспорта веществ [1–3], гидродинамики мелководных водоемов [4–5], аэродинамики [6–7], динамики популяций [8] и других, сводятся к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Для решения таких систем уравнений используются двух- и трехслойные итерационные схемы.

Рассмотрим задачу нахождения приближенного решения линейного операторного уравнения [9].

Au = f, (1) где A — симметричный положительно определенный оператор, действующий в вещественном гильбертовом пространстве H .

Для увеличения скорости сходимости вместо двухслойных итерационных методов используются трехслойные итерационные методы. Эти методы исследованы в работе [10]. Ниже приведено исследование четырехслойной итерационной схемы. Условия устойчивости такой схемы получены в работе [11].

Четырехслойная итерационная схема решения сеточных уравнений имеет вид

By k + 1 = P k + 1 ⁽ B - ^T k + 1 A ) y k ^{+ ( 1 -a} k + 1 ) By k - 1 ^{+ (a} k + 1 ^- P k + 1 ) By k - 2 ⁺ P k + 1 ^T k + 1 ^f , (2)

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 15-01-08619), а также по Программе фундаментальных исследований Президиума РАН № 1.33П, проект 00-16-13

♦♦

♦♦♦

* The research is done with the financial support from RFFI (grant no. 15-01-08619) and within the frame of the RAS Presidium Program of Fundamental

Research no. 1.33P, project 00-16-13.

для k = 2,3,..., By i = 0 ( B -Т 1 A ) у о + т f , By 2 = 0 2 ( B — ^ 2 A ) У 1 + ( 1 -a ₂ ) By 0 + 0 2 T 2 f , У о ^e H .

Необходимо найти параметры {тk}, {ak} и {0k} , при которых норма эквивалентной погрешности xk = yk - и была бы минимальной для любого к.

Расчет параметров схемы. Перепишем (2) в виде

„ ( yk+1 + (ak+1 - 1) yk-1 + (Рk+1 - ak+1 ) yk-2 )/Рk+1 - yk B т k+1

Действительно, для уравнения погрешности схемы (2)

x k + 1 ⁺(^a k + 1 ^{- 1} ) x k - 1 + ( P k + 1 ^-a k + 1 ) x k - 2 P k + 1

= -т k + 1 Cx k , C = B ^{- 1} A .

^- x k

^Или x k + 1 =P k + 1 ( E ^-т k + 1 C ) x k ⁺ ( 1 ^-a k + 1 ) x k - 1 ⁺(^a k + 1 ^- P k + 1 ) x k - 2 .   ⁽³⁾

Для минимизации нормы x_k в H ( n >  1) необходимо и достаточно, чтобы

( X k + 1 , Cx J = 0, j = 0, k , (4)

или ( x k + 1 , Cx j ) = -0 k + 1 ^т k + 1 ( Cx k , Cx j ) = ⁰.

При k = j получим ( X k + 1 , CX k ) = -P k + 1 T k + 1 ( CX k , CX k ) = 0 .

Из (3), (4) следует

( Cx k - 2 , x k + 1 ) = P k + 1 ( Cx k - 2 , ( E ^{- т} k + 1 C ) x k ) ⁺ ( ^{1 - a} k + 1 )( Cx k - 2 , x k - 1 ) ⁺

^{+ (a} k + 1 ^- P k + 1 ⁾⁽ Cx k - 2 , x k - 2 ) ,

( Cx k - 1 , x k + 1 ) = P k + 1 ( Cx k - 1 , ( E ^{- т} k + 1 C ) x k ) + ( ^{1 - a} k + 1 )( Cx k - 1 , x k - 1 ) ⁺

^{+ (a} k + 1 P k + 1 ⁾⁽ Cx k - 1 , x k - 2 ) ,

( Cx k , x k + 1 ) = P k + 1 ( Cx k , ( E ^{- т} k + 1 C ) x k ) ⁺ ( 1 ^{- a} k + 1 )( Cx k , x k - 1 ) ⁺ (^a k + 1 ^- P k + 1 ) ( Cx k , x k - 2 ) .

Запишем систему для расчета {тk} , {ak} и {0k} тk+1Pk+1 (Cxk-2, Cxk ) + (ak+1 Pk+1 )(Cxk-2, xk-2 ) = 0,

• ^-т k + 1 P k + 1 ( Cx k - 1 , Cx k ) ⁺ ( 1 ^{- a} k + 1 ) ( Cx k - 1 , x k - 1 ) = ⁰,

( Cx k , x k )^-т k + 1 ( Cx k , Cx k ) = ⁰

Преобразуем систему уравнений в -a __________(Cxk-2, xk-2)

P k + 1 = ^a k + 1

- 2, Cx k )

( Cx k - 2 , x k - 2 ) ^{+ т} k + 1 ( Cx k

(Cxk-2, xk-2 )(Cxk-1, Cxk )                                         \ iт k+1a k+177-----------;--------77------+ a k+1 (Cxk-1, xk-1) = (Cxk-1, xk-1),

( Cx k - 2 , x k - 2 ) ^{+ т} k + 1 ( Cx k - 2 , Cx k )

= ( Cxk, xk )

_ ^{T k + 1} ( CX k , CX k ) .

Введем обозначение

⁽ Cx k - 2 , x k - 2 )

Ф _k +1 = 7--------- ----------------7 , тогда

⁽ Cx k - 2 , x k - 2 ) ^{+ т} k + 1 ⁽ Cx k - 2 , Cx k )

_т _ ( Cx k , x k ) _a =_____________ ( Cx k - 1 , x k - 1 ) _____________

• ^T k ⁺ 1 ( Cx k , Cx k ) , k ⁺ 1 ( Cx k - 1 , x k - 1 ) + ^т k + 1 ^ф k + 1 ( Cx k - 1 , Cx k ) ,

P k + 1 = ^a k + 1 ^ф k + 1 .

Преобразуем выражение (3)

Cx k - 2 = ( ^- x k - 1 ⁺ P k - 1 x k - 2 ^{+ ( 1 - a} k - 1 ) x k - 3 ^{+ (a} k - 1 ^- P k - 1 ) x k - 4 )/ ^(т k - 1 P k - 1 ) ^.

Запишем выражение ( Cx_{k - 2}, Cx_k ) с учетом полученного выражения

• ⁽ Cx k - 2 , Cx k ) = ( ( - x k - 1 +P k - 1 x k - 2 ^{+ ( 1} - ^a k - 1 ) x k - 3 ^+(a k - 1 -P k - 1 ) x k - 4 )/ ^(т k - 1 P k - 1 ) , Cx k ) = ^{0 .}

Таким образом, получим ф _к + 1 = 1. Следовательно, в _{к + 1} = a _{к + 1}.

В итоге выражение (3) преобразуется к виду xk+1 = a к+1 (E - т к+1C) xk +(1 - a к+1) xk-1.

Выводы. В итоге получили, что х_{к + 1} зависит только от x_k , х_к - 1 и не зависит от x n , n = 0, к - 2 . Другими словами, доказано, что четырехслойная итерационная схема решения сеточных уравнений преобразуется к трехслойной схеме, поэтому использование первой не дает увеличения скорости сходимости по сравнению со второй.