О действии дифференцирования на коммутативные идеалы колец

Определение 1. Не пустое подмножество I кольца R называется правым (левым) идеалом, если:

• •     с a,b Е I следует a — b El ;

• •     если a Е I , то и ar Е I (ra Е I) для V т Е R.

Двухсторонний идеал — это такое подмножество, которое одновременно является и левым, и правым идеалом.

Определение 2. Дифференцированием ассоциативной алгебры А над полем F называется F -линейное отображение D: А ^ А такое, что D(ab} = D(a)b + aD(b) V a,b e А. Каждый элемент из А определяет внутреннее дифференцирование D_a:x ^ [a, x] = ax — xa, де x e А.

Действие дифференцирования на идеалы колец

Лемма 1. Пусть I - левый (правый) идеал ассоциативной алгебры А, D е Der(A) . Тогда:

• 1)    I + D(I) + —+ D^k(I) левый (правый) идеал алгебры А для к > 1;

• 2)    Если Z = Z(I) - центр идеала I , то существует двухсторонний идеал / алгебры А з/2 = 0 такой, что [Z, А] С у.

• 3)   D^k(xy) = L ^k _s = ₀( ^k _s)D ^s (x)D ^k-4 y).

Лемма 2 Пусть А - ассоциативная алгебра над произвольным полем, I - идеал из А и De Der(A'). Тогда для произвольных натуральных чисел к, т таких, что к < т, справедливо включение D^k(I^m') с I ^m-k ,

Действие дифференцирования на нильпотентные идеалы колец

Теорема 1. Пусть А - ассоциативная алгебра над полем F, I -нильпотентный идеал из Ас индексом нильпотентности п и D е Der^) Тогда I + D(I^) - нильпотентный идеал из А с индексом нильпотентности <  п ² в следующих случаях:

• 1)    char F = 0; 2) char F = р > 0 тап <р.

Действие дифференцирования на коммутативные идеалы колец

Теорема 2. Пусть А - ассоциативная алгебра над полем F, I -коммутативный идеал из А. Тогда I + D(I^ - коммутативный идеал из А, когда выполнены следующие соотношения:

[D(i1), i2] = 0 и [D(i1), D(i2)] = 0 для любых 11,12 е I.

Доказательство

По лемме 1 множество D(I) + I является идеалом алгебры А, если I -идеал алгебры А. Докажем, что при [D(i_i), i₂] = 0 и [D(i_i), D(i₂)] = 0 для любых i_i,i₂ Е I идеал D(I) + I является коммутативным.

Произвольный элемент из D(I) + I имеет представление D(ii) + i2 Рассмотрим частные случаи.

• 1.    Возьмем два элемента D(i_i) + i_i, D(i_i) + i₂ ED(I)+I. Тогда

• 2.    Возьмем два элемента D(i_i) + i_i, D(i₂) + i_i E D(I) + I. Тогда [D(i i ) + i i , D(i 2 ) + i i ] =

• 3.    Возьмем два элемента D(i_i) + i₂, D(i₃) + i₄ ED(I) + I. Тогда

[D(i i ) + i i , D(i i ) + i₂] =

[i i , i 2 ]+[D(i i ), i 2 ] + [i i , D(i i )] + [D(i i ), D(i i )] = [D(i i ), i 2 ] - [i i , D(i i )] = [D(i_i), i₂ — i_i] = 0 . ([i_i, i₂ ] = 0 в силу того, что i_i и i₂ коммутируют, [D(i_i), D(i_i)] = 0 (по определению коммутатора)

Обозначим i2 — ii = i3 . В силу произвольности выбора ii, i2 имеем, что [DOJ^] = 0

[i i , i i ] + [D(i i ), i i ] + [i i , D(i 2 )] + [D(i i ), D(i 2 )] = [D(i i ), D(i 2 )] = 0 . ([i i , i i ] = 0 по определению коммутатора, [D(i₁),i₁ ] = 0 и [i₁,D(i 2 )] = 0 из пункта 1)

В силу произвольности выбора i ^ i₂ имеем, что [D(i_i), D(i₂)] = 0.

[D(i i ) + i 2 , D(i₃) + i 4 ] = [i 2 , i 4 ] + [D(i i ), i 4 ] + [i 2 , D(i₃)] + [D(i i ),D(i₃)] = 0 .

• ([ i₂, i₄ ] = 0 по определению коммутатора, [D(i_i), i₄ ] = 0 и [i₂, D(i₃)] = 0 из пункта 1, [D(i_i), D(i₃)] = 0 из пункта 2).

Поэтому при [D(i_i), i₂] = 0 и [D(i_i), D(i₂)] = 0 для произвольных i_i, 1 2 E I идеал D(I) + I является коммутативным.