О действии дифференцирования на коммутативные идеалы колец
Бесплатный доступ
Эта статья посвящена вопросу действия дифференцирования на коммутативные идеалы колец. Мы рассмотрим условия того, когда идеал I+D(I) является коммутативным в алгебре A с коммутативным идеалом I.
Дифференцирование идеалов колец, коммутативные идеалы колец, нильпотентные идеалы колец
Короткий адрес: https://sciup.org/140278174
IDR: 140278174
Текст научной статьи О действии дифференцирования на коммутативные идеалы колец
Определение 1. Не пустое подмножество I кольца R называется правым (левым) идеалом, если:
-
• с a,b Е I следует a — b El ;
-
• если a Е I , то и ar Е I (ra Е I) для V т Е R.
Двухсторонний идеал — это такое подмножество, которое одновременно является и левым, и правым идеалом.
Определение 2. Дифференцированием ассоциативной алгебры А над полем F называется F -линейное отображение D: А ^ А такое, что D(ab} = D(a)b + aD(b) V a,b e А. Каждый элемент из А определяет внутреннее дифференцирование Da:x ^ [a, x] = ax — xa, де x e А.
Действие дифференцирования на идеалы колец
Лемма 1. Пусть I - левый (правый) идеал ассоциативной алгебры А, D е Der(A) . Тогда:
-
1) I + D(I) + —+ Dk(I) левый (правый) идеал алгебры А для к > 1;
-
2) Если Z = Z(I) - центр идеала I , то существует двухсторонний идеал / алгебры А з/2 = 0 такой, что [Z, А] С у.
-
3) Dk(xy) = L k s = 0( k s)D s (x)D k-4 y).
Лемма 2 Пусть А - ассоциативная алгебра над произвольным полем, I - идеал из А и De Der(A'). Тогда для произвольных натуральных чисел к, т таких, что к < т, справедливо включение Dk(Im') с I m-k ,
Действие дифференцирования на нильпотентные идеалы колец
Теорема 1. Пусть А - ассоциативная алгебра над полем F, I -нильпотентный идеал из Ас индексом нильпотентности п и D е Der^) Тогда I + D(I^) - нильпотентный идеал из А с индексом нильпотентности < п 2 в следующих случаях:
-
1) char F = 0; 2) char F = р > 0 тап <р.
Действие дифференцирования на коммутативные идеалы колец
Теорема 2. Пусть А - ассоциативная алгебра над полем F, I -коммутативный идеал из А. Тогда I + D(I^ - коммутативный идеал из А, когда выполнены следующие соотношения:
[D(i1), i2] = 0 и [D(i1), D(i2)] = 0 для любых 11,12 е I.
Доказательство
По лемме 1 множество D(I) + I является идеалом алгебры А, если I -идеал алгебры А. Докажем, что при [D(ii), i2] = 0 и [D(ii), D(i2)] = 0 для любых ii,i2 Е I идеал D(I) + I является коммутативным.
Произвольный элемент из D(I) + I имеет представление D(ii) + i2 Рассмотрим частные случаи.
-
1. Возьмем два элемента D(ii) + ii, D(ii) + i2 ED(I)+I. Тогда
-
2. Возьмем два элемента D(ii) + ii, D(i2) + ii E D(I) + I. Тогда [D(i i ) + i i , D(i 2 ) + i i ] =
-
3. Возьмем два элемента D(ii) + i2, D(i3) + i4 ED(I) + I. Тогда
[D(i i ) + i i , D(i i ) + i2] =
[i i , i 2 ]+[D(i i ), i 2 ] + [i i , D(i i )] + [D(i i ), D(i i )] = [D(i i ), i 2 ] - [i i , D(i i )] = [D(ii), i2 — ii] = 0 . ([ii, i2 ] = 0 в силу того, что ii и i2 коммутируют, [D(ii), D(ii)] = 0 (по определению коммутатора)
Обозначим i2 — ii = i3 . В силу произвольности выбора ii, i2 имеем, что [DOJ^] = 0
[i i , i i ] + [D(i i ), i i ] + [i i , D(i 2 )] + [D(i i ), D(i 2 )] = [D(i i ), D(i 2 )] = 0 . ([i i , i i ] = 0 по определению коммутатора, [D(i1),i1 ] = 0 и [i1,D(i 2 )] = 0 из пункта 1)
В силу произвольности выбора i ^ i2 имеем, что [D(ii), D(i2)] = 0.
[D(i i ) + i 2 , D(i3) + i 4 ] = [i 2 , i 4 ] + [D(i i ), i 4 ] + [i 2 , D(i3)] + [D(i i ),D(i3)] = 0 .
-
([ i2, i4 ] = 0 по определению коммутатора, [D(ii), i4 ] = 0 и [i2, D(i3)] = 0 из пункта 1, [D(ii), D(i3)] = 0 из пункта 2).
Поэтому при [D(ii), i2] = 0 и [D(ii), D(i2)] = 0 для произвольных ii, 1 2 E I идеал D(I) + I является коммутативным.
Список литературы О действии дифференцирования на коммутативные идеалы колец
- Лучко В.С. О действии дифференцирований на нильпотентные идеалы ассоциативных алгебр // Укр.мат.журн., 2009, т.61, №7
- Luchko V.S., Petravchuk A.P. On one-sided ideals of associative rings// Algebra and Discrete Math.-2007.-№3.-Р.1-6.
- Джекобсон Н. Алгебры Ли // М.:Мир,1964. - 355 с.