О диаметре Кэли одной подгруппы группы В 0 (2,5)

Свободной бернсайдовой группой периода n с m образующим называется группа B ( m , n ) = F_m / F m , где F_m – свободная группа ранга m и F_mⁿ – ее под группа , порожденная всеми n- ми степенями элемен тов из F m . Проблема Бернсайда для пары ( m , n ) звучит так: является ли группа B ( m , n ) конечной? Как показали П. С. Новиков и С. И. Адян [1], ответ отрицательный, если m >  2 и 663 <  n - достаточно большое нечетное число. Также С. В. Иванов [2] и И. Г. Лысёнок [3] показали, что B ( m , n ) бесконечна, если n >  2 48 и n делится на 2 9 и n = 16 k >  8 000. Однако для небольших нечетных n ( 5 <  n <  663 ) и четных n , не удовлетворяющих условиям С. В. Иванова и И. Г. Лысёнока, проблема Бернсайда остается нерешенной.

Пусть B0 (m, n ) = Fm / U (m, n), где U (m, n) - пересечение всех нормальных подгрупп N < Fm, для которых Fm /N – конечная группа периода n. Как показал А. И. Кострикин, B0 (m, n) конечна, если n -простое число [4]. Эту теорему А. И. Кострикина Е. И. Зельманов обобщил для случая, когда n – степень простого числа [5]. Отсюда и из результатов Ф. Холла и Г. Хигмэна с использованием классификации конечных простых групп вытекает существование B0 (m,n) для произвольных m и n [6]. Поскольку B (2,5) является наименьшей из бернсайдовых групп, для которых решен вопрос об их конечности, любые сведения о ней и, в частности, о B0 (2,5), интересны. Так, А. И. Кострикин установил границы для порядка группы В0 (2,5): 531 < В0 (2,5)| < 534 [4]. В 1974 г. Хавас, Уолл и Уэмсли [7] при помощи компьютерных вычислений нашли определяющие соотношения, определили точный порядок группы B0 (2,5) который равен 534, и ступень нильпотентности данной группы, равную 12.

Рассмотрим в B ₀ ( 2,5 ) = xx , у) подгруппу H ₀ = ( h , , h ₂) , где h , = xy , h ₂ = yx . Как отмечалось выше, сравнение групп B ( 2,5 ) и B ₀ ( 2,5 ) затруднено из-за большого порядка группы B ₀ ( 2,5 ) . Приводимая ниже теорема позволяет проводить сравнение группы H ₀ , имеющей порядок существенно меньше, чем 5 ³⁴ , с ее аналогом H в группе B ₀ ( 2,5 ) .

Теорема. Диаметр Кэли группы H ₀ относительно порождающих { h , , h 2 } равен 45.

Доказательство. Непосредственные вычисления проводились на кластере института космических и информационных технологий Сибирского федерального университета. Для работы было выделено 125 однородных вычислительных узлов в режиме непрерывного доступа. Каждый узел снабжен процессором с тактовой частотой 3 ГГц и ОЗУ 4 ГБ. В качестве программного инструмента была взята система компьютерной алгебры MATLAB 7.7.0.

Ниже приведена вычисленная функция роста элементов группы H ₀ (см. таблицу), а также ее график (рис. 1). Часть элементов максимальной длины 45 группы H ₀ в формате минимальных слов приведена на рис. 2.

Функция роста элементов группы H ₀

Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М. Ф. Решетнева

Продолжение таблицы

О 5   10   15   20   25   30   35   40   45   50

Рис. 1

000010000110000111010110100011010111001100101 000010000111101011100100010100101100001011011

Рис. 2