О динамике прецессионного движения стоячих волн во вращающейся на опорах оболочке с растяжимой срединной поверхностью

Получим уравнения, описывающие поведение оболочки. Для этого зададим декартову систему координат X1, У1, Z1. Ось О1У1 является осью вращающейся оболочки. Для задания положения точек отсчетной поверхности оболочки, в качестве которой используем срединную поверхность, зададим цилиндрическую систему координат θ, r, У, где θ – угол, задающий положение точки на отсчётной поверхности относительно вертикали в начальный момент времени, r – радиус оболочки, У – линейная координата вдоль оси оболочки, совпадающая с осью У1. Начало системы координат находится в центре оболочки. Длина ее a, толщина h. Перемещения точек отсчетной поверхности оболочки в процессе деформации в направлении радиуса r, координаты У и касательной к поверхности оболочки обозначим соответственно U0(θ), W(θ), V(θ). Кроме линейных перемещений U0, W, V точек отсчётной поверхности деформированной оболочки зададим угловой поворот γ(θ) образующей оболочки в плоскости, проходящей через радиус r и ось У. Такое задание деформации позволяет учесть различные перемещения точек оболочки при изменении координаты У, а так же наличие опор. В этом случае радиальное перемещение U точки отсчётной поверхности, заданной координатами θ и У, имеет вид и (e, у )=и0 (е)+у(в)У . (1)

Величины линейных перемещений точек отсчетной поверхности оболочки и угловой поворот образующей зададим в виде рядов Фурье

NN

U0 = ao + Eaui C0S(i(6 + Фш^ + Ebui Sin(i (^ + Vu) i=1

, (2)

NN

V = E avi C0S(i (6 + Vvi )) + E bvi Sin(i (6 + Vvi )) i=1

NN

W = E awi C0S(i (6 + Vwi )) + E bwi Sin(i (6 + Vwi)) i=1

, (4)

NN

Y = E aY cos(i(5 + Vy)) + E bi sin(i(9 + Vy )) i=1

.

aa b a ba b a b ЗДеСЬ. 0 , ui , ui , vi , vi wi , wi , ^Y i , ^Y i — обобщенные координаты — неизвестные функции времени t , которые надо определить, задают амплитуду колебаний; ^V ui , ^V wi , ^vy i - неизвестные функции времени, задающие прецессию стоячих волн, подлежащие определению; N — число учитываемых слагаемых ряда Фурье.

Примем, что оболочка касается опорных роликов по всей длине своих образующих, т.е. опорные ролики выставлены без ошибок. Тогда условиями, накладываемыми на обобщенные координаты оболочки, является равенство нулю радиальных перемещений U в точках опор, равенство нулю перемещений V в точках опор, а также равенство нулю перемещений оболочки W в направлении оси У в точках опор. Так как оболочка вращается, то координаты 9 точек оболочки, в связанной с ней системе координат, находящихся на опорах, определяем зависимостями п — а — Qt для одной опоры и п + а — Qt для второй. Здесь Q - угловая скорость вращения оболочки; 2 а — угол между опорами. Таким образом, в точках опор имеем условия связи

U(п - a -Q t , У ) = 0, U ( п + a -Q t , У ) = 0,

V ( п - a - Q t ) = 0,                 (6)

V (п + a -Q t ) = 0, W (п - a -Q t ) = 0,

W (п + a -Q t ) = 0.                (7)

Выполнение этих условий для любого значения времени t, для любого значения координаты У для перемещения U, а также для перемещений V, W дает восемь условий связи на обобщенные координаты, описывающие динамику оболочки, и, соответственно, восемь неопределенных множителей Лагранжа, используемых для учета условий связи при получении дифференциальных уравнений с помощью формализма Лагранжа. Для этого кинетическую энергию оболочки определяем по формуле [2]:

a

• 1    2 п 2

T = - J J ц0[(V + QГ0 +QU)2 +

• ²    0 _ a

+(l & -Q V )² + W ²] d0dy           (8)

где ц₀ = rp₀h ; р₀ — удельная плотность материала оболочки, а потенциальную в соответствии с гипотезами Кирхгофа-Лява [3]:

ah 2 п 2 2

П = J J J (аее8 + аУ8У + аеУ8бУ )dZdedy

0 ah

- 2 2 ^, (9)

где о д , о у — напряжения по координатам 9 , У соответственно; о_9у — напряжение в плоскости 9У ; е₉ , е у — деформации по осям 9 , У соответственно; е еу — сдвиг в плоскости 9У .

В полученных зависимостях фигурируют неизвестные функции V_ui ( t ) , V_vi ( t ) , ^V ^⁽ t ) , V_wi ( t ) , задающие прецессионное движения стоячих волн в оболочке. От вида этих функций зависит решение дифференциальных уравнений, описывающих поведение вращающейся оболочки на опорах. Для выяснения характера прецессионного движения стоячих волн докажем следующее утверждение: при возникновении периодических колебаний во вращающейся с постоянной угловой скоростью на двух параллельных опорах оболочке с растяжимой срединной поверхностью прецессия волн V uj ^{( t} ) , V_V i ⁽ t ) , ^V Y ^{( t} ) , ^V wj ^{( t} ) ( j' =1,2,^, N) может происходить с угловой скоростью вращения оболочки.

Доказательство. Для получения зависимостей, описывающих изменение этих функций в соответствии с законами механики, будем рассматривать их как ещё одни координаты, меняющиеся во времени, задающие поведение системы. Тогда в соответствии с вариационными принципами механики в реальном движении будут реализовываться такие функции V uj ^{( t} ) , V vi ( t ) , V ^ jk t ) , V wj ^{( t} ) ( /• =1,2,_, N), что действие по Гамильтону будет иметь экстремум. Поведение их описывается дифференциальными уравнениями. Для получения их можно воспользоваться вариационным принципом

Гамильтона, но с точки зрения объема требуемых выкладок более рациональным является использование уравнения Лагранжа второго рода. Таким образом, нахождение закона прецессии стоячих волн в оболочке сводиться к нахождению дифференциальных уравнений для функций, задающих эту прецессию. Обобщенными переменными, описывающими поведение оболочки, будут a 0, aui, bui, aji, bvi, ayi, bYi, awi, bwi, Vui, Vvi, Vyi, Vwi(i = I,2,..., N). Дифференциальные уравнения для a0, auj,buj,Vuj (j' =1,2,...,N) в соответствии с уравнением Лагранжа второго рода и условиями связей имеют вид:

2 v ₀ п а₀ + ( 4 п 5 ₂ - 2 v ₀ nQ ² ) a ₀ - 2 v ₀ п r ₀ Q ² = X H + X H nv o ^[ a uj ^{+ j} Ф uj b uj + ^{2 j} (f) juj ^{- 2 Q} a l „ C j -

• -2Q Ь ., , Ф„ C™ -(Q² + j ²ф j a u ] +

+ v Q ^avjj(K - 2b„K™ ] + п[2(52 +

+ 5 ₆ j ⁴ - 5 10 j ²) a uj + ( 5 4 j -5 ₈ j ³) b ^ C j ] +

+ ( 5 4 j - 5 8 j ³) K j a j = X H cos( j ( п - a - Q t + ф u )) + ^+X H ^cos( j ^{( n + a-Q} t + ( uj )),              (10)

^nv 0^[ b uj - ^{j Ф} uj a uj - ^{2 j Ф} uj a uj- ^{2 Q b}vj^C7 ⁺

+2Q (j Ф „C j -(Q² + j ²ф j b uj ] +

+V 0 Q[- 2 b₄j Ф vj K “^v - 2 a„K j ] + п [2( 5 ₂ +

+ 5 6 j ⁴ - 5 10 j ²) b uj + ( 5 g j ³ - 5 4 j ) a^ _]+

+ ( 5 4 j - 5 8 j ³) K j b vj = X H sin( j ( п - a - Q t + ф^)) +

^+X H ^sin( j ^{( n + a-Q} t + Ф uj )),        (11)

J Ф uj a uj + ² j Ф uj a uj^auj ⁺ j Ф uj b uj ⁺

+2 j ²Ф uj b uj b i uj + 2Q jC7a u b_ч - 2Q jC*7a _чЬ „. +

+ ja uj b uj - jb^a u, -2Q j ²Ф ₄C ™ b u, b_v , -

-2Qj ’(pvjC-'au,a,.]+ v 0Q[2j’-

• -2 j^ .j a .j b uj K'- - 2 jK -'j, - 2 jK ’-¹,.,.,., ] + +п[( 5 4 j - 5 g j ^!) jC Uvajj a ,., +

+ ( 5 4 j - 5 , j ’) jC ;^j b,b ,]- ( 5 , j - 5 g j ^y)j_a j,b„ K7 -

-( 5 8 j ³ - 5 4 j ) jK7bj,aj,=

= XH [-ajj j sin( j(п - a - Qt + Фuj )) +

^{+ b}uj ^{j cos( j ( п - a - Q} t ⁺ Ф uj■ ^{))] +}

+XH [-auj j sin( j(n + a - Qt + Фjj■)) +

• ^{+ b}uj^{j cos( j( n + a-Q} t ⁺ Ф uj ) ^)] .       ( 1 ₂ )

Здесь X ^H ( i = 1,2,...,8) - неопределённые множители Лагранжа. Система является матричной системой линейных дифференциальных уравнений, коэффициенты которой зависят от параметров оболочки и номера обобщенной координаты j, по которой осуществляется дифференцирование для получения уравнений. Анализ уравнений (10) - (12) показывает, что уравнение (12) для ^V uj может быть получено путём умножения уравнения (10) для a uj на переменную b uj , вычитания из этого произведения уравнения (11) для b uj , умноженного на a uj , и умножения этой разности на j. Отсюда следует, что дифференциальное уравнение для ^V uj является комбинацией дифференциальных уравнений для a uj и ^ь , . Значит, решение дифференциального уравнения для V uj является комбинацией решений дифференциальных уравнений для a uj , b uj . В уравнения для a uj , b uj входят функции ^V uj , отсюда следует, что они могут быть произвольными. Будем рассматривать установившиеся периодические колебания оболочки, которые могут возникнуть вследствие действия возмущений. В этом случае дифференциальные уравнения (10), (11) для a uj , b uj должны быть линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Из этого условия найдём зависимости для ^v u, . Для того, чтобы коэффициенты в дифференциальных уравнениях были константами необходимо, чтобы ^V uj были константами. Другим условием для определения V uj является условие, что прецессионное движение волн V uj осуществляется только внутри диапазона углов, ограниченного опорами. В случае, если V uj константы, это может быть только при ^V uj = ^Q , (j' =1,2, „.,N). Тогда в условиях связи (6), (7) а также у множителей перед неопределенными множителями Лагранжа в уравнениях (10), (11) аргументы под знаком синуса и косинуса являются постоянными коэффициентами, т.е.

π-α- Ωt+ϕuj =π-α,π+α-Ωt+ϕuj = π+α, π-α- Ωt +ϕvj = π-α, π+α- Ωt+ϕvj =π+α.

Поэтому система уравнений (10), (11) вместе с условиями связи является системой уравнений с постоянными коэффициентами, имеющей периодические решения. Осуществляя аналогичный анализ для уравнений, описывающих поведение переменных a vj , b vj , a γ j , b γ j , a wj , b wj , получим так же, что ϕ & _vj =ϕ & _{γ j} =ϕ & _wj =Ω , (j = 1,2, …,N).

Выводы: доказано, что в случае возникновения во вращающейся оболочке стоячих волн их прецессионное движение может происходить с угловой скоростью вращения оболочки.

Полученный результат может использоваться для получения дифференциальных уравнений, описывающих поведение вращающихся на опорах оболочек, колец при внешних сил, применяемых при математическом моделировании динамики таких объектов.