О функции распределения времени безотказной работы сложной вычислительной системы

Введение. Любой космический вычислительный комплекс представляет сложную систему. Под сложной системой понимают совокупность функционально связанных разнородных устройств, предназначенных для выполнения определенных функций и решения стоящих перед системой задач. Одной из важных характеристик работы системы является время ее безотказной работы. Часто эту характеристику считают случайной величиной. Но такая математическая модель является довольно ограниченной, так как время безотказной работы зависит от многих характеристик (параметров), описывающих систему. Поэтому можно предположить, что время безотказной работы есть непрерывная случайная функция многих переменных. Такое предположение используется в литературе [1-15]. В этой работе мы также будем придерживаться его.

Известно, что характеристическим функционалом случайной величины Y в гильбертовом пространстве H является функционал о (Z) = Е exp{i (Z, X)}, где z g H , (Z,Y) скалярное произведение в H, i= л/—1; Е - знак математического ожидания. Пусть R - ковариантный вектор случайной величины Н, EY =А. Если Y гауссовский вектор в H, то его характеристический функционал имеет вид:

^ ( Z ) = exp{ i ( A, Z) - 1 ( RZ , XZ }.

Обратное тоже верно, то есть если Y имеет характеристический функционал, отвечающий данным требованиям, то его распределение является гауссовским. Ковариантный оператор R гауссовского вектора Y является ядерным и вполне непрерывным, поэтому он обладает ортонормированным базисом собственных векторов ek, k=1, 2,... Обозначим A - собственное значение оператора R, соответствующее собственному вектору ek. Пусть A >0 тогда случайные величины

( Y - A , e k )

^£ л

A являются независимыми, имеют нормальное распределение и Ее = 0, Ее2 = 1. Таким образом, гауссовский вектор Y можно записать в виде

X

• ^Y = A + Е 4 ^x k ^£ k^ek •

k =1

Представление гауссовского вектора Y можно использовать в различных вычислениях. В частности, если обозначить а = ( A,е_к ), то характеристическая функция для действительного s случайной величины | У |2 имеет вид

X ф 2( s) = Е exP {islAlH }‘П

exp <

2 / х/ s²

71 - 2 siA *

71 - 2 si A

•

Известно, что по виду характеристической функции ф(t) распределение F(x) случайной величины восстанавливается однозначно:

I +”  - itx      - ity

F ( y ) - F ( x ) = -L

ф (t ) dt ,

2n J      it

-X тогда x         1

Ф e< ^s ) = П и _т •

• ^{1    1} h         k = 1 .y/1 - 2 is A k

Формулировка основных результатов.

Теорема 1. Пусть A - собственное значение ковариантного оператора R гауссовского вектора Y. Тогда вероятность попадания Y в шар радиуса r равна от

2 7

P (I Y H <  r ) = -J

^П 0

1   „

- exp <  t

1 от /                        \

— 4 Z ln ( 1 + ( ² ' A - ) 2 )

>• cos

tr ² + Z arctg 2 t “ + 2 n k k - I

tr ² sin

Теорема 2 . Пусть A - максимальное собственное значение ковариантного оператора R гауссовского вектора Y . Тогда вероятность попадания Y в шар радиуса r равна:

2п r2

P (I Y H <  r ) ⁵ - I

^П 0

1             tr ²

sin t4J1 + (2 tA)2     2

Доказательство теоремы 1. Так как P(Y_H <  r ) = P(Y_H <  r ²), то по формуле обращения

1 +от - it 0        - itrr

^P(Y H ⁵ r ²> = Vr ²⁾ - F Y HH (0)-_ I it ^H(t)dt =

-от i   +от i       - itr2

1 r 1 - e

2 n ¹ it

-от

от

п k=1

4 1 - 2 itk

i +от i       -itr2

1     1 - e -itr dt = —

2п -от it 1Л J :iA„ л=1

1   (-1 - (cos tr ² - i sin tr ²)   ^{- ln} П V^{1 - 2 it A} k        1   , 1 - (cos tr ² - i sin tr ²)     ^{Z ln(1,2 i A} k )

— —⁽-------------) e ^k =      dt = — —⁽-------------) e ^{k +1}      dt .

2 n ¹           it                              2n ^J           it

-от                                                                     -от

Упростим вид функции, используя свойства функций комплексного переменного [4]: ln( 1 - 2 it A ) = ln 11 + 2it A I + i (arg( 1 - 2d A ) + 2 n k )

arg 1 - 2 it A ) = arctg 2 t “ + 2 n k .

Подставляя, получим

„,„,2 ,_x 1 V i cos tr ² + sin tr ² - i Z ^{ln(1 + (2 A ),) - 1} i Z ^{( arag 2} “k ² " k )

P (I Y H 5 r 2 ) = T- I------------------- e^k"        e   k = '

-от

Вновь воспользуемся свойствами функций комплексной переменной от                                                      от

• - 1 i ( ZZ arctg 2 1 “ + 2 n k )       Z ⁽ arctg ^{2 t A} k ^{+ 2 n k} )        Z ⁽ arctg ^{2 t A} k ^{+ 2 n k} )

e     ^k = 1               = cos - k =1------------------------- + i sin - k =1-------------------------

В дальнейшем для удобства расчетов введем следующие обозначения: от                                                          от

Z ( arctg 2 1 “ + 2 n k )        Z ( arctg 2 t k _k + 2 n k )

C = cos - k =1--------------------- , S = sin k =¹-------------------- .

Подставляя в формулу введенные обозначения, получим

1 Z ln(1 + (2 A _k ) ² )

k = 1 1 ^от „ 4

^P( Y H ⁵ r ^{2 )} = 5 П I 1⁼

-от

= C sin tr ² - iS sin tr ² + iC cos tr ² + S cos tr ² - iC - S ) dt =

1                    7

- -ln(1 + (2 A _k )²)

1 от

e

2 n ¹

-от

-----------( C sin tr² + S cos tr² - S ) dt +

t

ю

+- 4

2 n ^J

-ю

e ~⁴ ]^ ln(1 + (2 tX_k ) ² )

----k =1----------------- ( C cos tr ² - С - S sin tr ² ) dt .

t

Мнимая часть равна 0 , так как подынтегральная функция нечетна и рассматривается на всей оси ( -ю ; +ю ) . Тогда

P ( Y ² _H

1 ю

- ^r) =^J- 2 n ^J

-ю

1                    7

- -ln(1 + (2 t X k )²)

e ⁴

-------------( C sin tr + 5 cos tr- S ) dt .

t

Учтем следующее:

ю

^ arctg 21Xk + 2nk sin tr2 cos -k=1---------------------

. 2 •

+ cos tr sin

ю

^ arctg 2 1X_k + 2 n k

= cos

ю

^ arctg 21\ + 2nk tr2 + —--------------

—

ю

^ arctg 2tX + 2 nk sin k=1-----------------

ю tr2 + ^ arctg 2 tXk + 2nk

= 2 cos----—-------------

В итоге формула примет вид:

tr ² sin .

ю

^{2 п} -ю

1                  7

- —in(i + (2 t x )²)

e ⁴

-----------( C sin tr + S cos tr - S ) dt =

t

ю

= 2-f

^{2 п} -ю

1                   7

- -ln(1 + (2 t X _k )²) e ⁴

t

2cos

ю tr2 + ^ arctg 21Xk + 2nk

tr ² sin

dt =

ю

П J

-ю

1                   7

- — ln(1 + (2 t X )²) e ⁴

t

ю tr2 + ^ arctg 21Xk + 2nk cos----—------------

tr ² sin

dt .

Зная, что функция симметрична относительно начала координат, можно записать

ю

P (I Y H ^- r ²) = - J

-ю

- -ln(1 + (2 1 X _k )²) e ⁴

t

cos

ю tr2 + ^ arctg 21Xk + 2nk k=1

2 tr sin

dt .

V

Теорема доказана.

Доказательство теоремы 2. Практическое использование теоремы 1 затруднено, так как, во-первых, предполагается знание всех собственных значений X , а, во-вторых, под знаком интеграла стоят бесконечные суммы. Поэтому приходится ограничиваться оценками сверху изучаемой вероятности. Очевидно, что

I 1

exp i-^ Z ln(¹ + (2 t ^x k ))

I ² k = 1

⁴ П _v + (2 a „ ) ² ■ k = 1

Пусть X = max _ka X , тогда

1   111

• •<

t П V1 + (2 tX ) ²    t ^ ^{+ (2 t X} k ^{) 2}

k = 1

1   111

• •<

t П 4^ 1 + (2 t X ) ² t ^1 ⁺ (2 ^{t X} k ^{) 2}

k = 1

Поэтому

P ( Y_H

ro

< r) <-J ^П 0

1 4/ 1 + 4 1 ² X

tr ² sin      dt .

Рассмотрим подынтегральную функцию

1            tr p (t) = —,        sin —.

1 4j 1 + 4 1 ² X ²     2

r

Очевидно, что lim₍₀ p ( 1) ^ — , а значит функция p(t) является ограниченной . p(t) =0 при

1 = Ъгк . Графиком функции является синусоида t ^ ro ,p ( 1 ) ^ 0 . r ²

Поэтому

2 п 2

2 ^r

^Н<Г      ! 1411 + (2 t X )²

tr ² sin     dt .

Теорема доказана.

Таким образом, можно находить численные значения верхних оценок вероятностей P (| У |_я<  r )в зависимости от радиуса шара r и максимального собственного значения X ковариантного оператора R . Для некоторых значений r и X была составлена табл. 1.

Таблица 1

Верхние вероятности для P ( Y | <  r )

r	X = 1	X = 2	X = 3	r	X = 1	X = 2	X = 3
0,1	0,0583	0,0415	0,0340	2,6	0,7586	0,6693	0,6034
0,2	0,1139	0,0817	0,0671	2,7	0,7659	0,6807	0,6161
0,3	0,1169	0,1200	0,0993	2,8	0,7724	0,6914	0,6282
0,4	0,2171	0,1580	0,1306	2,9	0,7783	0,7013	0,6397
0,5	0,2647	0,1941	0,1610	3,0	0,7836	0,7106	0,6506
0,6	0,3096	0,2289	0,1905	3,1	0,7884	0,7193	0,6610
0,7	0,3520	0,2624	0,2191	3,2	0,7926	0,7273	0,6708
0,8	0,3917	0,2945	0,2469	3,3	0,7965	0,7348	0,6801
0,9	0,4289	0,3253	0,2737	3,4	0,7999	0,7418	0,6893
1,0	0,4637	0,3549	0,2997	3,5	0,8029	0,7482	0,6972
1,1	0,4960	0,3831	0,3248	3,6	0,8057	0,7542	0,7051
1,2	0,5260	0,4101	0,3490	3,7	0,8082	0,7598	0,7125
1,3	0,5538	0,4358	0,3724	3,8	0,8104	0,7650	0,7195
1,4	0,5795	0,4603	0,3949	3,9	0,7124	0,7698	0,7261
1,5	0,6031	0,4836	0,4166	4,0	0,8142	0,7742	0,7323
1,6	0,6248	0,5057	0,4374	4,1	0,8159	0,7783	0,7382
1,7	0,6446	0,5266	0,4574	4,2	0,8173	0,7821	0,7437

1,8	0,6628	0,5465	0,4766	4,3	0,8187	0,7856	0,7489
1,9	0,6793	0,5653	0,4951	4,4	0,8199	0,7889	0,7538
2,0	0,6943	0,5830	0,5127	4,5	0,8210	0,7919	0,7584
2,1	0,7079	0,5997	0,5296	4,6	0,8219	0,7947	0,7627
2,2	0,7202	0,6154	0,5458	4,7	0,8228	0,7973	0,7668
2,3	0,7313	0,6302	0,5612	4,8	0,8224	0,7997	0,7706
2,4	0,7414	0,6441	0,5759	4,9	0,8237	0,8019	0,7742
2,5	0,7504	0,6571	0,5900	5,0	0,8251	0,8040	0,7776

Верхние численные оценки в случае гауссовского времени безотказной работы вычислительной системы. Пусть

2п r2

t 4 1 + 4 t² X²

tr ² sin dt .

J ( X , r ) = - ^п 0

Если случайное время безотказной работы вычислительной системы является нормальным случайным полем, то его распределение, определяемое нормой пространства

C(K), можно оценить численно сверху. Для этого нужно только максимального собственного числа X ковариационного оператора R. неравенство вложения [5], имеем, что знать значение

Тогда, используя

постоянная a равна фиксированному числу, которое определяется точно в зависимости от числа переменных d случайного поля и пространства H , которое вложено в C(K).

Заключение. Данная работа посвящена надежности работы вычислительной системы. Одной из характеристик надежности вычислительной системы является случайное число ее отказов v(r). Распределение v(r) есть распределение суммы случайных времен Xi(t) безотказной работы вычислительной системы, i=1, „., n. Записать распределение v(r) в явном виде невозможно. Поэтому приходится искать оценку этих распределений сверху. В предположении, что время безотказной работы Xi(t) вычислительной системы есть сумма многих переменных, в данной работе получены следующие результаты:

– показано, что задачу оценки распределений случайного числа отказов системы можно рассматривать как задачу оценки скорости сходимости в центральной предельной теореме в банаховых пространствах;

– при наличии определенных ограничений на время безотказной работы X(t) вычислительной системы найдены верхние оценки для распределений F n (r) случайного числа отказов системы. Эти оценки могут быть записаны в виде

Г r — Tn А

Fn (r) < —+ cne (ln n)Y, где N(r) нормальное распределение; постоянные a,c определены ранее; показатели степени в-7 определены условиями на X(t);

– для нормального распределения N(r) найдены численные верхние оценки вида N ( r ) <  J( X , r ).

2 п

P ( Y_H

r ²

< r ) <- J 7T ^П 0

1 4/1 + (2 t X ) ²

tr ²

sin dt .

Полученные оценки могут быть использованы для дальнейших исследований в теории

∞ надежности вычислительных систем. Среднее число отказов системы H(r ) = ^Fn (r ), n-1

поэтому, зная верхние оценки для Fn(r) , можно получить верхние оценки для H(r) и прогнозировать уровень средних затрат на восстановление вычислительных систем.