О геометрически нелинейных определяющих соотношениях упругого материала

Бесплатный доступ

В задачах механики деформируемого твердого тела часто возникает необходимость использования определяющих (физических) соотношений в скоростной форме, например, при формулировке в скоростях постановки краевой задачи с контактными условиями, когда области контакта априори неизвестны и изменяются в процессе деформирования. В статье рассматриваются некоторые вопросы построения геометрически нелинейных определяющих соотношений упругого материала в скоростной форме, а также взаимосвязь этих соотношений с определяющими уравнениями в конечной форме. Во многих существующих моделях упругих и упругопластических тел в качестве определяющего соотношения используется закон Гука, записанный в терминах актуальной конфигурации. В качестве скоростной меры деформированного состояния, как правило, принимается тензор деформации скорости, а напряженного - некоторая не зависящая от выбора системы отсчета производная (конвективная или коротационная) взвешенного тензора напряжений Кирхгоффа. Вследствие определенных сложностей при использовании конвективных производных (например, трудностей анализа эволюции изменения напряженного состояния по компонентам тензора в деформируемом базисе) они из рассмотрения исключены. Использование вместо материальной производной (по времени) тензора напряжений его коротационной производной позволяет удовлетворить принципу материальной индифферентности (независимости определяющего соотношения от выбора системы отсчета), однако выбор вида производной может быть осуществлен множеством способов. Произвольный выбор коротационной производной меры напряжений приводит к нежелательным эффектам: осцилляциям напряжений при монотонной деформации простого сдвига (например, для производной Зарембы-Яуманна), «незамкнутости» траекторий напряжений и отличию от нуля работы напряжений на замкнутой траектории деформаций. В работах A. Meyers, H. Xiao, O. Bruhns предложена коротационная производная (спин которой в литературе носит название логарифмического спина), обладающая следующим свойством: эта производная от правого тензора деформации Генки в точности равна тензору деформации скорости. При использовании этой производной в определяющем соотношении описанные эффекты отсутствуют, на основании чего предложившие ее авторы констатируют ее исключительность, рекомендуя только ее к использованию в определяющих соотношениях в скоростной форме.

Еще

Коротационные производные, скоростная и конечная форма определяющих соотношений, закон гука, коротационное интегрирование, независимость от выбора системы отсчета

Короткий адрес: https://sciup.org/146211570

IDR: 146211570   |   DOI: 10.15593/perm.mech/2015.3.13

Список литературы О геометрически нелинейных определяющих соотношениях упругого материала

  • Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. -Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. -262 с.
  • Левитас В.И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении. -Киев: Наукова думка, 1987. -232 с.
  • Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. -М.: Наука, 1986. -232 с.
  • Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. -М.: Наука, 1980. -512 с.
  • Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. -М.: Мир, 1975. -542 с.
  • Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. -М.: Мир, 1986. -318 с.
  • Новокшанов Р.С., Роговой А.А. Эволюционные определяющие соотношения для конечных вязкоупругих деформаций//Известия РАН. Механика твердого тела. -2005. -№ 4. -С. 122-140.
  • Rogovoy A.A. Formalized approach to construction of the state equations for complex media under finite deformations//Continuum Mechanics and Thermodynamics. -2012. -Vol. 24. -Р. 81-114. DOI: DOI: 10.1007/s00161-011-0220-y
  • Маркин А.А., Толоконников Л.А. Меры и определяющие соотношения конечного упругопластического деформирования//Прикладные проблемы прочности и пластичности: всесоюзн. межвуз. сб. -Горький: Изд-во Горьк. ун-та, 1987. -С. 32-37.
  • Truesdell C., Noll W. The non-linear field theories of mechanics. -Berlin: Springer, 1965. -602 p.
  • Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. -М.: Мир, 1975. -592 с.
  • Oldroid J.G. On the formulation of reological equations of state//Proc. Roy. Soc. London A. -1950. -Vol. 200. -Р. 523-541.
  • Cotter B.A., Rivlin R.S. Tensors associated with time-dependent stress//Quart. Appl. Math. -1955. -Vol. 13. -No. 2. -Р. 177-188.
  • Прагер В. Введение в механику сплошных сред. -М.: Изд-во иностр. лит., 1963. -312 с.
  • Xiao H., Bruhns O.T., Meyers A. Hypo-elasticity model based upon the logarithmic stress rate//J. Elasticity. -1997. -Vol. 47. -P. 51-68.
  • Xiao H., Bruhns O.T., Meyers A. Logarithmic strain, logarithmic spin and logarithmic rate//Acta Mechanica. -1997. -Vol. 124. -P. 89-105.
  • Meyers A., Xiao H. and Bruhns O. Elastic stress ratchetting and corotational stress rates//Technische mechanik. -2003. -Vol. 23. -P. 92-102.
  • Bruhns O.T., Xiao H., Meyers A. Large simple shear and torsion problems in kinematic hardening elasto-plasticity with logarithmic rate//Int. J. of Solids and Structures. -2001. -Vol. 38. -P. 8701-8722.
  • McDowell D. L. A perspective on trends in multiscale plasticity//Int. J. Plasticity. -2010. -Vol. 26. -Р. 1280-1309. DOI: 02.008 DOI: 10.1016/j.ijplas.2010
  • Trusov P.V., Ashikhmin V.N., Volegov P.S., Shveykin A.I. Constitutive relations and their application to the description of microstructure evolution//Physical Mesomechanics. -2010. -Vol. 13. -Iss. 1-2. -P. 38-46.
  • Trusov P.V., Shveykin A.I. Multilevel crystal plasticity models of single-and polycrystals. Statistical models//Physical Mesomechanics. -2013. -Vol. 16. -No. 1. -P. 23-33.
  • Trusov P.V., Shveykin A.I. Multilevel crystal plasticity models of single-and polycrystals. Direct models//Physical Mesomechanics. -2013. -Vol. 16. -No. 2. -P. 99-124.
  • Trusov P.V., Shveykin A.I., Nechaeva E.S., Volegov P.S. Multilevel models of inelastic deformation of materials and their application for description of internal structure evolution//Physical Mesomechanics. -2012. -Vol. 15. -Iss. 3-4. -P. 155-175.
  • Трусов П.В., Нечаева Е.С., Швейкин А.И. Применение несимметричных мер напряженного и деформированного состояния при построении конститутивных моделей материалов//Физическая мезомеханика. -2013. -Т. 16, № 2. -С. 15-31.
  • Zaremba S. Sur une forme perfectionnée de la théorie de la relaxation//Bull. Int. Acad. Sci. Cracovie. -1903. -Р. 595-614.
  • Jaumann G. Geschlossenes System physikalischer und chemischer Differential-gesetze//Sitzber. Akad. Wiss. Wien, Abt. IIa. -1911. -В. 120. -S. 385-530.
  • Green A. E., Naghdi P. M. A general theory of an elasto-plastic continuum//Arch. Rat. Mech. Anal. -1965. -Vol. 18. -Р. 251-281.
  • Reinhardt W.D., Dubey R.N. Eulerian strain-rate as a rate of logarithmic strain//Mechanics Research Communications. -1995. -Vol. 22. -P. 165-170.
  • Reinhardt W.D., Dubey R.N. Coordinate-independent representation of spins in continuum mechanics//Journal of Elasticity. -1996. -Vol. 42. -P. 133-144.
Еще
Статья научная