О коэрцитивной разрешимости нелокальных краевых задач для параболических уравнений

область определения D ; р G D. К такой задаче сводятся различные краевые задачи для эволюционных уравнений в частных производных (см. [1]).

Будем предпологать, что

• 1)    при любых t G [0,1] и р с Rep >  0 оператор A(t) + pl имеет ограниченный обратный, причем

| |[A(t)+ pl ] -^ | _Е ^ _Е 6 М(1 + | р | ) ^{- 1}

(согласно [2], оператор A(t) принято называть сильно позитивным);

• 2)    для любых t,s,T G [0,1] справедливо неравенство

|| [ A(t) - A(s)] A ^{- 1} ( t ) I _;    . 6 М | t - s | ^e , 0 6 1.

Функцию v(t) назовем решением задачи (1), если выполнены следующие условия:

• 1)    функция v(t) непрерывно дифференцируема на отрезке [0,1];

• 2)    элемент v(t) принадлежит D = D(A(t)) при каждом t G [0,1] и A(t)v(t) непрерывна на [0, 1];

• 3)    функция v(t) удовлетворяет уравнению и нелокальному краевому условию (1).

Задача (1) имеет единственное непрерывно дифференцируемое решение v(t) при определенных ограничениях на р, достаточно гладких функций f (t), и для её решения справедлива формула

A                           t

^{v ( t )} = ^{v ( t}, ⁰Ж -

у(А 0))-1{р + У v(X,s)f (s)ds} + У v(t,s)f (s)ds, где v(t, s) — фундаментальное решение уравнения (1), называемое также эволюционной оператор-функцией (см. [1, 9]). Она определяется из соотношения

t

или

v ( t, s) = exp {- (t

-

s)A(t) } + У

s

t

v(t, s) = exp {- (t - s)A(s) } + У

s

exp {- (t — t 1 )A(t) } [A(t) — A(t 1 )]v(t 1 , s)dt 1

v(t,t i )[A(s) - A(t i )] exp {- (t i

— s)A(s) } dt i

и удовлетворяет следующим условиям:

• 1)    оператор v(t, s) сильно непрерывен по t и s (0 <  s <  t <  1);

• 2)    v(t, s) = v(t, t ) v ( t, s), v(t, t) = 1 , 0 <  s <  t <  t <  1;

• 3)    оператор v(t, s) отображает область определения D = D(A(t)) в себя, оператор n(t, s) = A(t)v(t, s)A ^{- 1} (s) ограничен, сильно непрерывен по t и s (0 <  s <  t <  1);

• 4)    на области D оператор v(t, s) сильно дифференцируем по t и s, причем

dv(t,s)         .. . , .      dv(t,s)       , .      .

---ЕТ  = ^{- A ( t ) v ( t}, ^{s )},    --- я---- = ^{v ( t}, ^{s ) A ( s )} . ot                       os

Определение . Говорят, что задача (1) коэрцитивно разрешима в некотором бана ховом пространстве F(Е) = Ғ([0,1],Е) функций f(t) со значениями в Е на [0,1] , если для всякой f G Ғ(Е) существует единственное решение задачи (1), причем V ’ и A(t)v принадлежат тому же пространству Ғ(Е) (см. [3]).

Введем банахово пространство Cq’7 (Е) = Cq’7 ([0,1],Е)(0 <7 < 3, 0 < 3 < 1) полученное замыканием множества всех гладких функций f (t), определенных на отрезке [0,1] со значениями из Е в норме lf Ис^7 (Е)

= ll^f ІІС(Е) ⁺

sup 0 < t<1

(t + T) ⁷ I f(t + T) - f(t) | _E T d

Здесь под С (Е) = С ([0,1],Е) понимается банахово пространство определенных на [0,1] со значениями в Е непрерывных функций f (t) с нормой

II/llc(E) = ₀™ ^ ^{f ( t )I} E •

Таким образом, при 3 = а и 7 = 0 пространство С “’ ⁰ (Е) = С “’ ⁰ ([0,1],Е) (0 < а < 1) совпадает с пространством С “ (Е) = С “ ([0,1], Е) (0 <  а <  1), норма в котором имеет вид

^{I f} llc“(E)

= ^{I f} llc(E)

+ sup

0 < t<1

I f ( t + T ) - f(t) l E T “

А при 7 = 3 = а пространство С“’“(Е) = С“’“([0,1], Е) (0 < а < 1) совпадает с простран ством С“(Е) = С“([0,1],Е)(0 < а < 1) с нормой

^{I f} H c^, 0 ^ (E)

— ^If lie ( E )

+ sup

0 < t+T<1

^ ^{I f ( t + t} ) ^{- f ( t )|} E t “

причем нормы этих пространств равномерно по а € (0,1) эквивалентны.

Обозначим через Е “ = Е “ ^ (A(t), Е ) (0 < а < 1) дробные пространства с нормой

IIuIe^ = sup 21-“ P(t)exp{-z^(t)}u|E + I^Ie , состоящие из всех элементов и € Е, для которых эта норма конечна.

Из результатов работы [4] следует, что пространство Е “ не зависит от t в силу предположения D(A(t)) = D, то есть, что | u | e « эквивалентна | u | e s при любых t, s € [0,1]. В дальнейшем пространство Е “ обозначается просто Е _а .

Известно, что самых общих требований (A(t ) — неограниченный сильно позитивный оператор, порождающий аналитическую полугруппу в некотором банаховом пространстве Е ) недостаточно для коэрцитивной разрешимости неоднородной задачи Коши, а также рассматриваемой нелокальной задачи (1) в пространстве непрерывных функций С (Е) (см., например, [9-11]). С этой точки зрения важно выделить классы функций на отрезке со значениями в Е , где при таких общих предположениях относительно A(t) неоднородная нелокальная краевая задача (1) коэрцитивно разрешима. Один из таких классов — описанные выше пространства С д’⁷ (Е), был введен А. Ашыралыевым и П. Е. Соболевским [6, 9, 10]. В работах [6, 10] были получены оценки и доказана коэрцитивная разрешимость задачи (1) с постоянным оператором A(t) = A в пространствах С д’⁷ (Е) и С ^’⁷ ( Е _{а -} р ) = С д’⁷ ([0,1],Е “ - ^ ) (0 < 7 <  3 <  а, 0 < а <  1). Основной результат настоящей статьи — это теорема 4, где доказывается аналогичная оценка для задачи (1) с переменным оператором в пространстве С д’⁷ (Е).

Отметим, что ряд оценок для задачи (1) в случае переменного оператора был получен в [11,12]. Однако они были связаны с завышенными предположениями относительно / или ^. Для сравнения удобно привести здесь эти результаты.

Теорема 1. Пусть A(0)^ + /(А) — /(0) € Ед’7, / € Сд’7(Е) при некоторых 0 < 7 < 3, 0 < 3 < е < 1. Тогда для единственного решения задачи (1) в Сд’7(Е) справедливо неравенство коэрцитивности llv Нс^7(E) + HA(-)v|C^7(E) <

< M [ | A(0)^ + /(А) — f(0) | 5’⁷ + 5(1^5) I f I _C J-(E) ]

с постоянной M , не зависящей от 3,7,^ и f • Здесь Е д’⁷ - банахово пространство, состоящее из всех элементов w € Е таких, что конечна норма

Но’⁷ = max ^| e ^{- zA ( t )} w ^| + sup     t - ^ (2 + t ) ^{7 ||} (e ^{- ( z + T ) A ( t )} — e ^{- z}^ ^{( t )} )w ^|

⁰ < ^z < 1 II             ll^E 0 < z<1                                                 ll^E

(с точностью до эквивалентности, эта норма не зависит от t Е [0,1]).

Теорема 2 . Пусть A(0)“ + /(А) — /(0) Е Е _а - 7 , J Е C q'^ ( Е _{а -} р ) при некоторых 0 <  7 <  3 <  а < Е <  1, 0 < а < 1 . Тогда задача (1) коэрцитивно разрешима в Cq’^ ( Е _{а -} р ) и для её единственного решения "(t) справедливо неравенство

^‘ У с ^’ ⁷ ( Е _а—_Э ) ⁺ HCNIc P’ ⁷ ( _{Е аЧЗ} ) + || у ^, У _С ( _{Б а} - ₇ ) <

<М [ а »A<»)“+/ w—/ <0)Ле.-, + ,   ',;«/W’ (Е„-, >] - где М не зависит от а, 3,7,“ и /.

В настоящей работе доказывается усиленная оценка в предположениях A(0)“ + /(А) — /(0) Е Е р - ^ и / Е C q’⁷ (E). Она опирается на соответствующую оценку, полученную в [7] для задачи Коши:

" ( t ) + A(t)"(t) = J(t) (0 <  t <  1), "(0) = "₀.                        (2)

Теорема 3 . Пусть " , = J (0) — A (0) " q Е Е р ₇ , J Е С^ (E) при некоторых 0 <  7 < 3 < Е <  1, 0 <  3 <  1 . Тогда задача (2) коэрцитивно разрешима в С ^р,у ( Е ) и для её единственного решения "(t) справедливо неравенство коэрцитивности

I ¹ " Уф’ ⁷ ( Е ) ⁺ МСМф’⁷ ( Е ) ⁺ I ¹ " У с ( Е р - 7 ) <

• < ^М [ 3 — 7 MU- 7 ⁺ 3(1 — з) ^J с ( ^е ) ]                ⁽³⁾

с постоянной М, не зависящей от 3,7," о и / .

В конце введения приведем вспомогательные результаты, которые будем использовать при доказательстве основной теоремы.

Так, известно, что для аналитической полугруппы справедливы оценки (см. [5, 9]):

||exp ^{{—( t —} s ⁾ ^ ^{( t )}}« _E^_s <  ^М exp ^{— 6 ^{( t —} s ^)} , ^t > s, ^М >  0, 5 >  0,

• ¹¹ I ' ' - ■x ^p{ - ^{— s}M^{( t )} 11}        <  _{( t} ^М , ⁰     - <  1,

11 z ^{1 -} “ A ^{1 -} “ (t) exp {— zA(t)}||_{E e} <  М, z >  0, 0 < а <  1,

||exp {— (t + t — s ) A ( t + t ) } — exp {— (t + t — s)A(t) }|_E^_E<  Мт ^e , 0 <  е <  1.

Далее, в [5,9,11,12] для "(t, s) получены следующие леммы.

Лемма 1. Для любых 0 <  s < t <  1 , 0 <  а <  1, 0 <  е <  1 верны оценки

r;/,^{s )} e , е <  ^М,

11 ^A1+ " (_i)"(t,s) ^A-1 (s) 11 e ^ e <  (f^ ’

11 A ¹⁺ “ (t)"(t,s) 11       <  ^М^ ,

V V      e ^ e — ( t — _S) 1+“

« " ^{( t},^{s ) — e} xp ^{{—( t — s} i A ; / i j _e , _e <  ^{м ( t — s ) e} ,

• ^{11 A 1+} “ ^{( t )[} " ^{( t},^{s ) — e} xp ^{{ —( t — s ) A ( t )}] 11} e ^ e <  (T T ^ A - A ,

• ^{11 A 1+} “ ^{( t )[} " ^{( t,s ) — ex} p ^{{ —( t — s ) A ( t )}] A - 1 ( s ) 11} _e ^ _e <  ^{М ( t — s ) e -} “ ,

где М не зависит от t, s, а и Е.

Лемма 2. Для любых 0 <  s < t < t + т <  1 , 0 <  a <  1, 0 < Е <  1 справедливы оценки ll«^{( t} + ^{T,s )} - V ^{( t,s )} ^ _E^_E <  ^Mp,

^ A ^{( t} + ^T )« ^{( t} + ^{T,s )} - A ^{( t}')-u ^{( t,s}' ) ^ _E^_E <  t — s, ^{1 A ( t} + ^T )« ^{( t} + ^T, ^{s ) A} - ^{1 ( s )} - ^A(^{t )} v(^{t, s ) A} - ^{1 ( s )} || _E^_E <  ^My, где y = t ^e + (_t- “ ) _a и M не зависит от t, s,T,a и Е.

Лемма 3. Пусть A(t) A ^{- 1} (р) = A(t + A)A ^{- 1} (р) при некоторых 0 <  t <  t + А, р Е [0,1] . Тогда для любых 0 <  s < t <  t + А, и Е D справедливо тождество

«(t, s)u = «(t + A, s + А)и.

Лемма 4. Пусть выполняются условия леммы 1.3. Тогда оператор I — « ( А, 0) имеет ограниченный обратный и справедливы неравенства

II (I — «(А"'| ||_; ^ < М.

II A(0)(I — ^(А, 0)Г ¹ A - ¹ (A) 11 _E^_E < М.

Опираясь на норму в Е _а , из последней леммы нетрудно вывести, что

|| A(0)(I — «(А, 0)) ^{- 1} A ^{- 1} (A) 11 ,        < М, 0 1.                   (4)

Наконец, удобно будет представить « 0 в виде суммы следующим образом:

« 0 = « ‘ (0) = — A(0)«(0) + / (0) =

= — A(0)(I — «(А, 0)) ^{- 1} { р + У « ( A._S ) _$ (,)<<, } + / (0) =

= A(0)(I — «(А, 0)) - ¹ [ «(А,,)(/(А) — /(.))d, —

• —    A(0)(I — «(А, 0)) ^{- 1} j «(А, ₅)[A(A) — A(s)] A ^{- 1} (А)/(А)і. — 0

• — A(0)(I — «(А, 0)) ^{- 1} ((I — «(А, 0))A ^{- 1} (А)/(А) + р ) + /(0) =

= A(0)(I — «(А, 0)) ^{- 1 j} «(А,.)(/(А) — /(.))d, —

• —    A(0)(I — «(А, 0)) ^{- 1 j} «(А, ₅)[A(A) — A(s)] A ^{- 1} (А)/(А)і. —

  - A(0)A ^{- 1} (A)/(А) — A(0)(I — «(А, 0)) ^{- 1} р + / (0) =

= Л(0)(/ - .(Л, 0)) ^{- 1} J .(Л, s)(/ (Л) - / ( s )) ds —

A

• — А(0)(І — . ( Л, 0)) ^{— 1} j .(Л, «)[^4(Л) — A(s)]A ^{- 1} (Л)/ ( Л' ) ds +

+А(0)(І — .(Л, 0)) ^{- 1} А ^{- 1} (0)( — А(0)м — / (Л) + / (0))+

+А(0)(Г — .(Л, 0)) ^{- 1} .(Л, 0)(А ^{- 1} (Л)/(Л) — А ^{- 1} (0)/(0)) +

+А(0)(Г — .(Л, 0)) ^{- 1} .(Л, 0)А ^{- 1} (Л)(А(Л) — А(0))А ^{- 1} (0)/(Л) =

= 11 + І2 + І3 + І4, где

A

һ = А(0)(І — .(Л, 0)) ^-1/

. ^{( Л,s )( / ( Л ) — / ( s )) ds},

A

І 2 = — А(О)(І — .(Л, О)) ^{- 1} J. ( Л, s)[А(Л) — А(s)]А ^{- 1} (Л)/(Л)ds, 0

І з = А(О)(І — .(Л, 0)) ^{- 1} А ^{- 1} (0)( — А(0)^ — / (Л) + / (0)), І 4 = А(0)(І — .(Л, 0)) ^{- 1} .(Л, 0)(А ^{- 1} (Л)/(Л) — А ^{- 1} (0)/(0))+ +А(0)(І — .(Л, 0)) ^{- 1} .(Л, 0)А ^{- 1} (Л)(А(Л) — А(0)) А ^{- 1} (0) / (Л).

• 2.    Формулировка и доказательство основной теоремы

Для нелокальной краевой задачи (1) справедлива следующая теорема.

Теорема 4 . Пусть А(0)^ + /(Л) — /(0) G Е р - ₇ , / G С ^р’⁷ ( Е ) при некоторых 0 — 7 < 3 < £ — 1, 0 <  3 < 1 . Тогда задача (1) коэрцитивно разрешима в C q’⁷ (Е) и для её единственного решения .(t) справедливо неравенство коэрцитивности

ІИІС^⁷ < Е ) ⁺ IKNIc^ < Е ) ⁺ Ц.’^с < Е _Р- , ) ^-

• -    ^М [ 3 — 7 Н ^{А (0)} ^ ^{+ / ( Л ) — / (0) |} е , - ₇ ⁺ 3(1 _— з) ^{Н /} И с .’ ⁷ <Е) ],             ⁽⁵⁾

где М не зависит от 3,7, ^ и / .

Доказательство . Воспользуемся неравенством (3), полученным для задачи Коши. Достаточно установить следующую оценку:

^ . 0 ^ Е . - , = Н /(0) — ЛМ.МІ І Е , -. , -

• -    ^М [ н ^а<0) м + /(Л) — / (0) Н е , _ , + _{3 (r}^J— _{3 )} Н / Н с-„ < е ) ] •               (6)

Поэтому нужно получить оценки для І 1 ,І 2 ,І з и І 4 в норме Е р - 7 . Вначале оценим І 1 . Верна оценка

A

У ^{А ( Л )} . ^{( Л}, ^{s )( / ( Л ) — / ( s )) ds} 0

Действительно, zl-(,-l)

A

А(А) exp {- zА(A) } J о

^{А ( A )} v ^{( A}.^{s )( / (} А) - ^/ ( s^^ds

-

Е

A

• ^{- z 1 - , + 7} У II А ^{2 ( А ) e} xp ^{-^^{( A )}} v ⁽ £, ^{s )} || _Е^_Е II/^{( А ) - / ( s )} ||_Б ^{ds -} о

A

• < *^ I min [1. (^] (^А -      s I / И е--(Е) <

о

A

• < м г 1-Р+ і [   ^{( А} - ^{s ) , ds}

• - ^{М 1 z}     / (z + А - s) ² A 1 ^М^-7 (^Е) "

о

Рассмотрим два случая: z — А и z > А. Пусть сначала z - А. Тогда

A                            A

1-,+, г..•„     ,-, г     ds        _1_ z / (z + А - а)2А2 - z J (z + А - s)2^ - 1 - 3'

оо

Пусть теперь z > А, тогда

1-6+7 Г (А - ■ds z J (z + А - s)2 А -

1 z d - і А і

A / о

ds

(А - s) ^{1 - d}

А ^; '         1

3z d ^-1 <  3"

Поэтому для любого z >  0 получим

_z ^{1 - , +} 7

A

/ о

(А - s) ^d ds          1

(z + А - s) ² A 7 <  3(1 - 3)"

Итак, установили, что

_z ^{1 - ( , -} 7 ⁾

A

^(А) exp {- zЛ(A) } j Л(A)v(A,s)(/(А) - /(s))ds о

М

< 3(1 - 3)     ^{I c} o’ ⁷ ( ^е ) "

Е

Отсюда следует (7). Воспользовавшись оценками (4) и (7), получаем

» ^а 1 « е . - , - |^(0)(/ - »(^А, ⁰ )) ^{- 1} ^ ^{- 1} (^А) | е ,_ ^ е , - , ^х

X

A j A(A)v(A,s)(/(А) -/(s))ds о

М

^- 3(1 - 3) ^{| /} М---(^Е) , ^е , - ,

Теперь оценим I 2 :

| 1 ² » Е,- - I ^(0)(I - П(^А. 0)) ^{- 1} Л ^{- 1} ( А ) Н е,_ ^ е , - - X

X

A j А(Х)^(А,^ЗА(Х) -A(s)U-1(AYf (A)ds о

М

^- 3(1 - 3) ^{| /} М^-- ( ^Е ) " ^е , - -

Так как здесь имеет место оценка

л

У A ( A> ( A, s)[A(A) - A(s)]A ^{- 1} (A)/(A)ds 0

Действительно,

_г 1 ^- (^{р -} 7)

M

< 3 (1 - 3)    M’⁷ (^Е) '

^{Е ,-} 7

л

A(t) exp {- гA(A) } J A(A)v(A, s)[A(A) - A(s)]A ^{- 1} (A)/(A)ds 0

≤

Е

л

< г '    / l| A ² (t)exp {- xA(A)MA,s )L _E || [A(A) - A ( « )] A ^{- 1} ( A ) ^ _e ^ _e

II/(А) Н _В ds <

л

< Мг ^{1 - р + 7} j min

_г ² ’(A

-

_s) 2 ^{( A} S^)£ds ll.f lie,’ ⁷ (Е) <

л

< M - 1 - P+7 ( ^{( A - s ) e ds} Ilf

- ^{М 1 г}      У (г + A - s) ^{2 I /} M’⁷ (^Е) ■

Пусть сначала г <  A, тогда получаем

л

1 - 0+7 / ^{( A - s}^^ds J (г + A - s) ² 0

≤

л г1-PA7 [ 7У J (г + A

ds

A ⁷

-

s) ² — P <  1 - 3 <

1 - 3"

Пусть г > A, тогда

л

_г ^{1 - р +} 7

Г (A - s ) ^p ds

J (г + A - s) ²

-

≤

-

1 г ^р- 7

Л f ds

J (A — ) 0

A ^e

A ^e

^{1 - e}    ег ^р-7 <  eA ^p-7    3'

Поэтому для любого г >  0

л

_г 1 - Р+7

Г (A - s) ^e ds

J ^{( г + A - s ) 2    3 (1 - 3 )}

Итак, г1-(р-7)

л

A(A) exp {- гA(A) } j A(A)v(A, s)[A(A) — A(s)]A ^{- 1} (A)/(A)ds 0

Е

≤

< 3 (1 - 3 )    M’⁷ ( ^е ) '

Отсюда получаем (8).

Воспользовавшись оценкой (4), оценим I 3 в норме Е р - 7 :

Мін <  |A(0)(I - v(A,0)) ^{- 1} A ^{- 1} (A) ||е , _{- 7} ^ Е , - , H- A«»M - /(A) + /(0) « Е , - , <

< M ||A(0)fz + /(A) - / (0) | е , _{- 7} .

Наконец, получим оценку для І 4 . Справедлива оценка

|| Л(А)п(А,0)((Л ^{- 1} (А)/(А) - Л ^{- 1} (0)/(0)) + Л ^{- 1} (А)(Л(А) - Л(0))Л ^{- 1} (0)7(А))^ — ' <

< м а / А с ,„ .                                  (9)

Действительно, zHy-7) ц Л2(А) exp{-гЛ(А)}«(А, 0)((Л-1(А)/(А) - Л-1(0)/(0))+

+Л ^{- 1} (А)(Л(А) - Л(0))Л ^{- 1} (0)/(А)) А е <

< _г ^{1 -/3 + 7} || ^{Л 2 ( А )ех} р ^{- ^^{Л ( А )}У и ^{( А},Ш.-1 'Ш _/; ,_/; х

х ( А /(А) А е + | Л ( А ) Л ^{- 1} (0) | е ^ е А /(0) А е + | [Л(А) - Л (0)] Л ^{- 1} (0) | е ^ е А /(А) А е ) <

1 - 8+7

• < ^{М +} min |-, _А j А / А _с ,п (Е) <  Z _{+ A}   А / А с »⁷ (Е) <  ^М 1 ^А " ^{Д + 7} А / А с »⁷( е ) .

• ■         A-tf-7) а л ² (А)ехр {- гЛ(А)МА, 0)((Л ^{- 1} (А)/(А) - Л ^{- 1} (0)/(0)) +

+Л ^{- 1} (А)(Л(А) - Л(0))Л ^{- 1} (0)/(А)) А е < М , А ^{1 7} А / А с». ,_м •

Отсюда следует (9). В силу (4) и (9) имеем, что

АМе,-, < |Л(0)(І - v(A,0))-1л-1 (а)|е,-7^в,-, х х |Л(А)п(А, 0)((Л-1(А)/(А) - Л-1(0)/(0)) + Л-1(А)(Л(А) - Л(0))Л-1(0)/(А))|в,-7 <

< ^{М А / А} С ^ ⁷ (Е) •

Объединив оценки для І 1 , І 2 , І 3 и І 4 , получаем (6). Используя оценку (6) в правой части неравенствa (3), получим неравенство коэрцитивности (5). Теорема 4 доказана.

Теорема 7 . Пусть А (0) р + /(А) — /(0) = 0 , / Е С “ ( Е ) при некоторых 0 < а <  е <  1 . Тогда задача (1) коэрцитивно разрешима в С “ ( Е ) и справедливо неравенство коэрцитивности

1И1 с “ ( Е ) ⁺ ll^{A( . ) v |} C “ (E) <  _а(і - _а) II/ІІС “ (E) , где М не зависит от а и /.

В пространстве Гёльдера С “ ( Е ) справедливо следующее утверждение.

Теорема 8 . Пусть р Е D ( A(t)), / Е С “ ( Е ) при некоторых 0 < а <  е <  1 . Тогда задача (1) коэрцитивно разрешима в С “ (Е) и справедливо неравенство коэрцитивности

11^’Нс“(Е) + ИСНІСОЧЕ) < М [іІА(0)рІІЕ + а(1 -а) ^llc0“(E)j , где М не зависит от а,р и /.