О коллинеарности завихренности и скорости за отошедшим скачком уплотнения

При обтекании однородным сверхзвуковым потоком отошедший головной скачок уплотнения образуется около тела, с затупленной носовой частью или с большим углом наклона, в передней угловой точке, превышающим предельный угол, до которого возможен присоединенный скачок. Поверхность этого скачка, искривленная и выпуклая в сторону набегающего потока, поэтому течение за. ним вихревое. Для общего пространственного случая показано [1], что в течении за. отошедшим скачком уплотнения вихревые линии замкнуты и один раз охватывают линию тока, которая пересекает скачок по нормали (лидирующая линия тока).

В [1] показано, что всюду, кроме лидирующей линии тока и передней точки торможения, завихренность отлична от нуля. При этом на самой лидирующей линии тока завихренность равна нулю. В общем несимметричном случае вопрос о завихренности в передней точке торможения в настоящее время остается открытым. Однако в [2] при дополнительном предположении о гладкости несимметричной выпуклой носовой части показано, что завихренность в передней точке торможения равна нулю, а лидирующая линия тока совпадает с линией торможения. В любом случае векторное произведение скорости газа V и завихренности Q = rotV на всей лидирующей линии тока и в передней точке торможения равно нулю. При этом в остальных точках течения (в такой области между скачком и носовой частью, в которой нет других скачков и иных разрывов) как завихренность, так и скорость отличны от нуля. В осесимметричном случае угол между завихренностью и скоростью равен 90 градусам. В несимметричном случае этот угол может отличаться от 90 градусов. Основной результат статьи [3] состоит в обосновании того, что векторные линии векторного произведения скорости и градиента энтропии замкнуты и один раз охватывают лидирующую линию тока. При этом в [3] без доказательства было принято (и использовано для получения основного результата), что ненулевые скорость и завихренность не могут быть коллинеарными (то есть всюду Q х V = 0, если только | Q | • | V | = 0). В настоящей статье приводится доказательство этого утверждения. При этом рассматривается такая область течения между скачком и носовой частью, в которой нет других скачков и иных разрывом. В такой области параметры течения будем считать дважды непрерывно дифференцируемыми.

2.    Движение воображаемой среды

Сформулируем следствие из критерия Гельмгольца-Зоравского [4] для частного случая стационарного и соленоидального векторного поля с.

Если в области G выполнено равенство с х rot(c х q) = 0, (1)

где div с = 0, dq/dt = 0 и дс/dt = 0, то воображаемые частицы, составляющие в некоторый момент времени сегмент векторной линии с, лежащий в области G, двигаясь со скоростью q. будут составлять сегмент одной из векторных линий с в каыедый последующий момент времени (до тех пор, пока эти частицы находятся в области G). Такие воображаемые частицы будем называть (/-частицами. Ниже в качестве вектора с будет рассмотрен вектор завихренности Q = rotV, где V - скорость газа.

Исходя из анализа полных (без каких-либо упрощающих допущений) уравнений Эйлера, в [1] доказано следующее.

Утверждение 1. Вихревые линии стационарных изоэнергетических (изоэнталъпий-ных) течений газа переносятся воображаемыми частицами, движущимися со скоростью q o = (p/Po)^1—s V; ⁸ де ро - произвольная положительная константа, имеющая размерность плотности.

Поскольку рассматриваемый в настоящей статье набегающий сверхзвуковой поток однороден, течение за скачком будет изоэнергетическим, и для него справедливо утверждение 1. При доказательстве этого утверждения в [1] было показано, что qo удовлетворяет (1), если под вектором с понимать завихренность Q. В силу свойств векторного произведения, поле скорости q i = q o + A Q, где A - произвольное гладкое скалярное поле, также будет удовлетворять уравнению (1). Отсюда, с учетом замкнутости вихревых линий (см. введение), вытекает следующее.

Утверждение 2. q-частицы, составляющие замкнутую вихревую линию в некоторый момент времени, двигаясь со скоростью q 1 = (p/po)^1-fc V — A Q, где A - произвольное гладкое скалярное поле, будут составлять одну из замкнутых вихревых линий в каждый последующий момент времени (до тех пор, пока эти частицы находятся в рассматриваемой области течения).

Как сказано во введении, основной результат [3] опирается на предположение о том, что при ненулевых скорости и завихренности векторное произведение Q х V отлично от нуля. Ниже будет использовано следующее утверждение, полученное в [3], при выводе которого предположение Q х V = 0 не использовалось (и поэтому следующее утверждение можно использовать при доказательстве того факта, что Q х V = 0).

Утверждение 3. Пусть в течении за отошедшим головным скачком замкнутая кривая леэюит на изоэнтропийной поверхности и один раз охватывает лидирующую линию тока (линию нулевой завихренности). Тогда циркуляция скорости газа по такой кривой равна нулю.

3.    Угол между скоростью и завихренностью

Покажем, что всюду за скачком перед головной частью обтекаемого тела, кроме лидирующей линии и передней точки торможения, угол р между скоростью V и завихренностью Q отличен от нуля и от 180 градусов. Как было замечено во введении, в остальных точках течения (в такой области между скачком и носовой частью, в которой нет других скачков и иных разрывов), как завихренность, так и скорость отличны от нуля.

Допустим, что в некоторой точке А, не лежащей на лидирующей линии и не совпадающей с передней точкой торможения, угол р равен нулю или 180 градусам. Тогда существует такая константа Ьо = 0, что

V(A)= boQ(A).                                  (2)

Обозначим через у - (замкнутую) вихревую линию, проходящую через точку А.

Рассмотрим воображаемую жидкость, частицы которой движутся со скоростью q2 = (р/роУ-V — Ьо(р/ро )1-k Q.                           (3)

Согласно утверждению 2, 72-частицы, составляющие вихревую линию у в некоторый момент времени, двигаясь со скоростью q2, продолжают составлять одну из вихревых линий. Из равенства (2) следует, что q2(A) = 0, т.е. 72-частица, находящаяся в точке А, неподвижна. Поэтому остальные 72-частицы, составляющие в начальный момент вихревую линию у, двигаясь со скоростью q2, продолжают составлять эту же линию. Это возможно только, если они покоятся или движутся вдоль у. В любом случае на всей линии у выполнено равенство Q х q2 = 0. Отсюда, с использованием (3). получаем, что па всей линии у выполнено равенство Q х V = 0. Поскольку завихренность и скорость отличны от нуля, последнее равенство означает, что скалярное произведение скорости И на единичный касательный к вихревой линии у век тор eQ = Q/П либо строго больше нуля, либо строго меньше нуля. Следовательно, циркуляция скорости по (замкнутой) вихревой линии у отлична от нуля (и при этом, как следует из уравнений Эйлера, записанных в форме Крокко [5], все вихревые линии лежат на изоэнтропийных поверхностях). Но это противоречит утверждению 3. Из полученного противоречия вытекает, что всюду за скачком перед головной частью обтекаемого тела, кроме лидирующей линии тока и передней точки торможения, угол р между скоростью V и завихренностью Q отличен от нуля и от 180 градусов, и

Q х V = 0.

4.    Заключение

С использованием критерия Гельмгольца-Зоравского уточнена картина течения идеального газа за отошедшим скачком уплотнения. Показано, что в такой области между скачком и носовой частью, в которой нет других скачков и иных разрывов всюду, кроме лидирующей линии и передней точки торможения, завихренность неколлинеарна скорости. Тем самым устранен пробел в доказательстве основного результата статьи [3].