О конечных -разрешимых группах

Пусть далее G всегда обозначает конечную группу. Символ л(п) обозначает множество всех простых чисел деления |n|; л(G) = ^(|G|).

В дальнейшем a = {aji E /} некоторое разбиение F, то есть F =U_tEI a_t и a_t П a j = 0 для всех i Ф j. Группа G является а —примарной если |a(|G|)| = 1, где a(n) = {a_z П л(n)|i E f},a(G) = a(|G|)[1].

Множество 5 силовских подгрупп G называется полный множеством силовских подгрупп G, если 5 содержит точно одну силовскую р —подгруппу G для каждого простого р делящего |G| [2]. По аналогии с этим, множество H = {H1,™,Ht} холловская подгруппа G, где Щ а — примарная (i = 1,^,t), является полным холловским множеством G типа а, если (|Hil,|H]|) = 1 для всех i^y и k(G) = л(Н1) U ... U л(Ht). В этом случае G является а —группой.

Определение [1]. Мы говорим, что G является: а —разрешимой, если каждый ее главный фактор G является а — примарным; а —нильпотентной если (Н/К) х (G/C_G(H/К')') является а —примарным для каждого главного фактора Н/К группы G.

Обратите внимание, что каждая а —нильпотентная группа также а —разрешима и G является а —разрешимой тогда и только тогда, когда она а ^ —отделима для всех i Е I; G разрешима (соответственно нильпотентна), тогда и только тогда, когда она а —разрешима (соответственно а —нильпотентна), где а наименьшее разбиение Р, то есть для любого i Е I, а ^ является одноэлементным множеством. Отметим, наконец, что G является л —отделима тогда и только тогда, когда она а —разрешима, где а = {л, л'}.

Теорема.

• (i)    Класс G_CT замкнут относительно взятия прямых произведений, гомоморфных образов и подгрупп. Кроме того, любое расширение а —разрешимой группы с помощью а —разрешимой группы также а —разрешимая группа.

• (ii)    S_CT С ^_а * для любого разбиения а* = {а*|7 Е /} из Р такого, что / с I и а с а * для всех j Е J.

Мы используем G_CT для обозначения класса всех а —разрешимых групп.

Доказательство (i).

Для того чтобы показать что (i) верно, достаточно доказать:

• (1)    G = Ах В а —разрешима, когда A и B а —разрешимы.

Пусть 1 = А₀<  А 1 < — < A_t-1< A_t = А произвольный главный ряд для А и 1 = В₀< В 1 < — < В_т-1 <  В_т = В произвольный главный ряд для В. Тогда поскольку А и В а —разрешимы, факторы этих рядов а — примарны.

Теперь рассмотрим ряд

• 1 = А₀< А 1 < — <  A_t-1< А < А₀<  АВ 1 < — <  АВ_т-1 <  АВ_т = АВ = G .

Тогда

АВ_]/АВ_]-1 = (АВ_]-1)В_]/АВ_]-1 ^ В_j/В_j П АВ - = В_]/В_]-1(В_] Л А)

о-примарна, так как В ] П А = 1. Данный ряд можно уплотнить до главного и по Теореме Жордана-Гёльдера, о том, что любые два глвных ряда конечной группы Gизоморфны, мы получаем что G а —разрешима.

• (2)    Если G а —разрешима, тогда G/N а —разрешима.

Рассмотрим главный ряд группы G проходящий через N

1 = G0

Рассмотрим ряд

1 = G0/N < C1/N < — < Gt-1/N < Gt/N = G/N тогда (Q/NVCQ-i/N) а — примарна, i = 1, .„,t. Таким образом G/N а —разрешима.

• (3)    Если G а —разрешима и H < G, тогда H а —разрешима.

Пусть 1 = G0< C1< — < G_t-1< G_t = G произвольный главный ряд для G и так как G а —разрешима, то факторы этого ряда а —примарны. Теперь рассмотрим ряд 1 = G0 A H < C1 A H < — < G_t-1 A H< G_t A H = H, тогда

H A Gt/H A Gt-1 = HA Gt/H A Gt-1 A Gt ^ (H A Gt)Gt-1/Gt-1 = HG- A Gt/G— а—примарна, i = 1,^,t. Следовательно H а—разрешима. Что и требовалось доказать.

По классической теореме Холла, G разрешима, тогда и только тогда, когда она имеет силовский базис. Прямой аналог этого результата для а —разрешимых групп в общем случае неверен. Действительно, пусть а = {{2,3}, {2,3}’}. Тогда знакопеременная группа Л₅ степени 5 имеет а —базис и она не является а —разрешимой.

Наконец, отметим, что все результаты этой работы остаются новыми для мира всех разрешимых групп.