О конструктивном расчете железобетонных композитов в условиях конечно-элементных аппроксимаций напряженного состояния

В настоящее время в связи с интенсивным развитием вычислительной техники остро встает проблема перевода методов расчета и проектирования строительных конструкций на компьютерную основу. Весьма перспективным и назревшим представляется решение этой проблемы для железобетонных конструкций, занимающих доминирующее место в строительстве.

Железобетон представляет собой сложный композитный материал. Как известно, бетон не способен выдерживать нагрузки на растяжение. Поэтому для предотвращения появления трещин и дальнейшего разрушения конструкции необходимо применение армирования. Арматурные стержни соединяют отдельные полосы бетона в единой системе и предотвращают трещинообразование и разрушение конструкции.

Конструкции сооружения в подавляющем большинстве представляют собой чрезвычайно разнородные элементы, отличающиеся размерами, механическими свойствами, способами соединения, а рассчитываемая область имеет сложные границы. Современные методы расчета железобетонных конструкций базируются на предварительном расчете напряженно-деформированного состояния. По найденным величинам нормальных и касательных напряжений определяется необходимое количество арматуры и способ ее расположения, обеспечивающий нормативные условия эксплуатации. Процедура определения параметров арматуры, ее количества и расположения называется конструктивным расчетом.

Сложность конструктивного расчета состоит в том, что в условиях особых сочетаний усилий допускается наличие трещин в железобетоне, что накладывает дополнительные требования и усложняет процессы моделирования элементов и подбор арматуры. Образование трещин в железобетоне приводит к значительному уменьшению жесткости конструкции и перераспределению напряжений, что изменяет условия образования последующих трещин.

Поэтому не может существовать однозначной связи напряжений и деформаций, не зависящей от предыстории нагружения, которая определяет расположение и направление трещин. В этом случае единственным возможным способом расчета железобетонных конструкций представляется метод последовательных нагружений (шагово-итерационный), моделирующий поведение конструкции при возрастающем внешнем воздействии. Для того, чтобы существовало единственное верное решение, необходимо, чтобы процесс был сходящимся. Т.к. появление трещин может привести к появлению новых трещин, то можно предположить, что процесс будет расходящимся. Однако в аналогичных ситуациях доказывалось [4], что может быть найдено приближенное решение.

Поскольку элементы матриц жесткости мгновенных состояний конструкции не являются константами, а зависят от напряжений и деформаций, количества трещин и их расположения, то решение задач выполняется в основном численными методами. Наиболее широко используемым в последнее время является метод конечных элементов (МКЭ).

Нелинейность соотношений напряжения-деформации для железобетона, вызванная наличием трещин, приводит к следующему алгоритму[1]. Выполняется расчет на начальную нагрузку в предположении упругой работы материала и по найденным полям напряжений прогнозируется нагрузка трещинообразования P T . Затем проводятся расчет на новую нагрузку и прогнозирование по найденным уже с учетом измененных жесткостных свойств конструкции нового значения нагрузки трещинообразования P_T ¹ . После итерационного уточнения напряженно-деформированного состояния опять прогнозируется нагрузка трещинооб-разования Р т и т.д., пока не будет окончательно уточнена нагрузка трещинообразования (например, два ее последовательных значения мало отличаются друг от друга).

При последующем расчете конструкции на эту нагрузку в одном конечном элементе достигается приближенное равенство 7 1 » о _т и в элементе образуются трещины, изменяющие его жесткость. Повторные расчеты на эту же нагрузку (итерации) продолжаются до уточнения напряженно-деформированного состояния конструкции. По уточненному напряженно-деформированному состоянию прогнозируется значение нагрузки, при котором должна образоваться трещина в следующем конечном элементе. Повторными расчетами (как и для нагрузки трещинообразования) эта нагрузка уточняется. Лишь после этого еще в одном элементе, в котором выполняется условие 7 1 » о _т , допускается образование трещины, затем итерациями уточняется напряженно-деформированное состояние конструкции и т.д. Итерационная процедура используется для уточнения матрицы жесткости железобетона в конечных элементах, а затем и матрицы жесткости всей конструкции.

Специфика конечноэлементных методов расчета напряженно-деформированного состояния накладывает некоторые условия на алгоритм конструктивного расчета и его программную реализацию, а именно[2]:

• •    Методика конструктивного расчета должна быть ориентирована на арматурное обеспечение конечного элемента, минимальным образом используя свойства и специфику ансамбля окружающих его элементов.

• •    Методика расчета должна быть в достаточной мере обоснована обширной экспериментальной базой теории железобетона, которая должна быть формализована и адаптирована в условиях конечноэлементной аппроксимации сооружения.

• •    Численные процедуры расчета должны включать в себя нормативные требования и допускать возможность простого их редактирования при изменении нормативной базы

• •    Размерность реальных конечноэлементных задач и неизбежность применения итерационных процессов предъявляют повышенные требования к эффективности численных процедур и возможности их применимости к некоторой группе элементов, сформированной по совокупности условий достаточного армирования.

• •    Процедуры расчета должны быть достаточно универсальными, позволяющими их применение для разнородных конструктивных элементов, находящихся в условиях произвольного напряженно-деформированного состояния.

Проведем построение расчетной модели объемного железобетонного элемента с трещинами в общем случае произвольного косоугольного армирования. Пусть задана некоторая произвольная железобетонная массивная конструкция, которая в силу приложенных к ней внешних нагрузок деформируется в условиях объемного напряженного состояния. В результате действия приложенной нагрузки в конструкции возникают трещины по одной или нескольким пересекающимся площадкам. Требуется установить связи между напряжениями и деформациями для областей конструкции, в которых возникли трещины.

Сформулируем основные теоретические и физические предпосылки модели:

• •    В трещинах практически все усилия передаются через арматуру, за исключением части усилий, которые передаются через остаточные связи по бетону в трещинах - через связи зацепления. Основными в арматуре являются осевые (нормальные) напряжения. В трещинах они достигают максимальных значений o si и затем постепенно затухают в блоках между трещинами по мере удаления от краев трещин. В модели вводятся два вида осевых напряжений: o si — максимальные в трещинах, которые ответственны за прочность арматуры) и o s™ — средние на участках между трещинами, от которых зависят деформации. Связь между напряжениями осуществляется при помощи коэффициентов у si , введенных В.И. Мурашевым

[5]; o ™ = o s y si . Этими коэффициентами учитывается влияние сцепления.

• •    Деформации бетона в блоках между трещинами дополнительно влияют на средние напряжения арматуры. Степень влияния нормальных (линейных) деформаций бетона вдоль направления армирования i на осевые деформации арматуры i оценивается множителями (1-

• •    Физические соотношения устанавливаются в локальной системе координат n,m,l, направленных по нормалям к трем ортогональным площадкам образования трещин, а затем переводятся в глобальную систему x,y,z. Выделим для рассмотрения одно направление армирования i. Если направлений армирования будет несколько, то следует использовать формальную процедуру суммирования членов. Каждой группе направлений прикрепляется своя декартова система координат i,k(i),e(i), где ось i направлена вдоль стержней, а оси k(i), e(i) могут поворачиваться вокруг оси i произвольно. Пусть направляющие косинусы оси i к осям x,y,z обозначаются i x , i y , i z , а оси n к осям к осям x,y,z - n x , n y , n z , тогда направляющий косинус между осью i и n будет n i = n x i x + n y i y + n z i z . Аналогичным образом вычисляются другие направляющие косинусы m i , l i .

• •    В конструкции выделяется малый прямоугольный параллелепипед так, чтобы отдельные его грани прошли по трещинам или параллельно им. Усилия, приложенные к граням элемента, приводятся в соответствии с коэффициентами армирования и их проекциями на

наклонные площадки к средним поверхностным нормальным и касательным напряжениям арматуры и бетона. Последние на площадках трещин заменяются напряжениями зацепления. Общие напряжения элемента находятся путем суммирования приведенных напряжений ар- матуры, напряжений бетона и напряжений связей зацепления: {o*}n = {o*}n 'Io*}n 'К}n

Так как вектор-столбец напряжений железобетона с трещинами состоит из трех столбцов-компонент, вывод физических соотношений состоит в установлении связей между компонентами столбцов и общими деформациями. После этого устанавливаются общие со- отношения.

Для объемного железобетонного элемента связь напряжений в арматуре с общими деформациями выражается следующим образом:

I ~ I

-n

^G -m

~ -l

~

^T -nm

~

~ ^{-ml T -} In

~

-mn

~ m

~

V nnl

<

d - 11 d - 12 d - 13 d - 14 d - 15 d - 16 d - 17 d - 18 d - 19

d - 12 d - jj d - 23 d - 24 d - 25 d - 26 d - 27 d - 28 d - 29 d - 13 d - 23 d - 33 d - 34 d - 35 d - 36 d - 37 ^d- 38 ^d- 39 d - 14 d - 24 d - 34 d - 44 d - 45 d - 46 d - 47 d - 48 d - 49 d - 15 d - 25 d - 35 d - 45 d - 55 d - 56 d - 57 d - 58 d - 59 d - 16 d - 26 d - 36 d - 46 d - 56 d - 66 d - 67 d - 68 d - 69 d - 17 d - 27 d - 37 d - 47 d - 57 d - 67 d - 77 d - 78 d - 79 d - 18 d - 28 d - 38 d - 48 d - 58 ^d- 68 ^d- 78 ^d- 88 ^d- 89 d - 19 d - 29 d - 39 d - 49 d - 59 d - 69 d - 79 d - 89 d - 99

x <

^£ n

^£ m

£

Y

l

. *

nm

*

7 ml

⁷ in

* Y mn

*

^Y m

*

⁷ i

или в более компактном виде:

к}n = [d-* 1 n xk}

где [ d_- ] _n — матрица жесткости арматуры, характеризующая вклад арматуры в общую жесткость железобетона с трещинами. Элементы матрицы жесткости арматуры вычисляются по формулам:

d -11

= 2 E sm n^n i + 5_nn T

т; i

2 n j 2 ) ;

d *12 = 2

E -im mini ⁽ m i n i + 5 _mn ; i 2 m j n j )

;

j d-*13 = 2 E-iinili(n^+Mi 2 j) ;

i L                            j _

...... и т.д.

E - E w7- li "

sin        ЦТ sin ^ -l 1

E . = E т ^{- 1} ц ■ ; sim        si sim si

E -il = E - T - l ц -i ;

^j = k ⁽ i x e ⁽ i )

где ц-1 - коэффициент армирования, который равен площади стержней, приходящейся на единицу площади площадки, проведенной нормально к направлению i; E-i - модуль деформации (упругости) арматуры; 5r(r = n, m, l) - искусственно введенный множитель для различных схем трещин, принимающий значения:

• ^d n = 1, ^ m *= 0 (трещины одного направления),

• ^d _n = ^d m = ^d _l =0 (трещины двух взаимно ортогональных направлений),

• ^d _n = ^d m = ^d _l = 1 (трещины трех взаимно ортогональных направлений).

Более подробно значения элементов матрицы жесткости [ d_- ] представлены в [3]. В соотношениях (3) введено в прямом виде суммирование по i-нескольким направлениям арматуры. В частности, можно перейти к случаю ортотропного армирования, в котором стержни располагаются вдоль осей координат (группа стержней 1: i=x, k(i)=y, e(i)=z; группа стержней 2: i=y, k(i)=z, e(i)=x; группа стержней 3: i=z, k(i)=x, e(i)=y).

Связь напряжений бетона и общих деформаций представлена следующим образом: { ^ * ^} n =^{[ d}6 ¹ n ^{x £} n ^} ,                                                                                    (4)

где [ d b ] _n = [ с Ь ] n ¹. Коэффициенты матрицы податливости [ с Ь ] _n определены в [3].

Напряжения зацепления связываются с общими деформациями соотношениями: { ^ q ^} n =^{[ d}q n ^хк ^} ,

где [dq ]- матрица модулей зацепления, в этой матрице ненулевыми являются только коэффициенты, стоящие на главной диагонали, они обозначаются: Eqn5n ;Eq,A ;Eql5l ;Eqnm5n ^Д ;Eqmn5m ; Eqhn5z ; ДПД . Значения модулей зацепления да- ны в [3,4].

Внося значения напряжений для арматуры, бетона и зацепления, находим:

*     *    *    **    *

^ }n = Фм n + [ db] n + [ dq] n к } n = [d Jn к },

где [ d * ] -симметричная матрица жесткости железобетонного элемента в осях n,m,l.

Соотношения (6) представляют собой общие физические соотношения для элементов железобетона с трещинами.

Разрешающие уравнения железобетонных конструкций в форме МКЭ имеют вид:

[ K ( g )]{ g } = { P} ,                                                                              (7)

где [K(g)]-матрица жесткости всей системы; {g} – вектор-столбец узловых перемещений, {P} – вектор-столбец узловых нагрузок.

Матрица жесткости [K(g)] формируется на основании физических жесткостей [d], вычисляемых для каждого конечного элемента. Жесткости [d], как уже указывалось, зависят от уровня напряженного состояния, количества трещин, их ориентации и других факторов; они принимают различные значения для различных конечных элементов. Таким образом задача расчета железобетонных конструкций сводится к решению алгебраических уравнений с переменными коэффициентами.

По предварительным прикидкам производительность и ресурсы современных средне-уровневых вычислительных средств позволяют за приемлемый промежуток времени реализовать такие алгоритмы при использовании достаточно малого шага итераций, обеспечивающего необходимую точность вычислений.