О контрпримерах к гипотезе Борсука на сфере
Автор: Костина О.А.
Журнал: Труды Московского физико-технического института @trudy-mipt
Рубрика: Информатика и управление
Статья в выпуске: 4 (44) т.11, 2019 года.
Бесплатный доступ
Классическая гипотеза Борсука состоит в утверждении, что всякое множество диаметра 1 в пространстве Rd может быть разбито на d + 1 часть меньшего диаметра. Данная гипотеза была опровергнута для d > 64. В настоящей работе рассматривается обобщение гипотезы Борсука на случай сферы Sd-1r. В частности, изучается величина fr(d), определяемая как минимальное количество частей диаметра меньше 1, на которое может быть разбито всякое множество A ⊂ Sd-1r диаметра 1. В работе получены новыенижние оценки данной величины, основанные на применении линейно-алгебраического метода и улучшающие оценки предыдущих авторов. Исследуется оптимальность выбора параметров в полученных результатах.
Гипотеза борсука, линейно-алгебраический метод, графы диаметров
Короткий адрес: https://sciup.org/142223085
IDR: 142223085 | УДК: 519.174.7
On counterexamples to Borsuk's conjecture on a sphere
The classical Borsuk’s conjecture is the statement that any set of diameter 1 in the Euclidean space Rd can be divided into d + 1 parts of smaller diameter. This conjecture is proved wrong for d > 64. In this paper, a generalization of Borsuk’s conjecture on the sphere Sd-1r is considered. In particular, we study the function fr(d) defined as the smallest number of parts of diameter smaller than 1 into which any set A ⊂ Sd-1r of diameter 1 canbe divided. Using the linear algebraic method, we obtain new lower bounds of this functionthat improves the results of other authors. The optimal choice of parameters in the presented theorems is considered.
Список литературы О контрпримерах к гипотезе Борсука на сфере
- Borsuk K. Drei S¨atze u¨ber die n-dimensionale euklidische Sph¨are // Fundamenta Math. 1933. V. 20. P. 177-190.
- Boltyanski V.G., Martini H., Soltan P.S. Excursions into combinatorial geometry. Berlin: Springer, Universitext. 1997.
- Brass P., Moser W., Pach J. Research problems in discrete geometry. Berlin: Springer, 2005.
- Gru¨nbaum B. Borsuk's problem and related questions // Proc. Sympos. Pure Math. 1963. V. 7. P. 271-284.
- Raigorodskii A.M. Three lectures on the Borsuk partition problem // London Mathematical Society Lecture Note Series. 2007. V. 347. P. 202-248.
- Райгородский А.М. Проблема Борсука и хроматические числа метрических пространств // Успехи матем. наук. 2001. Т. 56, № 1. С. 107-146.
- Райгородский А.М. Вокруг гипотезы Борсука // Итоги науки и техники. Серия "Современная математика". 2007. Т. 23. С. 147-164.
- Perkal J. Sur la subdivision des ensembles en parties de diam'etre inf'erieur // Colloq. Math. 1947. V. 1, N 1. P. 45.
- Kahn J., Kalai G. A counterexample to Borsuk's conjecture // Bulletin of the American Mathematical Society. 1993. V. 29, N 1. P. 60-62.
- Jenrich T., Brouwer A.E. A 64-dimensional counterexample to Borsuk's conjecture // The Electronic Journal of Combinatorics. 2014. V. 21, N 4. P. 4-29.
- Райгородский А.М. Об одной оценке в проблеме Борсука // Успехи матем. наук. 1999. Т. 54, № 2. С. 185-186.
- Schramm O. Illuminating sets of constant width // Mathematika. 1988. V. 35, N 2. P. 180- 189.
- Kupavskii A.B., Raigorodskii A.M. Counterexamples to Borsuk's conjecture on spheres of small radii // Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory. 2012. V. 2, N 4. P. 27-48.
- Baker R.C., Harman G., Pintz J. The difference between consecutive primes, II // Proceedings of the London Mathematical Society. 2001. V. 83, N 3. P. 532-562.
- Hadwiger H. Ein U¨ berdeckungssatz fu¨r den Euklidischen Raum // Portugaliae Math. 1944. V. 4. P. 140-144.
- Frankl P., Wilson R. Intersection theorems with geometric consequences // Combinatorica. 1981. V. 1. P. 357-368.
- Райгородский А.М. Линейно-алгебраический метод в комбинаторике. Москва: МЦНМО, 2007.
