О краевой задаче для бигармонического уравнения

Определение. Множество линейных непрерывных функционалов 0

над пространством основных функций W₂ ²( Q ) обозначим W ₂-² ( О ) и назовем пространством Соболева с отрицательным индексом 2 или с негативной нормой.

Элементы пространства будем называть обобщенными функциями о порядка 2 над пространством W ₂²( Q ) .

ПРИМЕР. Пусть задана функция g ( x ) е L . Определим для нее оператор Лапласа Δ g как обобщенную функцию порядка 2, которая действует на основные функции по правилу

^{( А} g, ф ) = ⁽g, ^АФ ) = f g ⁽ x ) •^A V ^(x) dx, ф ^е W 2²

Ω

Проверим, что в данной формуле задан линейный непрерывный функционал над пространством W22(О). Его линейность очевидна, поэтому проверим непрерывность, которая есть следствие ограниченности. Из представления нормы в пространстве W22(Q) следует, что Афе L2 для каждой функции фе W2(О)   причем, I 1Аф|I =1 |ф|12 . Теперь нетрудно получить оценку обобщенной функции g^ , g(x) е L2:

Отсюда и следует, что функция g является линейным ограниченным

о функционалом над W22 (Q).

Рассмотрим краевую задачу:

А ² и ( x ) = f ( x ), x еО

∂ u

U I dQ       dQ 0

∂n где n — внешняя нормаль к области Q . Будем искать решения и е W22 (Q), так что Au е L2 . Из представления A2u = А(Аи) и примера рассмотренного выше следует, что А2и е W2 2. Поэтому считаем, что задана функция f е W 2 , и представим задачу в виде

( A u, А ф ) = (f, v )

[u, V ] = (f, v ), ф е W ,² ( fi )

Теперь можно применить знакомые аргументы. Именно, функционал (f, м ) по теореме Рисса можно представить и притом единственным образом в 0

форме скалярного произведения в пространстве W₂ ²( Q ) :

⁽ f , м ) = ^[ u f м

Сравнение формул показывает, что найденный элемент u является решением бигармонического уравнения, и притом единственным. Мы пришли к следующему утверждению.

A ² u ( x ) = f ( x ) , которое рассматривается как равенство элементов пространства Соболева W - 2 с негативной нормой)