О магнитном поле системы колец Гельмгольца

В работах [1, 2] было высказано предположение, что при рассмотрении систем соосных идентичных проводников с током (колец) обнуление производных одного порядка в центральной точке систем при разложении магнитной индукции в ряд Тейлора происходит по всем направлениям одновременно. В данной работе мы приводим доказательство этого утверждения для производных до восьмой степени включительно.

Магнитное поле системы колец Гельмгольца

Рассмотрим [2, 3] два соосных симметричных витка (кольца) Гельмгольца с осью симметрии, совпадающей с z, радиусами R, токами I > 0 , находящимися на расстоянии I от центральной точки z = 0. В цилиндрической системе координат проекции вектора магнитной индукции В имеют вид

B = B_ze_z + B_pe_p+B_ve_v,B = ^B ? + B p + В ф B z (x,y) = u^’^ = ^^(^Fmi(^x,^y) + ^z m (x, vn ^B p ^(x,y) = ^^II^r(x,y⁾ = ^h^(Tm^^(x,y^{) + T} m₂ ^(x,y⁾⁾, uI r²

B ^ (x,y) = 0,B₀ = B(00 = --- 3 ,I >  0,

(r2 + 1)2

B(x, 0) = Bz(x, 0) = —^v(x),

v(x) =

r2 [         1

4 [(r2 + (x + 1)2)2

(r2 - (x - 1)2)2

где ф, p, и z — цилиндрические координаты,

z

p

R

x = 7'y = ?,r = 7,

К(т 1 ) +

r ² — у ² — (х + 1) ²

Fmi(x,y) =

(r — у) 2 + (х + 1) 2

^(г + у) ² + (х + 1) 2

Е (т1)

,

К(т2) +

r ² — у ²

-

(х — 1) 2

Fm2(X,y) =

(г — у) ² + (х — 1) 2

^(r + у) ² + (х — 1) 2

Е(т 2 )

,

к

Тт1(Х,У) =

ТЛГ \ , Г ² + у ² + (х + 1) 2 х + 1  ^К(т 1 ) ⁺ (г — у) ² + (х + 1) ²

у

_  ,       х тт2(х,у) = -

2           у п

—

V(r + у) ² + (х + 1) ² _1zf л , Г ² + у ² + (х — 1) ² 1   К^(т2) + (г — у) ² + (х — 1) 2

Е(т 1 )

,

0 < m 2

Кт' .L1

4гу

—

dp rn ² 5in ² p

V(r + у) ² + (х — 1) 2 п 2

Е(т 2 )

,

- ^Е(^т) = /71 ^—т 2 _$ /п 2 р dp,

(г + у) ² + (х + 1) 2

< 1,    0 < т2 =

4гу

(г + у) ² + (х — 1) 2

< 1.

Предположим, что В₂(х, у) и В _р(х , у) являются достаточно хорошими функциями и могут быть разложены в ряд Тейлора по переменным x и y [4].

ОО       п

^В » <х-у⁾ = Iи!Z^c п ^k п=0   к=0

дпВд(х, у) дхЛ-кдук

Х=0,у=0

х

п-к

у ^к

,С п ^к =

и!

к\ (п — к)

q = 2, р.

Для систем витков (колец) с током имеет место пространственная симметрия [2].

Г В р ⁽х,у) = —В р (—х,у⁾,В₂⁽х,у⁾ = В₂⁽—х,у⁾, (В р ⁽х,у) = —В р (х,—у⁾,В₂⁽х,у⁾ = В₂⁽х,—у).

Из указанных выше уравнений следует, что

В₂⁽х,у) = В о +

у 1 У С 2^!,^к д ^2п В₂⁽х,у⁾ 2-1 (2n)!^_i дх ^2(п-к) ду ^2к п=1      к=0           ^у

О      П-1

^у^ёП)!!

П=1      к=0

С 2 ² п ^к+1 д ^2п В р (х,у) дх 2п-(2к+1) ду 2к+1

= 0.(4)

Х=0, у=0

х ^{2(п к)} у ^2к ],

х ^{2п (2к+1)} у ^2к+1 ,В_р (х, о) = В_р (0, у)

у=о

Запишем уравнения Максвелла для стационарного магнитного поля в отсутствии токов [5]

divS = 0,rotS = 0.

В цилиндрической системе координат они имеют вид дBр  дBz  0 1д(уBр)  дB7  Q дх ду 'у ду     дх    .

Дифференцируя эти уравнения по соответствующим координатам с учетом выражений (3) и (4) получаем связь между производными одной и той же степени в центральной точке

д ² B р

дхду^ =о,

у=о

д ² B_z ду ²

| Х=0, у=0

1д^

2 дх ² ^=о,

у=о

,

д4Bр _ д4Bz 1 д4Bz д4Bр _ д4Bz _ 3 д4Bz дх3ду х=о,   дх2ду2 х=о, =  2 дх4 х=о, , ду3дх х=о, = ду4 х=о, = 8 дх4 у=о у=о у=0

у=0

у=0

Х=0, у=0

д6Bр _  д6Bz 1 д6Bz д6Bр _  д6Bz _ 3 д6Bz дх5ду х=о,   дх4ду2 х=о,     2 дх6 х=о,,ду3дх3 х=о,   дх2ду4 х=о, = 8 дх6 у=0

у=0

у=0

у=0

у=0

186BP _ д6Bz _   5 д6Bz д6Bр _ д6Bz _   5 д6Bz ду5дх х=о, = ду6 х=о, =   16 дх6 х=о,, ду5дх х=о, = ду6 х=о, =   16 дх6 у=0

Х = 0, у=0

,

к

у=0 _£М ду ⁵ дх³|

у=0

д ⁸ B_z

Х = 0, у=0

дх ⁶ ду ²

|

—

Х = 0, у=0

у=0

1d ⁸ B_z

у=о д8Bр

Х = 0, у=0

₌ 3 д^ |

8 дх ⁸ |х=о/ у=0

I

2 дх ⁸ |%=о, ,ду ³ дх ⁵|х=о,

д ⁸ B_z

у=о

у=о

дх ⁴ ду ⁴

| Х=0, у=0

д8Bр _  д8Bz 5 д8Bz д8Bр д8Bz 35 д8Bz Х = 0 ду5дх3 х=о, = дх2ду6 х=0, =  16 дх8 х=о,,ду7дх х=о, = ду8 х=о, = 128 дх8 у=0

у=0

у=0

у=0

у=0

у=0

■

и т.д. Из данной системы уравнений следует, что все производные одной и той же степени в нуле пропорциональны друг другу. Последнее означает, что они обнуляются одновременно. Отметим, что из (3) следует, что дрBz(х,у)|       dpBz(х, 0)

дхр   г=0,      ^хр у=0

Тогда, по крайней мере, для у = z, р и р = 4,6,8 (0 < к < р) мы имеем дPвg(х,У)              дPвz(х,у)|              dPвz(х,0)

= const= const дхкдур k %=о,            дхр   |%=0,            йхр

Х = 0

у=0                    у=0

Для системы двух колец (1)

d ⁿ B_z⁽х,0⁾       2р/ _ ₍ . а^лп⁽х)

---—--- =    _r⁽n⁾ , _r⁽n⁾₌            , ах^п           I               ах^п

Х=0                          Х=0

_г ⁽²⁾ =

3 г ² —4        45 г ⁴ — 12г ² + 8         315 5г ⁶ — 120г ⁴ + 240г ² — 64

• ^г 2-------, _у ⁽⁴⁾ =    2--------- r^J'"" = ^——^г 2-------------- 15-------.

• ⁴ (г ² + 1) 2         4     (г ² + 1)^            4           (г ² + 1)^

„   14175  7r8—280r6+ 1120r4— 896r2+ 128

v(8) = —-—r2--------------------19-------------, и т. д.

2                  (r2 + 1)^

Чем с более высокой степени начинаются ненулевые производные в разложении в ряд Тейлора для магнитной индукции, тем более однородным является магнитное поле в центральной области. Для системы из двух колец занулить можно только вторую производную. Пусть втораяпервая ненулевая производная будет четвертая. Потребуем, чтобы вторая производная

5252(^,2)1    - d2gz(^,0)|

5x2    |*=о,       5%2    |*=о, y=0

Тогда

r = 2.

Так как первая ненулевая производная в разложении является производной четверной степени, то такие системы называют системами 4 степени [1].

В этом случае мы можем представить разложение 5_z(x, у) и В р (х, у) в области пространства между витками (кольцами) —1<х<1,0<у<1 в следующем виде:

5z(x,y) = Во[1 + а(8х4 — 24х2у2 + 3у4) + в(16х6 — 120х4у2 + 90х2у4 — 5у6) +у(128х8 — 1792х6у2 + 3360х4у4 — 1120х2у6 + 35у8) .„],

Вр(х, у) = 50[4а(—4х3у + 3ху3) + 6в(—8х5у + 20х3у3 — 5ху5)                        (6)

+8у(—64х7у + 336х5у3 — 280х3у5 + 35ху7) .„], где

,        ц/ 4 В о|г=2 = ~;   з ' 5 2 5 8 В 2 (х,у)	5 4 В2(х, 0) 1                         5 6 В2(х,0) | 5х 4    |г=2                       Дх6   |г=2 '“=    8^>!;< ;   0    —9Ч0:,в      16.6! В о*" 0 = 1232 •10 -6
5х 8	Х = 0,

Y =

________ у=0

128^8!В0

117 • 10-7.