О минимизации функционала на выпуклом множестве нормированного пространства

Рассматривается аналог итерационного процесса. из абстрактных результатов работы [1], связанных с краевой задачей Дирихле [1], сводящейся к вариационному неравенству в иерефлексивиом банаховом пространстве с монотонным потенциальным оператором, потенциал которого не обладает свойством коэрцитивности. В рассматриваемом аналоге итерационного процесса, из [1] используются приближения к операторам, применяемым в[1].

При построении итерационного процесса, используются аппроксимации выпуклого множества, выпуклыми множествами типа, внутренней аппроксимации [2, с. 54]. Итерации итерационного процесса, строятся с использованием решений экстремальных задач.

Пусть E — вещественное нормированное пространство с нормой || x | | для x е E, E* — сопряженное с пространством E пространство с нормой ^ у ! * = sup h y,x' i для линейного ограничен- x ∈ E, Н ^ Н = 1

иого функционала у е E *, г де hy,xi — значение (функционала у е E* на. элс'менте x е E, K С E — выпуклое множество, {Ki}°=1 — такая последовательность выпуклых множеств, что Ki С Ki+1 для i > 1 и для любо го элемента, x е K существует последовательность xi е Ki (i > 1), сходящаяся в E к x, Ei — линейная оболочка множества Ki (i > 1). И пусть D = U Ki- i=1

Предположим, что в линейном многообразии E о пространства E, являющемся линейной оболочкой множества D , задана норма || x | |о Для x е е E о, которая может не совпадать с нормой прост ранства. E.

Говоря далее о пространстве E ₀ с нормой || • | |₀ будем иметь в виду линейное многообразие E ₀ с нормой || x | |₀ для x е E ₀. При этом в сопряженном с пространством E ₀ с нормой || • | | ₀ пространстве E 0 * будем использовать норму || у ||* = sup h y,x i ₀ x E E о , Н х Н 0=1

для у е E * г де h y,x i ₀ — значение функционала у е E* на. элс'менте x е E ₀.

Предположим, что выполняются следующие условия:

• 1)    заданы такие функционал

f : D ^ R1, где R1 — одномерное евклидово пространство, и оператор

F : D ^ E *, что функционал f является ограниченным снизу на. D. т. с. существует d 0 = inf f (x) е R1, x∈D и выполняется неравенство f (u) - f (v) >

• > h Fu,u - v i 0 - M (max ( || u | |0 , | v | 0 )) || u - v |0

для всех и. v е D. с постоянной a >  1 11 неубы вающей неотрицательной функцией M ( t ), за данной для t >  0:

• 2)    F i: K i ^ E* (i >  1) — такая последовательность операторов, что при всяком i >  1 для каждого и е K i норма сужения функционала F i u - Fu е E 0 IIa E i +i(t.c a sup h F i u - Fu,v i 0) ^vEEi +1 ^,

II v I I 0 = 1

не превосходит L ( || u | |₀) 5 i- пте { 5 _i}° =₁ — после довательность неотрицательных чисел, сходящаяся к нулю в R 1, a L ( t ) — неубывающая неотрицательная функция, заданная для t >  0;

• 3)    { ^ _i } U = ₁ и { ^ i}° = ₁ — такие последовательности положительных чисел, что n i 6 1 и p i + n i P i +1 6 6 e i +1 П-зя i >  1-

• Pi ^ ^, ni ^ 0, Mi = L(Pi)(Pi + Pi+1)^i + + M(ei+1)(ei+ ei+1)“n“ 1 ^ 0 (i ^^), ∞

• 11 ряд ^2 n i расходится.

i =1

Функционал f не является коэрцитивным на множестве D, т. е. отсутствует условие f (и) ^ + го (и е D, ||и|0 ^^)•

Зафиксируем произвольное число q е (0 , 1). Пусть D i = { и е K v. || u | 0 6 e i} (г >  1)-

Предполагая, что D ₁ = 0, рассмотрим последовательность { u _i } ° = ₁ итерационного процесса:

U i +1 = u i - t i ( u i - V i ) ( i >  1)         (1)

с произвольным начальным элементом u 1 6 Dц где если bi = sup Fu^ui - wiо > Mi, weDi+i

TO V i 6 D i +1 , h F i U i ,U i - V ii 0 >  b i - q ( b i - M i ). a ti = ПМ ^{cc лп} bi 6 Mi- ^T0 ti = 0 11 vi = 0.

Последовательность { u _i } ^₁ итерационного процесса. (1) строится с использованием вспомогательных экстремальных задач об отыскании чисел bi (i >  1).

В [1] итерационный процесс строится при F i = = F для каждого i >  1.

Теорема 1. Для последовательности { u _i }° = ₁ итерационного процесса. (1) имеем:

• 1)    последовательность { u _i }° = ₁ — релаксационная, т. с. f ( u i ) >  f ( u i +₁) для кажлого i >  1:

• 2)    liminf b i 6 0 (liminf — нижний предел).     □

i →∞

Доказательство. Для каждого i > 1 имеем неравенства f (Ui ) - f (Ui +1) >

• >    t ih FU i ,U i - V ii ₀ - M ( P i +1) t ^a ( P i + P i +1) “ >

• >    t i ( b i - q ( b i - M i )) + t ih FU i - FU i , U i - V ii 0 -

• -M (Pi+1) ta (Pi + Pi+1) a.

Следовательно, для всякого i >  1 имеем нера венство f ( U i ) - f ( U i +1 ) >  9 i. г,де 9 i = (1 - q )( b i -

• - M i ) n i щHI b i > M i ,  ^ i = 0 щHI b i 6 M i- Так

как

i

f(u 1)- f(Ui+1) > X 6j, j=1

∞ то ряд ^2 ^i сходится. А если предположим, что i=1

liminf b i > b >  0, то получим расходимость ряда i →∞

∞

52 9i- Теорема 1 доказана.

i =1

Говоря далее о потенциальности оператора F на. множестве D с потенциалом f. будем иметь в виду следующее: функционал f определён на открытом множестве G из пространства E о с нормой ||-| |₀, содержащем множество D , дифференцируем по Гато на. D в пространстве E ₀ с hoi>мой ||-| |₀ и Fu = grad f ( u ) л,ля u 6 D.

Теорема 2. Пусть: 1) оператор F монотонен на. множестве D. т. е.

h Fu - Fv, u - v i ₀ > 0

для u,v 6 D ; 2) oneратор F потенциален на мно жестве D с потенциалом f.

Тогда последовательность { u _i }° =₁ итерационного процесса (1) минимизирует функционал f на D- т. е. f ( u i ) ^ d 0 щm i ^ ж.                 □

Доказательство. В силу заключения 2) теоремы 1 существует такая подпоследовательность

{uij }Д1 последова.телыюсти {ui}°=1 итерационного процесса. (1), что lim bi 6 0 . ij j→∞

Пусть V j = U i j , Q j = D i j ( j >  1). В силу ∞

Q j C Q j +₁ л,ля j >  1 ii U Q j = D существует j =1

такая последовательность z j 6 Q j ( j >  1), что ^{f (} z j ) ^ ^d 0 ⁿl^,n j ^ ж. IhieeM lim sup a j 6 0 j →∞

(limsup — верхний предел), где a j = h FV j ,V j -- z ji 0 ( j >  1). II t. к. в силу леммы 8.3 в [3] имеем неравенство f ( V j ) 6 f ( Z j ) + a j для каждого j >  1. т о f ( V j ) ^ d 0 nj hi j ^ ж . что в силу заклю чения 1) теоремы 1 влечёт f ( u i ) ^ d ₀ при i ^ ж. Теорема. 2 доказана.

Замечание 1. Если выполняются условия теоремы 2, то функционал f выпуклый на множестве D (см. [3. с. 100]) ii непрерывный на. множестве D в пространстве E ₀ с hoi>мой ||-| ₀.

Из теоремы 2 вытекают три следствия, в которых функционал f выпуклый на множестве D, ибо в следствиях выполняются условия теоремы 2.

Следствие 1. Если выполняются условия теоремы 2, то limsupBi 6 0, i→∞ где Bi = sup hFw,ui - wi0 (i > 1).          □ weDi+i

Действительно, для каждого i > 1 имеем f (ui) - f (u) > hFu,ui - ui0 для всех u 6 D (cm. [3, c. 101]). Следовательно, f (Ui) - inf f (u) > Bi (i > 1) • ueDi+i

Отсюда в силу теоремы 2 имеем limsup B i 6 0. i →∞

Следствие 2. Если выполняются условия теоремы 2, функционал f определён на K и из |wi - w| ^ 0 njhi i ^ ж, wi 6 Ki (i > 1) и w 6 K еле,дует liminf f (wi) 6 f (w)■ то последова-i→∞ тельность {ui}°=1 итерационного процесса (1) минимизирует функционал f на K U D.         □

Следствие 2 вытекает из теоремы 2, т. к. d ₁ > >  d 0- г.ле d ₁ = inf f ( u ).

u ∈ K

Следствие 3. Если выполняются условия следствия 2 и D C K, то последовательность { u _i } °= ₁ итерационного процесса (1) минимизирует (функционал f на K.                         □

Теорема. 1 является результатом о релаксацион-ности последовательности { u _i }° =₁ итерационного процесса. (1), а. теорема. 2 и следствия 2, 3 — это результаты о том, что последовательность { u i}° =₁ итерационного процесса. (1) минимизирующая.

Отметим, что следствие 1 представляет самостоятельный интерес.

Вышеприведённые абстрактные результаты можно использовать при исследовании краевых задач Дирихле, сводящихся к вариационному неравенству или уравнению в нерефлексивном бана- ховом пространстве с монотонным потенциальным оператором, потенциал которого не является коэрцитивным (см. [1,4,5]). Часто эти краевые задачи связаны с локально коэрцитивными векторными полями [6]. Ив исследовании краевых задач, связанных с локально коэрцитивными векторными полями, важное место занимают априорные оценки производных решений (см. [5,6] и статью [7], в которой исследуется оператор средней кривизны).

В заключение приведём результат, в котором предполагается, что минимум функционала f на множестве D достигается. А именно справедливо следующее утверждение, в котором последовательность итерационного процесса. (1) сходится в пространство E 0 с hoj той || • | | 0 к эле менту u 0 Е Е D, на котором достигается минимум функцио нала. f на. множество D.

Утверждение 1. Пусть:

• 1)    имеется такой элемент u 0 Е D, что f ( u 0) = d 0;

• 2)    для любых x, h Е E g. такиx. что x + th Е D для t Е [0 , 1]. фуикипя hF ( x + th ) , hi 0 интегрируема, no t iia [0 , 1] и

• hF(x + h) - Fx hig > |h|gy (||h||g), где y(t) — неотрицательная функция, интегрируемая на. [0, R] для лтобого R > 0. такая, что функция

R

с ( R ) = У

y ( t ) dt

возрастает;

• 3)    оператор F потенциален на. множестве D с потенциалом f.

Тогда последовательность {ui} ]=₁ итерационного процесса (1) сходится в пространстве E g с нормой Ц Л_g Iе u g. □

Действительно, условия 2), 3) утверждения 1 обеспечивают выполнение условий теоремы 2. Следовательно, последовательность {ui}° =1 итерационного процесса. (1) минимизирует функционал f на. множестве D.

Из неравенства f ( u ) — f ( u g) >  c ( |u — u g | g), выполняющегося для каждого элемента u Е D [1, с. 143-144], имеем неравенства.

f (u) — f (ug) > c (lui — ug|g) (i > 1), с использованием которых получаем выполнение заключения утверждения 1. Утверждение 1 доказано.

Отметим, что в утверждении 1 u g является единственной точкой абсолютного минимума, функционала f на D и единственным решением уравнения Fx = 0 ( x Е D ).

Замечание 2. Если K = E и Ki является линейным многообразием для каждого i >  1, то при E g = D и Ei = Ki ( i >  1) множество D 1 = 0 и следствия 2 и 3 совпадают.