О модулях выпуклости функции и множества

В статье мы кратко рассмотрим связь равномерно выпуклых функций и множеств. Кроме того, мы рассмотрим зависимость параметров выпуклости лебеговых множеств равномерно выпуклой функции от модуля выпуклости этой функции. Подобные вопросы возникали и ранее для конкретных пространств и классов функций, па-пример [1,2,5,9,10]. В конце статьи па. основании полученных теорем единым образом доказывается ряд известных результатов о равномерно выпуклых функциях в гильбертовом пространстве.

Банахово пространство E рассматривается над вещественным полем скаляров. Через B r ( a ) обозначим замкнутый шар радиуса r с центром в точке a Е E. Диаметром множества. А называется число diam А = sup ||х — yl границу множества x,y ∈ A

А обозначим через дА. Через co А обозначим выпуклую, а через cone А коническую оболочку мно жества. А.

Для точек х 0 11 х 1 ii з E ii числа. А Е (0,1) обозначим x\ = (1 — А) х 0 + Ах 1.

Определение 1.   ([8]). Пусть функция f : E ^ R выпуклая и полунепрерывная снизу. Пусть функция 5; [0, + го) ^ [0, + го) строго монотонно возрастает, 5(0) = 0. Будем говорить, что функция f равномерно выпуклая с модулем выпуклости 5- если для любых х0. х 1 из E и для любого А Е (0, 1) выполнено неравенство

f ( х_х ) 6 (1 — А ) f ( х о ) + Af ( х 1 ) —

—А (1 — А ) 5 ( ||х о — х 1 1 ) .           (1)

Определение 2. ([8]). Пусть А С E замкнутое выпуклое подмножество. Модуль выпуклости 5a'. (0 , diam А ) ^ [0 , + го ) есть функция, определяемая как

5 A ( е ) = sup ^ 5 > 0

B , х^) С А

Vх 1 ,х 2 Е А : ||х 1

х 2 k = е).

*Работа поддержана грантом РФФИ 10-01-00139-а, программой «Развитие научного потенциала высшей 2.1.1/11133 и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» программа 1.2.1.

В определении 2 точки х 1 , х2 можно выбирать из точек границы дА [6].

Определение 3. ([8]). Пусть E является банаховым пространством и А С E его замкнутое подмножество. Если модуль выпуклости 5a ( е ) строго положителен для всех е Е (0 , diam А ), то мы назовем множество А равномерно выпуклым (с модулем 5a ( • )).

Определения 1, 3 впервые даны Б.Т. Поляком, достаточно полное исследование содержится в работах [2,5] и особенно в работе [10].

Определение 1 можно сформулировать и для функции, определенной на множестве U С E, однако мы далее будем считать, что область опреде ления f совпадает с E.

Отметим, что для любого выпуклого замкнутого множества А модуль выпуклости удовлетворяет оценке 5 a ( е ) 6 Се ² для некоторой константы С >  0. Если пространство E содержит собственное пеодпоточечпое равномерно выпуклое множество А, то 1) пространство имеет эквивалентную равномерно выпуклую норму (и тем самым является рефлексивным) и 2) множество А ограничено, см. [6].

Введем еще несколько обозначений. Через L ( а ) = Lf ( а ) обозначим множество уровня а функции f. т. с.

L ( а ) = Lf ( а ) = {х Е E | f ( х ) 6 а}.

Определим также

La = sup {|р| | р Е df ( х ) , х Е Lf ( а ) }, Ka = inf {kpk | p Е df ( х ) , х Е дLf ( а ) }.

Здесь df ( х ) — субдифференниал функции f в точке х Е E. т. е.

df ( х ) = {р Е E* | f ( z ) >  f ( х ) + ( p, z — х ) V z Е E}.

Для дифференцируемой функции субдиффереп-циал совпадает с множеством, состоящим из про изводной f в точке х.

ШКОЛЫ»

Теорема 1. Пусть функция f удовлетворяет определению 1. Тогда для любого а > inf f (x) x∈E множество L(а) равномерно выпуклое с модулем выпуклости

Л М > ⁵ ( ^£ ) ⁵ L ^{( a )( е}) >  l ■

¤

Доказательство. Зафиксируем е >  0 и x, у е е dL ( а ). ||x — ук = е. Пусть z = 2 ( x + у ). В силу определения 1

f ( z ) 6 2 f ( x ) + 2 f ( у ) — 4 5 ( kx — ук ) = а — 4 5 ( е ) .

В силу условия а > inf f (x) имеем La > 0, в силу x∈E условия определенности выпуклой функции f на всем пространстве E имеем La < + го.

Таким образом, если w е B s^ ( z ), то f ( w ) 6 ⁴ La

6 f ( z ) + L a I I ) = f ( z ) + 4 5 ( е ) 6 а. Поэтому

B SM (x^ ) CL ( а ) ’

4 La \   2

откуда следует утверждение теоремы.         ■

Из теоремы сразу следует, что 5 ( е ) = O ( е 2 ), е ^ +0 (см. также [2]).

Кроме того, как следует из свойств модуля выпуклости множества, все лебеговы множества. f ограничены и мы далее можем считать, что min f ( x ) = f (0) = 0. x ∈ E

Напомним, что график функции f : E ^ R есть множество graph f = {(x,ц) е E х R | ц = f (x)}, а надграфик функции f : E ^ R есть множество epi f = {(x,^) е E х R | ц > f (x)}.

Лемма 1. Пусть ( E, || • | |) — банахово пространство. Пусть f : E ^ R полунепрерывная снизу равномерно выпуклая функция с модулем выпуклости 5. Пусть а >  min f ( x ). Тогда множество x ∈ E

A = { ( x, ц ) е E х R | ц 6 а} П graph f явля ется частью границы равномерно выпуклого множества в том смысле, что для любых точек z 0 ,z 1 е е A выполнено включение

₅ f kz 0 - z 1 ^k 0 Y z 0 ⁺ z 1 + У L a + 1 ) 2        4( L a + 1)

B 0 (0 , 0) C epi f.

Здесь норма. || • | |о = || • | | + | • |. .a B 0( x о ,ц о) = = { ( x, ц ) е E х R | |x — x о | | + |ц — ц о | 6 г}.      □

Доказательство. Для а > min f (x) обозна- x∈E чим

Пусть точки z о , z 1 е A таковы, что z i = = ( x i , f ( x i )) 11 f ( x i ) 6 а. i = 0 , 1. Тогла |f ( x о ) — — f ( x i ) | 6 L a kx о —x 1 1 | и. значит, kz о — z 1 1 |о 6 ( L a + + 1) |x о — x 1 1 |. Отсюда.

kz 0 - z 1 k 0 kx 0 - x 1 k >               .

L_a + 1

В силу равномерной выпуклости f имеем f (xi/2) 6 2 f (xо)+ 2 f (xi)— 45(|xо— x 11|) 6

• ^{1             1             1} е / ^{k z} о ^— z 1 I Iо \

• ⁶    2 ^{f ( x о) +} 2 ^{f ( x} 1) ^— 4 ⁵ ( L a + 1 ) ■

Положим h = ¹ 5 f kz ⁰— ,z ^{1 k 0} Y Опре делим в = ^{1      L} a ^{+ 1}

= 2 f ( x о) + 2 f ( x 1) 6 а. z = ( x 1 / 2 ,в ) е epi f ii множество

K = { ( x,ц ) е E х R | L_a|x 1 / 2 — x| 6 ц — ( в — h ) }■

Отметим, что K — конус с вершиной ( x 1 / 2 , в—h ) е е epi f и «раствора» L_a.

В силу определения L_a и по пос троению K имеем

K П Sa C epi f П Sa, откуда.

В ^о h ( x 1 / 2 ,в ) П S e =

La +1

= { ( x,ц ) е E х R | ( L a + 1)( |x — x 1 / 2 1 +

+ в — ц ) 6 h}n S e C K П S e C epi f П S e ■ (2)

Из доказательства, теоремы 1 следует, что

B ( x 1 / 2 ) CL f ( в ) ,

Lα отсюда, п из включения (2)

B ^о h ( x 1 / 2 ,в ) C epi f.

La + 1

Последнее включение в точности означает, что z ^ + z ¹ + В ^о -h- (0 , 0) C epi f.

2          La +1

■

Обозначим через N ( A, у ) нормальный конус к выпуклому множеству A в точке у е A, т. е.

N ( A, у ) = {р е E * | ( р, у — x ) > 0 Vx е A}.

Лемма 2. Пусть f : E ^ R — выпуклая полунепрерывная снизу функция. Пусть а >  inf f ( x ). x ∈ E

Пусть int L ( а ) = 0 и у е dL ( а ), т. е. f ( у ) = а. Тогда.

N ( L ( а ) ,у ) = cone df ( у ) .            □

S a = { ( x, ц ) е E х R | ц 6 а}.

Доказательство. Смотри [3, Пример 1.16.5].

Напомним, что суммой Минковского множеств A, B С E называется множество {а + b | a Е Е A, b Е B}, расстояние в метрике Хаусдорфа между множествами A, B С E есть

h ( A, B ) = inf {r >  0 | A c B + B r (0) , B С A + B r (0) }.

Следующая лемма, уточняет следствие 2.3 из [Ю].

Лемма 3. Пусть функция f удовлетворяет определению 1 и min f (х) = f (0) = 0. Тогда для x∈E любых в > а > 0 выполнено неравенство h (L(а), L(в)) 6 Фа (в - а),         (3)

где ф_а ( • ) — обратная функипя к функции g ( t ) = = К_аt + 5 ( t ). t >  0.                               □

Доказательство. Отметим, что лебеговы множества функции f равномерно выпуклы, значит пространство E рефлексивно.

Включение L ( а ) С L ( в ) очевидно. Зафиксируем х Е dL ( в )• Пусть у есть метрическая проекция точки х на миожество L ( а ) ( у существует в силу рефлексивности E ), очевидно, что у Е dL ( а ). Как показано в [10], субградиентное неравенство для равномерно выпуклой функции может быть записано в виде: p Е df ( у ) влечет f ( z ) >  f ( у ) + + ( p, z — у ) + 5 ( kz — ук ). для всех z Е E.

При а >  0 в силу леммы 2 во множество df ( у ) найдется вектор p = 0, сонаправленный с векто ром J ( х — у ) Е N ( L ( а ) , у ). Злось J ( х — у ) Е E*. единичной длины, и такой, что ( J ( х — у ) , х — у ) = = I I ^{х —} у¹-

Взяв z = х. мы получаем в = f(х) > f(у) + (Р,х — у) + 5(||х — ук) =

= ^{а +} kpkkx ^— у ^{к + 5 (} kx ^— у ^к ) >

• > ^{а +} К^Х ^— у ^{к + 5 (} kx ^— у ^к ) ,

откуда ||х — ук 6 Ф а ( в — а ).

При а = 0 для получения предыдущей оценки достаточно взять p = 0 Е df (0).

Поскольку точка х Е dL ( в ) произвольная, то h ( L ( а ) , L ( в )) 6 Ф а ( в — а ).                        ■

Следующая теорема, является уточненным вариантом [4, теорема. 4].

Теорема 2. Пусть A С E — равномерно выпуклое множество с модулем выпуклости 5 a. Пусть E = Ь ф l. г,де co dim Ь = 1. dim l = 1. Отождествим l с осью значений. Пусть PL — проектор на Ь параллельно 1 и С = k Pl к- Определим функцию f : Pl A ^ l, f (x) = min {ф | (x, ф) Е A}

V x Е Pl A. (4)

Тогда функция f равномерно выпуклая на своей области определения P L A с модулем выпуклости 5 ( е )=2 5a ( CC ).                                  □

Доказательство. Заметим, что С = ||P L k >  1 (так как Pl оставлявт точки L неподвижными).

Пусть х0,х 1 Е graphf. |x0 — х 1 k = е > 0. z = = 2 (х0 + х 1). По услов!по теоремы BgA(е)(z) С С A С epi f. Из гомотетии с неподвижной точкой х0 II коо<1х1>1 щиеитом 2А. где А Е (0, 2]. имеем f (PLxX ) 6 (1 — А ) f (PLx о) + Af ( PLx 1) — 2 А5А (е) 6 6 (1 — А)f(PLXо) + Af(PLX1) — А(1 — А)25a(е). (5) С учетом формулы Се = СЦх0 — х 1 k > kPLх0 — — PLX 1 k мы получаем, что f(PLxX) 6 (1 — А)f(PLxо) + Af(PLx 1) —

• —А (1 — А )2 5a ^ ^{k P L X 0} — ^{P L X 1 k} ^ .

Аналогичная оценка получается и при А Е ^Е ( 2 , 1)-                                                  ■

Теоремы 1 и 2 имеют общий характер и позволяют единым способом доказать многие известные результаты.

Пример 1. Пусть гильбертово пространство H есть сумма, ортогональных подпространств lфЬ. dim l = 1. Покажем, что если в гильбертовом пространстве H множество A есть пересечение ша ров радиуса. R >  0. то <)>лшкция f из (4) сильно 2

выпукла с модулем 5 ( е ) = <|r. Этот результат анонсирован в [4, теорема. 4].

Поскольку A есть пересечение шаров радиуса R , то модуль выпуклости A не меньше модуля выпуклости шара радиуса R, т. е. в теореме 2 мы можем взять для всех допустимых по смыслу е> 0

⁵ а ^{( е} ) = R ^— J R ^{2 —} — - — ,     ^е ^ ⁰ .

4   о R

Переписывая верхнюю строчку формулы (5) для точек х 0, х 1 Е PLA нА = 2. получаем f (х2 ) 6 2 f (х0) + 2 f (х 1) — 5A (|хо

^{— х} 1 ^k ) .

Пусть R 1 > R. Выберем е ₀ >  0 так. чтобы

⁵ а ( е ) = R — V R 2 — ^е 2 >  12Г

4   о R 1

V е Е [0 , е о ] .

Отсюда получаем, что для любых точек хо, х 1 Е PlA таких. что ||хо — х 1 k 6 ео выполнено неравенство f (х 2 ) 6 2 f (хо) + 2 f (х 1) —

5a ( Цх о — х 1 k ) 6

2 ^{f ( х} о ) ⁺ 2 ^{f ( х} 1 ) ^—

· · kx - x k ² .

2 2 2 R 1 ^{k о 1 k}

Последнее неравенство, как легко показать, эквивалентно неравенству выпуклости для функции g ( х ) = f ( х ) — 2 rR i ||х | ² (: А = 2 и при условии, что Цх _о — х 1 k 6 е _о. Но, как следует из соображений индукции и непрерывности функции f на PlA. локальная выпуклость (функции g (с А = 2) влечет глобальную, следовательно функция g ( х ) выпукла в обычном смысле: для любых х о , х 1 Е H

II А Е [0 , 1]

g ( х_А ) 6 (1 — А ) g ( х о ) + Ag ( х 1 ) .

Отсюда получаем для всех xо, x1 Е H и А Е [0,1], что f (xx) 6 (1 - А) f (xо) + Af (xi)-

^{— А (1 — А} ) —- ||x о ^— x 1 1 |²

2 R i

V R 1 > R.

Предельный переход по R 1 ^ R + 0 завершает доказательство.                                 ■

Пример 2. Пусть функция f : H , R равномерно выпукла с модулем 5 ( е ) = КК е ². Как следует из примера 1, это значит, что функция g ( x ) = = f ( x ) — КК |x| ² выпукла.

Тогда, по теореме 1 лебеговы множества, такой функции равномерно выпуклые с модулем

⁵ L ( а ) ^{( е} ) >        ^{е 2} .

Итак, 5 l ( _а )( е ) >  Се ², С = 8 ^а • Применяя результаты [7], получаем, что лебегово множество уровня а для такой функции есть пересечение ша ров радиуса. R 6 ^ = L^ ■