О нарушении соотношения неопределённости «энергия-время» при движении частицы в ускоряющем поле

В статье [1] путём решения уравнения Шрёдингера, для движения электронного пакета. в произвольном ускоряющем потенциале с заданной волновой функцией на. границе (эмиссионная задача) было показано, что длительность электронного пакета с энергией Е в некоторых случаях может стать меньшей ~/Е, т. е. не удовлетворять соотношению неопределённости «энергия-время». Проиллюстрируем этот результат на. примере не граничной, а традиционной для квантовой механики начальной задаче.

Пусть частица массой т движется вдоль оси x в однородном ускоряющем поле с потенциальной энергией U (x) = —Fx, (Ғ = const >  0). Её распространение описывается уравнением Шрёдингера:

8F(x, t)

г~ ——— = Н(x) Wx, t)(1)

с гамильтонианом

H(x) =   + U (ж) = — — — — Fx2

2т          2т ox²

и начальным состоянием (при t = 0):

^(x, 0) = ^(x, 0) =

(2,^ 2 0 )^-1/ 4 ехр(-^ )

где ^ух₀ = (Ax)² — квадрат среднеквадратичной пространственной ширины ©(x, 0)|². Полная энергия Е частицы в потенциальном поле U (x) сохраняется и будет, с учётом (2),

равна

E = j ф* (x’t) Й ^(x = 2— j ^*(x₎t) p²i^xt) dx — F j ^*(x,t) x ^(x’t) dx =

1- • p2(t) — F • x(t) = 1- (p2(t) — p(t)2) + 2m                2m \          / pE- — f • Д0 =

2m         v '

(Ар)² + (Ft)² 2m 2m

-

Ft

F • ----- 2m

(Ар)2 2m

~2

^{s —} А. ’

поскольку [2, задача 7.36 (б) ]

x(t) = F^t2 ’ 2m

p(t) = Ft,

(Ар)2 = (p(t) - p(t))

~2

4т2 ’

X0

t. e. среднеквадратичное отклонение импульса частицы в этих условиях не зависит от времени и определяется начальной шириной волнового пакета <т_х0 .

Среднеквадратичная пространственная ширина a_X(t) волнового пакета увеличивается по закону [2, задача 7.36 (б) ]

^^(t) = і/т^+гігг = ~^ У+^2І^ = / '\1 1 + (^ғ Y ’     (⁵)

у ⁰    4m² ст²0   2mv хо V      ~²1²      2—т хо у \t )

где характерное время

2m 2 t* = ~ Тхо ’ и при t A t* пространственная ширина будет линейно меняться со временем:

T_X(t) = 2----- t при t A t* .

Так как в данном случае средняя скорость v(t) = p(t)/m = Ft/m также линейно зависит от времени, то временная ширина пакета, равная времени т прохождения волновым пакетом |^(x’t)|² расстояния, равного своей пространственной среднеквадратичной ширине T_X(t), б удет при t A t* стремиться к постоянному пределу:

Tx(t) _    ~

Ft) ~ 2тхоҒ

при t » t*’                            (6)

и при 2т_х0Ғ > E = ~ ² / (8 —t X ₀ ) (см. (4)), т. e. при

— =  ~2у" ИЛИ Тх₀ >  ( — )                ( 7)

2тх0   16—tX0              16mF длительность т во.тіювого пакета |^(x’t)|2

с энергией E будет удовлетворять неравенству

т

~

и, следовательно, не будет подчиняться соотношению неопределённостей «энергия-время».

Этот же результат получается и при подсчёте временной дисперсии |^(x’ t)|² пр и t ^ то и x ^ то. Функция Грина для уравнения Шрёдингера (1) с гамильтонианом (2) равна [2, задача 7.24]

_Q(x,_i,x') = .exp(—     t3 + IFtx + ^ A exp [3^— x‘² — Im (x — ^Ft2) x'l .

V 2^г~t       24m~     2~     2~t           2~t      ~t      2m что позволяет записать для решения уравнения Шрёдингера с начальным условием (3):

\i^(x,t)\² = J G(x,t,x') ^(x', 0) dx'

m

(2т) 3 / 2 ~ст_Жо t

7 exp[( ⎛

-

4а2

X0

гт \

+ 2~t

2 x

-

mx г ——

~ t

тахо

~t \/i+I

• exp

-

2т2а2_п ^х0

-

I~^2t 2 ⁽¹⁺ 1 ⁾

• (x - £)

( x

2 ^⎞

/

- Ft ! ⁾]dx‘

2m

,

временная часть которого при t ^ t* пропорциональна выражению

\^(x,t)|2 :: 1 exp(-

^2m 2 ^aXo^x 2    ^F 2 ^аХо

~2t2

-

2~2

t2).

временные моменты которого определяются интегралами [3, формула 3.471.9]

∞ mn = J tn \^(x,t)\2dt ::

∞

^:: J^{11 8}

1 • exp ^—

∞ j tn-1 exp( -

^2m 2 ^aXo^x 2 1   FZ^Xo

-

~2     t2     2~2

^2m 2 ^aXo^x 2 1    ^F 2 ^аХо

-

~2     n    2~2

t2) dt = Г , h^V 1 :: at::au/ y/u

„⁾d„ :: ^{( 2m)n}'²K„_r2 ⁽^ОЦ .  _№

где K_n/2(z") — функция Макдональда (модифицированная функция Бесселя 3-го рода), имеющая следующую асимптотику при большом значении аргумента z [3, формула 8.451.6]:

Kn/2(z)

=< [1+-

2 _-

iz

^+O (z

2 )1 ::1 + ^-2i-² +О (z-²) .

m o :: K o (z) :: 1 -

iz ^{+ О (x 2)} ’

mi . J

2mx

F

K i / 2 -2)] ,

2mx      2mx m2 :: "^Ki(z) :: —jy

1 + 1 + О 2 .

и среднеквадратичная длительность квантового волнового пакета будет даваться выражением

/ m 2     m i ²

^at   V mo   \mo/

2mx

1 + 8 7 + о (x^-2)

\ ^F [1 — 87 +O (x^-2)

- C+i+o

=Vimi ^+^o3>i=TH [1+⁰ (x-3)]=

~

2oxoF

при x ~ t2 ^ то. Выражение (10) совпадает с длительностью (6) квантового волнового пакета, полученной косвенным путём, и которая при выполнении условий (7) будет меньше длительности, получаемой из соотношения неопределённостей «энергия-время».

Полученный результат не должен вызывать удивления, так как соотношение неопределённости «энергия-время» является только оценкой (см. [4]) в отличие от строгого неравенства, например, в соотношении неопределённости «координата-импульс»:

(И)

ахар > 2 , где г, = (ж — ж)2 и гр = (рх — р,)2, так как физическим переменным в квантовой механике соответствуют самосопряжённые (эрмитовы) операторы с действительными собственными значениями (которые равны возможным значениям соответствующей физической величины), а оператора времени в квантовой механике не существует [4] .

П.А.М. Дирак в первом издании «Основ квантовой механики» [5] 1932 г. попытался последовательно провести понятие «квантовомеханического состояния» в 4-мерном пространстве-времени Минковского, где пространственные и временная координаты имеют одинаковую геометрическую природу и являются равноправными, однако впоследствии был вынужден отказаться от этой точки зрения и во втором издании [6] (англ, издание 1935 г.) Дирак уже отмечал, что «понятие „состояния” в его нерелятивистском смысле [т. е. с временем, выделенным как отдельный параметр t] в такой степени способствует ясности изложения, что поневоле начинаешь подозревать, не нуждаются ли основные идеи современной квантовой механики в серьёзной переделке как раз в этом пункте, и не будет ли более совершенная теория в лучшем согласии с тем изложением, которое дано здесь, нежели с тем изложением, которое стремится повсюду сохранить релятивистский смысл „состояния” » .

Координате и соответствующей проекции импульса в квантовой механике сопоставляются операторы ж = ж и р_х = —г~ д, с коммутатором [ж, р,] = жр—рж = г~; с математически строгим доказательством неравенства (11) на основе этих операторов и их коммутатора можно познакомится, например, в [7, § 16].

Результаты настоящей работы были частично изложены в [8] .