О некоторых многокритериальных методах выбора плановых решений

Современный экономический рынок нуждается в квалифицированных специалистах в области применения новых методов управления, базирующихся на теории принятия решений с использованием математического моделирования в среде информационных технологий. [1]. В научной литературе теория математических моделей достаточно глубоко освящена, что нельзя сказать о практике их применения. Значительную долю управленческих решений можно рассматривать как решение задач оптимизации. Среди однокритериальных и многокритериальных методов выбора плановых решений наибольшее применение находят последние.

Цель исследования : освещение некоторых методов решения многокритериальных задач в планировании и их применении на практике.

К задачам исследования можно отнести:

• •    рассмотрение методов многокритериальной оптимизации, таких как методы равномерной оптимальности, справедливого компромисса, свертывания критериев, главного критерия;

• •    применение этих методов к конкретной многокритериальной проблеме планирования работы фирмы.

Выделение существенных для модели рассматриваемой экономической системы показателей качества альтернатив выбора, соответствующих поставленным целям, приводит к задаче векторной оптимизации, которая заключается в нахождении максимума вектор-функции:

Ғ(х) = C/i(^),/2(^),---,/n(^)) ^ max, xе D, где D – область допустимых решений модели.

При многокритериальной оптимизации возникают три проблемы:

• •    первая – выбор принципа оптимальности;

• •    вторая – нормализация векторного критерия F(x);

• •    третья – приоритет частных критериев.

В задаче многокритериального выбора решение почти всегда ищется в области компромиссов или в области решений, оптимальных по Парето. Известен целый ряд методов решения многокритериальных задач, которые можно разбить на 4 группы:

• 1.    Сведение многих критериев к одному путем введения весовых коэффициентов для каждого критерия (более важный критерий получает больший вес).

• 2.    Минимизации максимальных отклонений от наилучших значений по всем критериям.

• 3.    Оптимизация одного критерия, а остальные критерии принимаются как дополнительные ограничения.

• 4.    Упорядочение множества критериев и последовательная оптимизация по каждому из них.

К методам многокритериальной оптимизации при решении задач планирования в системе управления фирмой относятся методы:

• •   равномерной оптимальности;

• •   справедливого компромисса;

• •   свертывания критериев;

• •   главного критерия и др.

Любое решение многокритериальной задачи должно начинаться с нормализации критериев (приведения их к безразмерному виду) [2].

Чаще всего используется следующий способ получения безразмерной формы критериев:

()=

()-

fmax _ fmtn -

,   = 1,  ,

где            = max ∈    ( ) ,           = min ∈    ( ),      ≠       .

Как пример, приведем многокритериальную задачу планирования с тремя целями: минимизация затрат на рекламу, завоевание максимальной доли рынка, максимальный объем продаж рассмотрены для фирмы «Успех», которая имеет возможность реализовывать свои товары на четырех различных рынках (альтернативы А 1 , А 2 , А 3 , А 4 ). Доля рынка должна быть не меньше 45 %, а объем продаж – не меньше 85 тыс. ден. ед. Какие рекомендации можно дать фирме о планировании работы на рынках с исходными данными, приведенными в таблице 1?

Исходные данные

Таблица 1

Рынок	Критерий
	f 1 – затраты на рекламу, тыс. ден. ед.	f 2 – доля рынка, %	f 3 – объем продаж, тыс. ден. ед.
А 1	7	45	90
А 2	5	40	85
А 3	9	50	80
А 4	6	45	83

Значения критериев даны в различных единицах измерения, потому согласно формуле (1) они приведены к безразмерному виду:

г л л   ^7-5        г г л л   45-40         г г х х 90-80

f ⁰ ( A ) =    = 0,5; f ⁰ ( A ) =      = 0,5; f ⁰ ( A ) =      = 1.

1       1                    ,2       1                        ,3       1

(  )=0;	(  ) = 0;	(  ) =0,5;
(  )=1;	(  )=1;	(  ) = 0;
(  ) =0,25;	(  ) =0,5;	(  ) =0,3․

В силу минимизации критерия необходимо умножить его безразмерные величины на (–1). Тогда можно сформировать таблицу 2.

Таблица 2

Альтернатива	Цель (критерий)
	f 1	f 2	f 3
А 1	-0,5	0,5	1
А 2	0	0	0,5
А 3	-1	1	0
А 4	-0,25	0,5	0,3

Преобразованные исходные данные

Решение проблемы рассмотрим несколькими методами.

Метод равномерной оптимальности:

• f (X) = ^ fj (jc) ^ тах,XED.                        (2)

7 = 1

Он применяется, если глобальное качество альтернативы представляет собой сумму локальных (частных) качеств и, кроме того, все критерии имеют одну и ту же единицу измерения, например денежное выражение либо безразмерные величины. Главный недостаток метода - это возможность компенсации малых значений некоторых критериев достаточно большими значениями других.

В соответствии с (2) будем иметь max{- 0,5 + 0,5 + 1; 0,5; 0; - 0,25 + 0,5 + 0,3} = max{i; 0,5; 0; 0,55} = 1.

Тогда, согласно принципу равномерной оптимальности, предприятию выгоднее работать на рынке А 1 .

Метод справедливого компромисса:

и

• f (х) = П f j (х) ^ тхх, XDD.                      (3)

• 7 = 1

Он применяется, потому что существуют разнообразные схемы, приводящие к такому методу, и существует тесная связь с решением в некооперативных играх.

Прежде всего, необходимо избавиться от отрицательности критерия f_t , добавив константу, например 1. Тогда значения первого критерия будут равны:

f ^H( A 1 ) = 0,5; f ^H( A 2 ) = 1; f ^H( A 3 ) = 0; f , ^H( A 4 ) = 0,75.

На основании (3) имеем max{0,s-0,s-1; гсю,5; 0; о,75^о,5^о,з}= max{o,25; 0; 0; 0,1125} = 0,25.

Результат получился аналогичный предыдущему, а именно: выгоднее работать на рынке А 1 .

Метод свертывания критериев: и                         и f (х) = ^ aj fj (х) ^ max, xDD ,^aj = 1, ctj > 0.

7=1                        7=1

Здесь каждому из критериев приписываются весовые коэффициенты ар определяющие предпочтения ЛПР.

Возьмем следующие значения весовых коэффициентов для каждого критерия, учитывая предпочтения ЛПР: a 1 = 0,2; a 2 = 0,3; a 3 = 0,5. Тогда функции свертки в соответствии с (4) будут равны:

fv = 0^0,2 + 0,5 0,3 + 1^0,5 = 0,55;

f 2 = 0-0,2 + 0-0,3 + 0,5^5 = 0,25;

f 3 = - 1-0,2 + 1-0,3 + 0*0,5 = — 0,2 + 0,3 + 0 = 0,1;

f 4 = -0,25-0,2 + 0,5-0,3 + 0,з-0,5 = 0,25;

и тогда max {0,55; 0,25; 0,1; 0,25} = 0,55.

При таком назначении коэффициентов значимости критериев выгоднее всего работать на рынке А 1 .

Если положить a 1 = 0,1; a2 = 0,7; a3 = 0,2, то fv = - 0,5^0,1 + 0,5 0,7 + 1-0,2 = 0,5;

f 2 = 0 + 0-+ 0,5-0,2 = 0,1;

f 3 = - 1-0,1 + 1-0,7 + 0-= 0,6;

f 4 = -0,25-0,1 + 0,s-0,7 + 0^0,2 = 0,385;

тогда max {0,5; 0,1; 0,6; 0,385} = 0,6.

Таким образом, если приоритет отдается доле рынка а _т = 0,7 , то фирме имеет смысл работать на рынке А 3 .

Если же фирма находится в затруднительном положении с точки зрения средств, выделяемых на рекламу, то есть для нее в данный момент самым важным является минимизация затрат на рекламу, то коэффициенты значимости могут быть, например, следующие:

а_г = 0,8; о₂ = 0,1 ; о₃ = 0,1 , тогда max {- 0,25; 0,05; - 0,7; - 0,12} = 0,05.

Следовательно, в такой ситуации лучше всего работать на рынке А 2 .

Если задать весовые коэффициенты аг = 0,3; №2 = 0,4; «з = 0,3, то f1 = 0,35; f2 =·0,15; f3 = 0,1; f4 = 0,215, тогда max {0,35; 0,15; 0,1; 0,215} = 0,55.

При таких значениях весовых коэффициентов выгоднее работать на рынке ^1 .

Метод главного критерия. Пусть главный критерий ƒ _т – затраты на рекламу, а остальные критерии выступают в роли ограничений, причем доля рынка должна быть не меньше 45 %, а объем продаж – не меньше 85 тыс. ден. ед. Тогда в соответствии с тем, что по методу главного критерия

Уі (X) → max, x ∈ D, fj(x) ≥ dj, j = 2,n, где ft (x) – главный, наиболее важный из всех для ЛПР критерий, dj – нижняя граница j-го критерия, устанавливаемая ЛПР. Минимальное значение главного критерия; ƒ t равно 5 тыс. ден. ед. и соответствует альтернативе А2, однако с учетом ограничения на долю рынка следует выбрать альтернативу А4, но так как еще требуется, чтобы объем продаж был не меньше 85 тыс. ден. ед., то наилучшей альтернативой в этом случае будет рынок А1.

Учитывая результаты всех рассмотренных методов, следует рекомендовать фирме «Успех» планировать работу на рынке А 1 .

Таким образом, принятие решения на основе теории игр – выбор оптимальной альтернативы, так как позволяет получить наилучший результат в достижении поставленной цели.