О некоторых нерешенных проблемах математики

В математике, как и в любой другой науке, существует огромное множество вопросов, ответы на которые еще не дал ни один человек на Земле. Многие из них довольно широко известны на весь мир, например проблемы Гильберта или проблемы тысячелетия. Мы рассмотрим несколько подобных вопросов.

1.Хроматические числа.

Задача о хроматическом числе ^ ^(R ” ) пространства Евклида, относящаяся к разделу комбинаторной геометрии, была сформулирована Г. Хадвигером и П. Эрдешем в начале сороковых годов XX столетия. Требуется найти минимальное число цветов, которыми можно замостить евклидово пространство Rⁿ таким образом, чтобы точки, находящиеся на расстоянии меньшем, чем некоторое фиксированное расстояние, оказались окрашены в различные цвета. Вопрос получил очень широкую известность, было опубликовано множество работ, дающих частичное решение, однако по состоянию на 2018 год проблема все еще остается открытой[1].

Совершенно очевидно, что для одномерного евклидова пространства хроматическое число равняется двум. Впрочем уже для плоскости предмет обсуждения остается не раскрытым. Возникает вопрос: вам дан бесконечный лист бумаги и краски. С вас требуется раскрасить его, т.е. указать метод, каким образом можно расписать фрагмент, а дальше по аналогии с ним раскрашивается весь лист. Причем сделать это нужно таки образом, чтобы никакие две точки, находящиеся на фиксированном расстоянии, не были одного и того же цвета. Сколько красок потребуется для решения этой задачи? На рисунке представлена раскраска фрагмента c использованием 7 цветов:

Рисунок 1. Раскраска плоскости в 7 цветов.

Было доказано, что для раскрашивания плоскости необходимо от 5 до 7 цветов, однако конкретное число еще не найдено.

Проблемой хроматических чисел занимаются многие ученые, на нее было потрачено огромное количество сил, каждый год все ближе и ближе подходят к ее решению, разрабатывают новые методы решения, результаты улучшаются. В связи с этим можно предположить, что задача о хроматическом числе евклидова пространства будет решена в ближайшие годы.

• 2 . Проблема Борсука.

• 3 .Нечетные совершенные числа.

Следующий вопрос, сформулированный К. Борсуком в 1933 г., имеет определенную взаимосвязь с задачей о хроматических числах. Постановка задачи: каково наименьшее количество частей строго меньшего диаметра, на которые может быть разбито произвольное ограниченное множество в пространстве R ⁿ [2].

Рассмотрим некоторое конечное множество точек Ω n-мерного евклидова пространства R ⁿ . Если говорить не строго, то диаметром множества Ω называется расстояние между его двумя максимально удаленными токами. Представим Ω в виде дизъюнктного объединения частей 0=22 1 v/2 2 v...v(1_s , таким образом, чтобы диаметр каждого 2 был меньше диаметра Ω. Через f(n) обозначим минимальное количество частей меньшего диаметра, на которые можно разбить произвольно выбранное множество в R ⁿ .

Совершено очевидно, что для случая n=1, f(n)=2, т. к. множество Q в этом случае целиком заключено в отрезок, который мы разделим на 2 части. Для случая f(n)=2 все уже не так тривиально. Однако было доказано, что f(2)=3. Мы не будем приводить рассуждения для большие размерности, т.к. рассуждения с увеличением размерности становятся все более и более трудными.

Проблема Борсука вызывает огромный интерес математиков, и на ее решение было положено огромное количество сил. Ее решением занимались такие ученые, как: Дж. Кан и Г. Каллаи, А. Нилли, Б. Вайсбах, А. М. Райгородский и другие. Возникло даже некоторое «соревнование» среди служителей науки, с каждым разом даются все более точные оценки для f(n). Однако пока никто не имеет представления, каким будет число f(n) для 4 < n ≤ 297. Вопрос, поднятый К. Борсуком, остается нерешенным, но чрезвычайно занимательным.

Совершенным числом называют такое число, которое представляет собой сумму всех своих делителей, кроме него самого. Приведем несколько примеров совершенных чисел: 6=1+2+3; 28=1+2+4+7+14. Очередными, уже б о льшими числами являются 496, 8128, 33550336 и далее. Видно, что по мере возрастания числового ряда, совершенные числа встречаются все реже, и потому их поиск становится весьма затруднительным делом.

Механизмом отыскания совершенных чисел занимались еще в Вавилоне и античных странах. Древнегреческий математик Евклид показал, что всякое число, которое может быть представлено в виде 2 ^р-1 (2 ^р -1), где множитель (2 ^Р -1) - простое число, является совершенным [3].

По сей день неизвестно, каково количество совершенных чисел, и неясно, образуют ли они бесконечное множество или нет. За всю историю существования проблемы было найдено чуть менее 50 чисел, и абсолютно все они четные. Нечетных совершенных чисел не было найдено, однако не было доказано, что таких чисел не существует вовсе. Этим вопросом занимались еще со времен Евклида, однако продвинуться далеко вперед в решении этой задачи не удалось никому, поэтому можно сделать вывод о том, что, вероятнее всего, в ближайшее время мы так и не узнаем ответ на вопрос: существуют ли нечетные совершенные числа?