О необходимом условии, при котором решение однородного уравнения Гельмгольца удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда

В теории волновых задач важное место отводится вопросам корректной постановки краевых задач для уравнения Гельмгольца. Существенную роль при постановке таких задач в неограниченных областях играют условия излучения Зоммер-фельда [1], позволяющие выделять единственное решение.

Известно, что решение однородного уравнения Гельмгольца, определенное на всем пространстве x ∈ R ³ , называемое целым решением, условиям излучения Зоммерфельда не удовлетворяет. Решение однородного уравнения Гельмгольца, область определения которого составляет бесконечное подмножество R ³ , называется излученным решением (radiation solution), если оно удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда [2]. В различных задачах излучения и рассеяния волн приходится оценивать акустическое поле в полупространстве по заданному его значению на плоскости, граничащей с этим полупространством. При этом необходимо определить по значению поля на плоскости, является ли решение в искомом полупространстве целым или излученным. Или, иными словами, удовлетворяет ли решение условиям излучения Зоммерфельда.

В настоящей работе предлагается довольно простое необходимое условие, позволяющее определить по значению поля на плоскости, удовлетворяет ли решение в полупространстве условиям излучения Зоммерфельда.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассматривается стационарный гармонический процесс в однородном полупространстве z≥ z0 с временным фактором e-iωt, впредь опускаемом, удовлетворяющий однородному уравнению Гельмгольца. Пусть на плоскости z= z0 задано поле

u ( x , y , z ₀) = ψ ( x , y ).              (1)

По функции ψ ( x , y ) необходимо определить является ли решение u ( x ) при z ≥ z ₀ излученным либо целым, т. е удовлетворяет или нет решение u ( x ) условию излучения Зоммерфельда при z ≥ z ₀, r →∞ , r = x . Точка наблюдения x = ( x , y , z ) = ( r , θ , ϕ ) соответственно в декартовых и сферических координатах.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Краевое условие (1) позволяет однозначно построить решение u в полуплоскости z ≥ z ₀ . Пусть существует преобразование Фурье функции ψ ( x , y ) в обычном или обобщенном смысле [1] (см. также Приложение) ∞∞

ψ ( x , y ) = ∫∫ Ψ ( k_x , k_y ) e ^{i ( kxx + kyy )} d k_x d k_y ,      (2)

-∞-∞ где

∞∞

Ψ ( k_x , k_y ) = ₂ ψ ( x , y ) e ^{- i ( kxx + kyy )} d x d y .      (3)

4π

-∞-∞

Тогда решение при z≥ z0 равно to to

u ( x , y , z ) = J J T ( k x , k y ) e i^k x ^{x + k} y ^{y + k} z ⁽ z - z ^{0 ))} d k x d k y ,   (4)

-to -to т. к. (4) удовлетворяет краевому условию (1), уравнению Гельмгольца и физическому условию ограниченности решения (4) при z ^ to, что достигается выбором знака плюс в радикале kz = k2 - kx2 - ky2 (k = to I c — волновое число в однородном полупространстве z > z0). Не снижая общности, можно принять z0 = 0. Тогда (4) перепишется в виде

Y_n m ( e , ф ) — сферические функции на единичной сфере, равные

Y nm ( e , ф )

2 n + 1 ( n - у 4 п ( n +

m )!

—P nm ( e ) е '^{т ф} . m )!

Далее воспользуемся теоремой разложения функций f ( e , ф ), e е [0, п ], ф e [0,2 п ] в ряд Фурье по сферическим функциям [1, 5, 6]:

to to

u ( x , y , z ) = J J T ( k x , k y ) e ⁽ k x x ^{+ k} y ^{y + k} z ^z ) d k_x d k y . (4а)

-to -to

Пусть волновой вектор имеет компоненты k = ( k_x , k_y , k z ) = ( k , a , в ) соответственно в декартовых и сферических координатах. Тогда (4а) в сферических координатах перепишется в виде

u ( x , y , z ) = k ² x

π

2 n "2 -ito xJ J T/a,в) cosaei(xsinacosв+ysinasinв+zcosa) 0   0

x sin a d a d в ,

где ^( a , в ) = T ( k x , k_y ).

Для принятия решения о том, удовлетворяет ли (5) условиям излучения Зоммерфельда, воспользу-

to n f (e, ф )=££ bnmYnm (e, ф ). (8) n=0 m=-n

Известно, что существуют две крайние по степени жесткости требований версии теоремы разложения функции f ( e , ф ) по сферическим функциям (8). По первой версии [1], функция f ( e , ф ) должна принадлежать множеству f ( e , ф ) е L ₂[ e , ф ], e е [0, п ], ф е [0,2 п ] интегрируемых по модулю во второй степени функций. По второй версии [5], требования к функции f ( e , ф ) жестче — она должна быть дважды непрерывно дифференцируемой по своим аргументам e , ф .

Разложим по сферическим функциям в ряд (8) функцию V 1 ( a , в )cos a из (5) на множестве a е [0, п ], в е [0,2 п ] (область видимости), полагая, что она удовлетворяет одному из приведенных выше требований:

емся тем, что излученное решение может представлено в виде [2]:

быть

u(r,e,ф) = k£ £ amh^Xkr)Ym (e,ф), e е[0,п], Ф e[0,2n], а также следующим разложением [3, 4]:

п m ( x ) = h 1 ( kr ) y : ( e , _Ф ) =

2 п

π

--1 to

.   2 П         2

= ( - i ) n ⁺¹ —     в J Y m ( a , в )

ATT J         J

π

to n

T 1 ( a , в )cos a = £ £ a ^m Y nm ( a , в ) •     (9)

n = 0 m =- n

Далее, подставляя (9) в (5) и воспользовавшись тождеством (7), получаем ton

u ( r , e , ф ) = 2 n k ² £ i n £ a m h n ⁱ⁾ ( kr)Y m ( e , ф ). (10) n = 0 m =- n

Как видно, (10) имеет вид (6) излученного решения, т. е. функция u ( r , e , ф ) удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда, если справедливо разложение (9).

Чтобы выбрать требование, которому должна удовлетворять функция T 1 ( a , в )cos a , применим к интегралу (5) метод стационарной фазы. Получаем

ik (x sin a cos в+y sin a sin в+z cos a)  • j xe                      sin a da

e е [0, п ], ф е [0,2 п ],

где h¹ ( kr ) — сферические функции Ханкеля пер

вого рода; a m — постоянные коэффициенты;

ikr u (r, e, ф)=-^k Tj(e, ф )cos e—+o( r).   (11)

ir

Получен ожидаемый результат: функция

—Tj (e, ф )cos e i 1

представляет собой фактор уг-

лового распределения (или амплитуду рассеяния, или диаграмму направленности) поля u ( r , e , ф ),

про которую известно, что она является целой аналитической функцией комплексных переменных θ и ϕ [7]. Отсюда следует более жесткое требование к функции Т 1 ( 9 , ф ) при разложении произведения Т 1 ( 9 , ф )cos 9 в ряд (9) по сферическим функциям: она должна быть дважды непрерывно дифференцируемой по своим аргументам θ , ϕ . В этом случае ряд (9) является равномерно и абсолютно сходящимся, и это позволяет его почленно интегрировать, что не оговаривалось при подстановке ряда (9) в интеграл (5).

Отсюда следует искомое необходимое условие удовлетворения функции u ( x , y , z ) условиям излучения Зоммерфельда: произведение Т 1 ( 9 , ф )cos 9 , где Т 1 ( 9 , ф ) — двумерный фурье-образ в сферических координатах функции ф ( x , y ) = u ( x , y , z 0 ) , должно быть дважды непрерывно дифференцируемым по своим аргументам θ , ϕ .

I —k a sin a

^( a , в ) = -г e ²

4π

.

Функция T , ( a , в ) является целой аналитической функцией своих аргументов, и по необходимому условию решение (15) удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда.

Контрпримером является случай распространения плоской волны eikz со стороны отрицательных z и условии прозрачности маски. Тогда имеем ф (x, y) = 1

и из (3) имеем to to

T ( k x , k y ) =       J J e" ^{i ( k} x ^{x + kyy} ) d x d y = 8 ( k x ) S ( k y ),

4π

-to -to и, следовательно, в сферической системе координат

ПРИМЕРЫ

Полученное условие рассмотрим применительно к случаю плоской бегущей волны с гауссовым распределением амплитуды по фронту. Пусть плоская волна e^lik при z = 0 пропускается через маску с функцией прозрачности ψ ( x , y ), т. е. амплитуда падающей волны при z = 0 равна

^ 1 ( 9 , ф ) = - ^S^^a b s ( в ), k ² sin α

что легко проверяется подстановкой (18) в (5):

u ( x , y , z ) = k ²

2 π 2

J

- i to

J

δ ( α ) k ² sin α

S ( в )cos a x

u ( x , y ,0) = ф ( x , y ).                (12)

Потребуем, чтобы выполнялось условие гаус-совости амплитуды u ( x , y , 0) :

ф ( x , У ) =

2 πσ _x σ _y

2 σ ² e ^x

^y 2 σ y ²

Тогда из (3) находим

1    - ¹ к

^ ( k x , k y ) = Te e ^{2 (} x

4π

,² a x ² + k y ² а у ² )

.

Из (4) находим:

to to

u ^{( x} , y , z ) = J J T ( k x , k y ) e ⁽ k x x ^{+ kyy +} k z z ) d k x d k y ,   (15)

-to -to                                                    v 7

z > 0.

В дальнейшем примем для упрощения условие радиальной симметричности законов (13), (14):

^a x = ^a y = ^a .

Переходя к сферическим координатам в (14) получаем:

x e

ik ( x sin a cos в + y sin a sin в + z cos a )

sin a d a d в =

= e

ikz

Из (18) очевидно, что T 1 ( a , в ) не удовлетворяет необходимому условию.

ВЫВОДЫ

В работе приведено достаточно простое необходимое условие того, удовлетворяет ли условиям излучения Зоммерфельда решение однородного уравнения Гельмгольца, определяемое своим значением на плоскости. А это в свою очередь позволяет корректно решать, например, такие задачи, как определение радиационного давления на частицы в произвольном падающем поле.

Приложение

Пусть u ( x ) является излученным решением. Известно [7], что значение этого поля ф ( x , y ) = = u ( x , y , z ₀) на плоскости z = z ₀ не является абсолютно интегрируемой функцией. Более того, она не является квадратично интегрируемой функцией, т. е. функция ψ ( x , y ) не имеет классического фурье-образа. Однако, если в интеграле (3) перейти к полярной системе координат, то порядок ин-

тегрирования, вследствие того что ψ ( x , y ) не является абсолютно интегрируемой функцией, играет существенную роль. А именно, верный спектр (3) получается только при интегрировании вначале по ф = arctan( y / x ), а затем по r = -^ x ² + y ² [7].

Настоящая работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 05-03-33108) и целевой научнотехнической программы Российской Федерации "Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007–2012 годы" (лот 2, шифр «2007-2-2.2-04-08»).