О неоднозначности механической мощности

Original article

Введение. Механическая энергия бывает обратимой (потенциальная и кинетическая), а также необратимой (например, тепловая при трении). Временную производную от последней принимают за механическую мощность. Отметим, что в силу необратимости тепловой энергии ее производная принимает только положительные значения. Вместе с тем производные получают как от потенциальной, так и от кинетической энергии. Особый интерес представляют гармонические колебания [1–4], при которых производные (мгновенные мощности) будут знакопеременными функциями, что принципиально отличает их от тепловой мощности.

Аналог кинетической энергии в электротехнике — энергия магнитного поля катушки индуктивности, аналог потенциальной энергии — энергия электрического поля конденсатора, а аналог механической тепловой энергии — тепловая же энергия, рассеиваемая резистором.

Механические колебания широко распространены в разнообразных технологических процессах [5–8]. Приводы машин и механизмов преимущественно электромеханические [9–12], поэтому механическая реактивная мощность трансформируется в электрическую реактивную мощность сети, ухудшая качество электроэнергии [13]. В этой связи учет механической реактивной мощности имеет немаловажное значение [14], и этим обусловлена актуальность представленной работы.

Материалы и методы. Рассмотрены механические мощности при гармонических колебаниях. В качестве литературной базы изучены отечественные и зарубежные источники, в которых освещаются вопросы динамики, кинематики, вибраций, преобразования движения в колебательных системах и т. п. Используются теоретические (преимущественно математические) методы исследования.

Результаты исследования

Мощность, развиваемая при вынужденных гармонических колебаниях инертного тела . Движение тела описывается известным выражением:

х = l sin to t .

Соответственно, скорость:

v = x = I to COS to t = Vm cos to t .

Для гармонической величины действующее значение меньше амплитудного в 2 :

I^ l to

^V = V2 = V2"

Формула для силы имеет вид:

f = mx = - m to sin to t . a

Формула для силы трения:

f = д х = ц 1 to cos to t .

Результирующая сила:

f = fa + f = - lm to² sin to t + ^ I to cos to t =

Обозначим:

= I toj^^ + m² to²

mto cos tot —.,         = д2 + m2 to2

sin to t

Механика

m to Ф = arctg---.

Д f = l^/^2 + m 2to2 (cosф cos tot - sin фsin rot ) = lto7p2 + m 2to2 cos(tot + ф).

Очевидно, что

F_m = l^Jp² + ^m2 to ² .

Действующее значение результирующей силы:

F_m _ topp'' + m² to² = 72 =      72    .

Мгновенная результирующая мощность:

5 = fv = l to4p² + m ² to ² cos( to t + ф ) l to cos ro t =

= 0,5 l ² to ²4 p ² + m ² to ² [ cos ф + cos(2 to t + ф ) ] =

= FV [ cos ф + cos(2 to t + ф ) ] =

= FV ( cos ф + cos 2 to t cos ф - sin 2 to t sin ф ) =

= FV cos ф ( 1 + cos 2 to t ) - FV sin ф sin 2 to t = p + qi .

В электротехнике есть выражение, аналогичное (6), с заменами F → U V → I . Из него определяют активную мощность:

P = UI cos ф.

Поэтому активную (тепловую) механическую мощность тоже следует определить, как:

P = FV cos ф.                                           (7)

Очевидно, что гармонические сила и скорость совершают колебания со сдвигом фаз, равным ф .

Из вышеназванной формулы электротехники определяют реактивную мощность:

P = UI sin ф .

Поэтому реактивную (инерционную) механическую мощность тоже следует определить, как:

Q = FV sin ф .                                          (8)

Из (6) следует, что под активной мощностью понимается среднее за полпериода значение мгновенной мощности, а под реактивной — амплитудное значение. В электротехнике аналогично.

Еще одно обобщение из электротехники — полная механическая мощность:

S = FV = 4Qi + P ².

Она примечательна тем, что, с одной стороны, описывается формулой Пифагора, а с другой — равна произведению действующих значений гармонических величин.

Имея в виду (1), (5) и (8),

Qi

= FV sin ф =

1®4p ² + m² to ² l to

m to

72       2 7 p ² + m² to ²

ml² to³

При этом:

fy = - lm to² sin to tl to cos to t = - 0,5 1 ² m to³ sin2 to t = - FV sin2 to t = - Q sin2 to t . aai

Это соответствует выражениям (6) и (10).

Имея в виду (1), (5) и (7),

P = FV cos ф =

1го]^² + m² ю 2 l to     p

72     72 7 A ² + m² to²

pl ² to ²

При этом:

fv = p l to cos to tl to cos to t = 0,5 p l ² to ²(1 + cos2 to t ) = F^V (1 + cos2 to t ) = P (1 + cos2 to t ).

Это соответствует выражениям (6) и (12).

Имея в виду (9), (10) и (12), ltop2 + m2 to2 lto   l2 to2 Jp2 + m2 to2

^S             72      72         2       .

Мощность, развиваемая при упругих деформациях . Выражение для силы имеет вид:

fk. = kx = kl sin to t .                                                 (14)

Обозначим:

f = fk + f _U = kl sin to t + uI to cos to t =

= l4ktoUto

k       .            uro

,      = Sin tot + ,      = v 4k2 + Uto      4 k2 + Uto

cos to t

k ф = arctg---.

Uto

Значит, f = l4k2 + Uto (sin ф sin tot + cos ф cos tot) = u]k2 + Uto cos (tot - ф).

Очевидно, что:

F = l^/ k ² + Uto ².

Действующее значение результирующей силы р авно:

Fm _ 4k¹ + ^{U to}

F "VT   V2   .

Мгновенная результирующая мощность:

5 = fV = l4k ² + Uto cos ( to t - ф ) I to cos to t =

= 0,5 l² to k ² + Uto [ cos ф + cos ( 2 to t - ф ) ] =

= FV [ cos ф + cos(2 to t - ф ) ] =

= FV ( cos ф + cos 2 to t cos ф + sin 2 to t sin ф ) =

= FV cos ф ( 1 + cos2 to t ) + FV sin ф sin2 to t = p + qd .

Имея в виду (6), (7) и (12), активная механическая мощность равна:

P = FV cos ф =

l^k^г + U to² lto Uto    _ U²to²

^2    ^ ^k ² + Uto "   2

.

Принимая во внимание (15), (1), (8) и (16), механическая реактивная (упругая) мощность равна:

l4k ² + Uto l to      k       kl to

Qd = FV sin ф = -^--=--= .    = =---

^   a/2 4 k ² + Uto ²

.

При этом:

f_kv = kl sin to t l to cos to t = 0,5 kl² to sin 2 to t = F_kV sin 2 to t = Qd sin 2 to t .

Это соответствует выражениям (16) и (17).

Очевидно, что полная мощность равна:

о                l² to k ² + Uto

S = FV = Q(2 + + p² =      2  —

.

Мощность при колебаниях, связанных с гравитационным воздействием . При отклонении

подвешенного груза на угол а возникает момент:

M = mgL a .

Пусть

а = а ₀ sin to t .

Тогда

g а = a0tocos tot = а0 J— cos tot.

Мгновенная мощность имеет вид:

qg

= M a = mgL a ₀ sin to t a ₀

g cos tot =

L

0,5 m a 2 4Lg 3 sin 2 to t .

Ее амплитуда и, соответственно, реактивная мощность гравитационного воздействия определяется, как:

Механика

Qg = 0,5 m a 0 Fg 3 .

Реактивная, активная и полная мощности в комплексном представлении . В [15] показано, что при инертной нагрузке:

• V    = V е ^{п 2} m ^v me    "

Мгновенная скорость при этом равна:

v = V cos to t = Im V . mm

Формулы для действующих значений величин принципиально не отличаются:

• V    = Ve ^{n 2}, F = Fe ^{( П 2 + ф )}.

В электротехнике подробно описана особенность комплексного представления: при вычислении полной мощности один из перемножаемых векторов должен быть сопряженным .

S = F V = Fe ^{( П 2 + ф} ) Ve ^{- j n 2} = FVe^{j ( П 2 + ф-n 2)} = FVej = FV cos ф + jFV sin ф = P + jQ_P

Это выражение для инертной нагрузки. Упругая нагрузка отличается тем, что реактивная мощность имеет противоположный знак:

S = F V = Fe^{j ( П 2 -ф} ) Ve ~^{j n 2} = FVe^{j ( П 2 -ф -n} 2) = FVe ~^{j ф} = FV cos ф - jFV sin ф = P + jQd .

При этом:

P = Re F V , Q = Im F V .

Механические мощности в векторном представлении . В основе комплексного представления лежит идея вращающихся в комплексной плоскости векторов. Тот же принцип может быть реализован в трехмерном Декартовом базисе.

Из (7)–(9) следует:

P = ( F , V ) , Q = ^ F , V ] , S ² = ( F , V ) 2 + [ F , V ] ².

Математическая абстракция с проекциями вращающихся векторов имеет конкретную материальную основу в виде кривошипно-кулисных механизмов.

Обсуждение и заключения. Математическими методами исследованы мощности:

• —    при вынужденных гармонических колебаниях инертного тела,

• —    при упругих деформациях,

• —    при колебаниях, связанных с гравитационным воздействием,

• —    реактивная, активная и полная (в комплексном представлении),

• —    механическая (в векторном представлении).

Показано, что при механических гармонических колебаниях развивается не только знакоположительная тепловая мощность, но и знакопеременные реактивные мощности, характеризующие обратимость кинетической и потенциальной энергий.

При этом полная механическая мощность удовлетворяет формуле Пифагора.

Представление о механических реактивных, активной и полной мощностях является обобщением соответствующих понятий о мощностях из электротехники, и таким образом проявляется электромеханический дуализм.

Библиографический список