О неоднозначности механической мощности

Бесплатный доступ

Введение. Механические колебания широко распространены в технологических процессах. Приводы машин и механизмов преимущественно электромеханические, поэтому механическая реактивная мощность трансформируется в электрическую реактивную мощность сети, ухудшая качество электроэнергии. Этим обусловлены важность учета механической реактивной мощности и, как следствие, актуальность представленной работы. Цель исследования - детализация видов механической мощности при гармонических колебаниях.Материалы и методы. Изучена литература, в которой освещаются вопросы динамики, кинематики, вибраций, преобразования движения в колебательных системах и т. п. Используются теоретические, преимущественно математические методы исследования.Результаты исследования. Математически осмыслены мощности, развиваемые при упругих деформациях, вынужденных гармонических колебаниях инертного тела и колебаниях, связанных с гравитационным воздействием, а также реактивная, активная, полная мощности в комплексном представлении и механические мощности в векторном представлении.Обсуждение и заключения. При механических гармонических колебаниях наряду со знакоположительной тепловой мощностью, развиваются знакопеременные реактивные мощности, характеризующие обратимость кинетической и потенциальной энергий. Полная механическая мощность удовлетворяет формуле Пифагора. Представление о механических реактивных, активной и полной мощностях обобщает соответствующие понятия о мощностях из электротехники, и таким образом проявляется электромеханический дуализм.

Еще

Механическая мощность, кинетическая энергия, потенциальная энергия, комплексное представление, векторное представление

Короткий адрес: https://sciup.org/142234450

IDR: 142234450

Текст научной статьи О неоднозначности механической мощности

Original article

Введение. Механическая энергия бывает обратимой (потенциальная и кинетическая), а также необратимой (например, тепловая при трении). Временную производную от последней принимают за механическую мощность. Отметим, что в силу необратимости тепловой энергии ее производная принимает только положительные значения. Вместе с тем производные получают как от потенциальной, так и от кинетической энергии. Особый интерес представляют гармонические колебания [1–4], при которых производные (мгновенные мощности) будут знакопеременными функциями, что принципиально отличает их от тепловой мощности.

Аналог кинетической энергии в электротехнике — энергия магнитного поля катушки индуктивности, аналог потенциальной энергии — энергия электрического поля конденсатора, а аналог механической тепловой энергии — тепловая же энергия, рассеиваемая резистором.

Механические колебания широко распространены в разнообразных технологических процессах [5–8]. Приводы машин и механизмов преимущественно электромеханические [9–12], поэтому механическая реактивная мощность трансформируется в электрическую реактивную мощность сети, ухудшая качество электроэнергии [13]. В этой связи учет механической реактивной мощности имеет немаловажное значение [14], и этим обусловлена актуальность представленной работы.

Материалы и методы. Рассмотрены механические мощности при гармонических колебаниях. В качестве литературной базы изучены отечественные и зарубежные источники, в которых освещаются вопросы динамики, кинематики, вибраций, преобразования движения в колебательных системах и т. п. Используются теоретические (преимущественно математические) методы исследования.

Результаты исследования

Мощность, развиваемая при вынужденных гармонических колебаниях инертного тела . Движение тела описывается известным выражением:

х = l sin to t .

Соответственно, скорость:

v = x = I to COS to t = Vm cos to t .

Для гармонической величины действующее значение меньше амплитудного в 2 :

I^ l to

V = V2 = V2"

Формула для силы имеет вид:

f = mx = - m to sin to t . a

Формула для силы трения:

f = д х = ц 1 to cos to t .

Результирующая сила:

f = fa + f = - lm to2 sin to t + ^ I to cos to t =

Обозначим:

= I toj^^ + m2 to2

mto cos tot —.,         = д2 + m2 to2

sin to t

Механика

m to Ф = arctg---.

Д f = l^/^2 + m 2to2 (cosф cos tot - sin фsin rot ) = lto7p2 + m 2to2 cos(tot + ф).

Очевидно, что

Fm = l^Jp2 + m2 to 2 .

Действующее значение результирующей силы:

Fm _ topp'' + m2 to2 = 72 =      72    .

Мгновенная результирующая мощность:

5 = fv = l to4p2 + m 2 to 2 cos( to t + ф ) l to cos ro t =

= 0,5 l 2 to 24 p 2 + m 2 to 2 [ cos ф + cos(2 to t + ф ) ] =

= FV [ cos ф + cos(2 to t + ф ) ] =

= FV ( cos ф + cos 2 to t cos ф - sin 2 to t sin ф ) =

= FV cos ф ( 1 + cos 2 to t ) - FV sin ф sin 2 to t = p + qi .

В электротехнике есть выражение, аналогичное (6), с заменами F → U V → I . Из него определяют активную мощность:

P = UI cos ф.

Поэтому активную (тепловую) механическую мощность тоже следует определить, как:

P = FV cos ф.                                           (7)

Очевидно, что гармонические сила и скорость совершают колебания со сдвигом фаз, равным ф .

Из вышеназванной формулы электротехники определяют реактивную мощность:

P = UI sin ф .

Поэтому реактивную (инерционную) механическую мощность тоже следует определить, как:

Q = FV sin ф .                                          (8)

Из (6) следует, что под активной мощностью понимается среднее за полпериода значение мгновенной мощности, а под реактивной — амплитудное значение. В электротехнике аналогично.

Еще одно обобщение из электротехники — полная механическая мощность:

S = FV = 4Qi + P 2.

Она примечательна тем, что, с одной стороны, описывается формулой Пифагора, а с другой — равна произведению действующих значений гармонических величин.

Имея в виду (1), (5) и (8),

Qi

= FV sin ф =

1®4p 2 + m2 to 2 l to

m to

72       2 7 p 2 + m2 to 2

ml2 to3

При этом:

fy = - lm to2 sin to tl to cos to t = - 0,5 1 2 m to3 sin2 to t = - FV sin2 to t = - Q sin2 to t . aai

Это соответствует выражениям (6) и (10).

Имея в виду (1), (5) и (7),

P = FV cos ф =

1го]^2 + m2 ю 2 l to     p

72     72 7 A 2 + m2 to2

pl 2 to 2

При этом:

fv = p l to cos to tl to cos to t = 0,5 p l 2 to 2(1 + cos2 to t ) = F^V (1 + cos2 to t ) = P (1 + cos2 to t ).

Это соответствует выражениям (6) и (12).

Имея в виду (9), (10) и (12), ltop2 + m2 to2 lto   l2 to2 Jp2 + m2 to2

S             72      72         2       .

Мощность, развиваемая при упругих деформациях . Выражение для силы имеет вид:

fk. = kx = kl sin to t .                                                 (14)

Обозначим:

f = fk + f U = kl sin to t + uI to cos to t =

= l4ktoUto

k       .            uro

,      = Sin tot + ,      = v 4k2 + Uto      4 k2 + Uto

cos to t

k ф = arctg---.

Uto

Значит, f = l4k2 + Uto (sin ф sin tot + cos ф cos tot) = u]k2 + Uto cos (tot - ф).

Очевидно, что:

F = l^/ k 2 + Uto 2.

Действующее значение результирующей силы р авно:

Fm _ 4k1 + U to

F "VT   V2   .

Мгновенная результирующая мощность:

5 = fV = l4k 2 + Uto cos ( to t - ф ) I to cos to t =

= 0,5 l2 to k 2 + Uto [ cos ф + cos ( 2 to t - ф ) ] =

= FV [ cos ф + cos(2 to t - ф ) ] =

= FV ( cos ф + cos 2 to t cos ф + sin 2 to t sin ф ) =

= FV cos ф ( 1 + cos2 to t ) + FV sin ф sin2 to t = p + qd .

Имея в виду (6), (7) и (12), активная механическая мощность равна:

P = FV cos ф =

l^kг + U to2 lto Uto    _ U2to2

^2    ^ ^k 2 + Uto "   2

.

Принимая во внимание (15), (1), (8) и (16), механическая реактивная (упругая) мощность равна:

l4k 2 + Uto l to      k       kl to

Qd = FV sin ф = -^--=--= .    = =---

^   a/2 4 k 2 + Uto 2

.

При этом:

fkv = kl sin to t l to cos to t = 0,5 kl2 to sin 2 to t = FkV sin 2 to t = Qd sin 2 to t .

Это соответствует выражениям (16) и (17).

Очевидно, что полная мощность равна:

о                l2 to k 2 + Uto

S = FV = Q(2 + + p2 =      2  —

.

Мощность при колебаниях, связанных с гравитационным воздействием . При отклонении

подвешенного груза на угол а возникает момент:

M = mgL a .

Пусть

а = а 0 sin to t .

Тогда

g а = a0tocos tot = а0 J— cos tot.

Мгновенная мощность имеет вид:

qg

= M a = mgL a 0 sin to t a 0

g cos tot =

L

0,5 m a 2 4Lg 3 sin 2 to t .

Ее амплитуда и, соответственно, реактивная мощность гравитационного воздействия определяется, как:

Механика

Qg = 0,5 m a 0 Fg 3 .

Реактивная, активная и полная мощности в комплексном представлении . В [15] показано, что при инертной нагрузке:

  • V    = V е п 2 m v me    "

Мгновенная скорость при этом равна:

v = V cos to t = Im V . mm

Формулы для действующих значений величин принципиально не отличаются:

  • V    = Ve n 2, F = Fe ( П 2 + ф ).

В электротехнике подробно описана особенность комплексного представления: при вычислении полной мощности один из перемножаемых векторов должен быть сопряженным .

S = F V = Fe ( П 2 + ф ) Ve - j n 2 = FVej ( П 2 + ф-n 2) = FVej = FV cos ф + jFV sin ф = P + jQP

Это выражение для инертной нагрузки. Упругая нагрузка отличается тем, что реактивная мощность имеет противоположный знак:

S = F V = Fej ( П 2 ) Ve ~j n 2 = FVej ( П 2 -ф -n 2) = FVe ~j ф = FV cos ф - jFV sin ф = P + jQd .

При этом:

P = Re F V , Q = Im F V .

Механические мощности в векторном представлении . В основе комплексного представления лежит идея вращающихся в комплексной плоскости векторов. Тот же принцип может быть реализован в трехмерном Декартовом базисе.

Из (7)–(9) следует:

P = ( F , V ) , Q = ^ F , V ] , S 2 = ( F , V ) 2 + [ F , V ] 2.

Математическая абстракция с проекциями вращающихся векторов имеет конкретную материальную основу в виде кривошипно-кулисных механизмов.

Обсуждение и заключения. Математическими методами исследованы мощности:

  • —    при вынужденных гармонических колебаниях инертного тела,

  • —    при упругих деформациях,

  • —    при колебаниях, связанных с гравитационным воздействием,

  • —    реактивная, активная и полная (в комплексном представлении),

  • —    механическая (в векторном представлении).

Показано, что при механических гармонических колебаниях развивается не только знакоположительная тепловая мощность, но и знакопеременные реактивные мощности, характеризующие обратимость кинетической и потенциальной энергий.

При этом полная механическая мощность удовлетворяет формуле Пифагора.

Представление о механических реактивных, активной и полной мощностях является обобщением соответствующих понятий о мощностях из электротехники, и таким образом проявляется электромеханический дуализм.

Библиографический список

Список литературы О неоднозначности механической мощности

  • Елисеев, С. В. Динамическое гашение колебаний при введении дополнительных связей и внешних воздействий / С. В. Елисеев, А. С. Миронов, К. Ч. Выонг // Вестник Донского государственного технического 5 университета. — 2019. — Т. 19, № 1. — С. 38-44. https://doi.org/10.23947/1992-5980-2019-19-1-38-44 -Р
  • Елисеев, С. В. Устройства для преобразования движения в структуре диады механической колебательной системы / С. В. Елисеев, А. И. Орленко, Д. Х. Нгуен // Вестник Донского государственного технического университета. — 2017. — Т. 17, № 3. — С. 46-59. https://doi.org/10.23947/1992-5980-2017-17-3-46-59
  • Zhang, Y. F. Analysis on nonlinear vibrations near internal resonances of a composite laminated Su piezoelectric rectangular plate / Y. F. Zhang, W. Zhang, Z. G. Yao // Engineering Structures. — 2018. — Vol. 173. — ^ Р. 89-106. https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2018.04.100
  • Beltran-Carbajal, F. Multi-frequency harmonic vibration suppression on mass-spring-damper systems using active vibration absorbers / F. Beltran-Carbajal, G. Silva-Navarro, B. Vazquez-Gonzalez // Advances in Vibration Engineering. — 2016. — Vol. 4. — P. 1-12.
  • Numerical Modeling and Dynamic Characteristics Study of Coupling Vibration of Multistage Face Gearsplanetary Transmission / Xingbin Chen, Qingchun Hu, Zhongyang Xu, Chune Zhu // Mechanical Sciences. — 2019. — Vol. 10. — P. 475-495. https://doi.org/10.5194/ms-10-475-2019
  • Duygu Dönmez Demir. Variational Iteration Method for Transverse Vibrations of the Elastic, Tensioned Beam / Duygu Dönmez Demir, Erthan Koca // International Journal of Materials, Mechanics and Manufacturing. — 2017. — Vol. 5. — P. 187-190. https://doi.org/10.18178/ijmmm.2017.5.3.315
  • Zichen Zhang. Design and Optimization of Comb Drive Accelerator for High Frequency Oscillation / Zichen Zhang // Modern Mechanical Engineering. — 2018. — Vol. 8. — P. 1-10. https://doi.org/10.4236/mme.2018.81001
  • Birgersson, F. A Spectral Super Element for Modelling of Plate Vibration. Part 1: General Theory / F. Birgersson, S. Finnveden, C.-M. Nilsson // Sound and Vibration. — 2005. — Vol. 287. — P. 297-314. https://doi.org/10.1016/j.jsv.2004.11.012
  • A pneumatic actuator based on vibration friction reduction with bending/longitudinal vibration mode / Han Gao, Michael De Volder, Tinghai Cheng [et al.] // Sensors and Actuators A: Physical. — 2016. — Vol. 252. — Р. 112119. https://doi.org/10.1016/j.sna.2016.10.039
  • Study on machining vibration suppression with multiple tuned mass dampers: vibration control for long fin machining / Ippei Kono, T. Miyamoto, K. Utsumi [et al.] // International Journal of Automation Technology. — 2017. — Vol. 11. — P. 206-214. https://doi.org/10.20965/ijat.2017.p0206
  • Kunugi, K. Modeling of tape tether vibration and vibration sensing using smart film sensors / K. Kunugi, H. Kojima, P. M. Trivailo // Acta Astronautica. — 2015. — Vol. 107. — P. 97-111. https ://doi.org/10.1016/j. actaastro.2014.11.024
  • Legeza, V. P. Dynamics of vibration isolation system with a ball vibration absorber / V. P. Legeza // International Applied Mechanics. — 2018. — Vol. 54. — P. 584-593. https://doi.org/10.1007/s10778-018-0912-0
  • Павлов, В. Д. Автокомпенсация реактивной мощности в электрических сетях / В. Д. Павлов // Журнал Сибирского федерального университета. Техника и технологии. — 2021. — № 14 (6). — С. 684-688. https://doi.org/10.17516/1999-494X-0342
  • Joachim, F. J. How to minimize power losses in transmissions, axles and steerings / F. J. Joachim, J. Börner, N. Kurz // Gear Technology. — 2012. — P. 58-66. https://doi.org/10.1007/978-3-642-22647-2 279
  • Павлов, В. Д. Математические модели резонансных и антирезонансных процессов / В. Д. Павлов // Вестник Уральского государственного университета путей сообщения. — 2021. — № 1 (49). — С. 17-27. https://doi.org/10.20291/2079-0392-2021-1-17-27
Еще
Статья научная