О неоднозначности механической мощности
Автор: Павлов В.Д.
Журнал: Вестник Донского государственного технического университета @vestnik-donstu
Рубрика: Механика
Статья в выпуске: 1 т.22, 2022 года.
Бесплатный доступ
Введение. Механические колебания широко распространены в технологических процессах. Приводы машин и механизмов преимущественно электромеханические, поэтому механическая реактивная мощность трансформируется в электрическую реактивную мощность сети, ухудшая качество электроэнергии. Этим обусловлены важность учета механической реактивной мощности и, как следствие, актуальность представленной работы. Цель исследования - детализация видов механической мощности при гармонических колебаниях.Материалы и методы. Изучена литература, в которой освещаются вопросы динамики, кинематики, вибраций, преобразования движения в колебательных системах и т. п. Используются теоретические, преимущественно математические методы исследования.Результаты исследования. Математически осмыслены мощности, развиваемые при упругих деформациях, вынужденных гармонических колебаниях инертного тела и колебаниях, связанных с гравитационным воздействием, а также реактивная, активная, полная мощности в комплексном представлении и механические мощности в векторном представлении.Обсуждение и заключения. При механических гармонических колебаниях наряду со знакоположительной тепловой мощностью, развиваются знакопеременные реактивные мощности, характеризующие обратимость кинетической и потенциальной энергий. Полная механическая мощность удовлетворяет формуле Пифагора. Представление о механических реактивных, активной и полной мощностях обобщает соответствующие понятия о мощностях из электротехники, и таким образом проявляется электромеханический дуализм.
Механическая мощность, кинетическая энергия, потенциальная энергия, комплексное представление, векторное представление
Короткий адрес: https://sciup.org/142234450
IDR: 142234450
Текст научной статьи О неоднозначности механической мощности
Original article
Введение. Механическая энергия бывает обратимой (потенциальная и кинетическая), а также необратимой (например, тепловая при трении). Временную производную от последней принимают за механическую мощность. Отметим, что в силу необратимости тепловой энергии ее производная принимает только положительные значения. Вместе с тем производные получают как от потенциальной, так и от кинетической энергии. Особый интерес представляют гармонические колебания [1–4], при которых производные (мгновенные мощности) будут знакопеременными функциями, что принципиально отличает их от тепловой мощности.
Аналог кинетической энергии в электротехнике — энергия магнитного поля катушки индуктивности, аналог потенциальной энергии — энергия электрического поля конденсатора, а аналог механической тепловой энергии — тепловая же энергия, рассеиваемая резистором.
Механические колебания широко распространены в разнообразных технологических процессах [5–8]. Приводы машин и механизмов преимущественно электромеханические [9–12], поэтому механическая реактивная мощность трансформируется в электрическую реактивную мощность сети, ухудшая качество электроэнергии [13]. В этой связи учет механической реактивной мощности имеет немаловажное значение [14], и этим обусловлена актуальность представленной работы.
Материалы и методы. Рассмотрены механические мощности при гармонических колебаниях. В качестве литературной базы изучены отечественные и зарубежные источники, в которых освещаются вопросы динамики, кинематики, вибраций, преобразования движения в колебательных системах и т. п. Используются теоретические (преимущественно математические) методы исследования.
Результаты исследования
Мощность, развиваемая при вынужденных гармонических колебаниях инертного тела . Движение тела описывается известным выражением:
х = l sin to t .
Соответственно, скорость:
v = x = I to COS to t = Vm cos to t .
Для гармонической величины действующее значение меньше амплитудного в 2 :
I^ l to
V = V2 = V2"
Формула для силы имеет вид:
f = mx = - m to sin to t . a
Формула для силы трения:
f = д х = ц 1 to cos to t .
Результирующая сила:
f = fa + f = - lm to2 sin to t + ^ I to cos to t =
Обозначим:
= I toj^^ + m2 to2

mto cos tot —., = д2 + m2 to2
sin to t
Механика
m to Ф = arctg---.
Д f = l^/^2 + m 2to2 (cosф cos tot - sin фsin rot ) = lto7p2 + m 2to2 cos(tot + ф).
Очевидно, что
Fm = l^Jp2 + m2 to 2 .
Действующее значение результирующей силы:
Fm _ topp'' + m2 to2 = 72 = 72 .
Мгновенная результирующая мощность:
5 = fv = l to4p2 + m 2 to 2 cos( to t + ф ) l to cos ro t =
= 0,5 l 2 to 24 p 2 + m 2 to 2 [ cos ф + cos(2 to t + ф ) ] =
= FV [ cos ф + cos(2 to t + ф ) ] =
= FV ( cos ф + cos 2 to t cos ф - sin 2 to t sin ф ) =
= FV cos ф ( 1 + cos 2 to t ) - FV sin ф sin 2 to t = p + qi .
В электротехнике есть выражение, аналогичное (6), с заменами F → U V → I . Из него определяют активную мощность:
P = UI cos ф.
Поэтому активную (тепловую) механическую мощность тоже следует определить, как:
P = FV cos ф. (7)
Очевидно, что гармонические сила и скорость совершают колебания со сдвигом фаз, равным ф .
Из вышеназванной формулы электротехники определяют реактивную мощность:
P = UI sin ф .
Поэтому реактивную (инерционную) механическую мощность тоже следует определить, как:
Q = FV sin ф . (8)
Из (6) следует, что под активной мощностью понимается среднее за полпериода значение мгновенной мощности, а под реактивной — амплитудное значение. В электротехнике аналогично.
Еще одно обобщение из электротехники — полная механическая мощность:
S = FV = 4Qi + P 2.
Она примечательна тем, что, с одной стороны, описывается формулой Пифагора, а с другой — равна произведению действующих значений гармонических величин.
Имея в виду (1), (5) и (8),
Qi
= FV sin ф =
1®4p 2 + m2 to 2 l to
m to
72 2 7 p 2 + m2 to 2
ml2 to3
При этом:
fy = - lm to2 sin to tl to cos to t = - 0,5 1 2 m to3 sin2 to t = - FV sin2 to t = - Q sin2 to t . aai
Это соответствует выражениям (6) и (10).
Имея в виду (1), (5) и (7),
P = FV cos ф =
1го]^2 + m2 ю 2 l to p
72 72 7 A 2 + m2 to2
pl 2 to 2
При этом:
fv = p l to cos to tl to cos to t = 0,5 p l 2 to 2(1 + cos2 to t ) = F^V (1 + cos2 to t ) = P (1 + cos2 to t ).
Это соответствует выражениям (6) и (12).
Имея в виду (9), (10) и (12), ltop2 + m2 to2 lto l2 to2 Jp2 + m2 to2
S 72 72 2 .
Мощность, развиваемая при упругих деформациях . Выражение для силы имеет вид:
fk. = kx = kl sin to t . (14)
Обозначим:
f = fk + f U = kl sin to t + uI to cos to t =
= l4ktoUto
k . uro
, = Sin tot + , = v 4k2 + Uto 4 k2 + Uto
cos to t
k ф = arctg---.
Uto
Значит, f = l4k2 + Uto (sin ф sin tot + cos ф cos tot) = u]k2 + Uto cos (tot - ф).
Очевидно, что:
F = l^/ k 2 + Uto 2.
Действующее значение результирующей силы р авно:
Fm _ 4k1 + U to
F "VT V2 .
Мгновенная результирующая мощность:
5 = fV = l4k 2 + Uto cos ( to t - ф ) I to cos to t =
= 0,5 l2 to k 2 + Uto [ cos ф + cos ( 2 to t - ф ) ] =
= FV [ cos ф + cos(2 to t - ф ) ] =
= FV ( cos ф + cos 2 to t cos ф + sin 2 to t sin ф ) =
= FV cos ф ( 1 + cos2 to t ) + FV sin ф sin2 to t = p + qd .
Имея в виду (6), (7) и (12), активная механическая мощность равна:
P = FV cos ф =
l^kг + U to2 lto Uto _ U2to2
^2 ^ ^k 2 + Uto " 2
.
Принимая во внимание (15), (1), (8) и (16), механическая реактивная (упругая) мощность равна:
l4k 2 + Uto l to k kl to
Qd = FV sin ф = -^--=--= . = =---
^ a/2 4 k 2 + Uto 2
.
При этом:
fkv = kl sin to t l to cos to t = 0,5 kl2 to sin 2 to t = FkV sin 2 to t = Qd sin 2 to t .
Это соответствует выражениям (16) и (17).
Очевидно, что полная мощность равна:
о l2 to k 2 + Uto
S = FV = Q(2 + + p2 = 2 —
.
Мощность при колебаниях, связанных с гравитационным воздействием . При отклонении
подвешенного груза на угол а возникает момент:
M = mgL a .
Пусть
а = а 0 sin to t .
Тогда
g а = a0tocos tot = а0 J— cos tot.
Мгновенная мощность имеет вид:
qg
= M a = mgL a 0 sin to t a 0
g cos tot =
L
0,5 m a 2 4Lg 3 sin 2 to t .
Ее амплитуда и, соответственно, реактивная мощность гравитационного воздействия определяется, как:
Механика
Qg = 0,5 m a 0 Fg 3 .
Реактивная, активная и полная мощности в комплексном представлении . В [15] показано, что при инертной нагрузке:
-
V = V е п 2 m v me "
Мгновенная скорость при этом равна:
v = V cos to t = Im V . mm
Формулы для действующих значений величин принципиально не отличаются:
-
V = Ve n 2, F = Fe ( П 2 + ф ).
В электротехнике подробно описана особенность комплексного представления: при вычислении полной мощности один из перемножаемых векторов должен быть сопряженным .
S = F V = Fe ( П 2 + ф ) Ve - j n 2 = FVej ( П 2 + ф-n 2) = FVej = FV cos ф + jFV sin ф = P + jQP
Это выражение для инертной нагрузки. Упругая нагрузка отличается тем, что реактивная мощность имеет противоположный знак:
S = F V = Fej ( П 2 -ф ) Ve ~j n 2 = FVej ( П 2 -ф -n 2) = FVe ~j ф = FV cos ф - jFV sin ф = P + jQd .
При этом:
P = Re F V , Q = Im F V .
Механические мощности в векторном представлении . В основе комплексного представления лежит идея вращающихся в комплексной плоскости векторов. Тот же принцип может быть реализован в трехмерном Декартовом базисе.
Из (7)–(9) следует:
P = ( F , V ) , Q = ^ F , V ] , S 2 = ( F , V ) 2 + [ F , V ] 2.
Математическая абстракция с проекциями вращающихся векторов имеет конкретную материальную основу в виде кривошипно-кулисных механизмов.
Обсуждение и заключения. Математическими методами исследованы мощности:
-
— при вынужденных гармонических колебаниях инертного тела,
-
— при упругих деформациях,
-
— при колебаниях, связанных с гравитационным воздействием,
-
— реактивная, активная и полная (в комплексном представлении),
-
— механическая (в векторном представлении).
Показано, что при механических гармонических колебаниях развивается не только знакоположительная тепловая мощность, но и знакопеременные реактивные мощности, характеризующие обратимость кинетической и потенциальной энергий.
При этом полная механическая мощность удовлетворяет формуле Пифагора.
Представление о механических реактивных, активной и полной мощностях является обобщением соответствующих понятий о мощностях из электротехники, и таким образом проявляется электромеханический дуализм.
Библиографический список
Список литературы О неоднозначности механической мощности
- Елисеев, С. В. Динамическое гашение колебаний при введении дополнительных связей и внешних воздействий / С. В. Елисеев, А. С. Миронов, К. Ч. Выонг // Вестник Донского государственного технического 5 университета. — 2019. — Т. 19, № 1. — С. 38-44. https://doi.org/10.23947/1992-5980-2019-19-1-38-44 -Р
- Елисеев, С. В. Устройства для преобразования движения в структуре диады механической колебательной системы / С. В. Елисеев, А. И. Орленко, Д. Х. Нгуен // Вестник Донского государственного технического университета. — 2017. — Т. 17, № 3. — С. 46-59. https://doi.org/10.23947/1992-5980-2017-17-3-46-59
- Zhang, Y. F. Analysis on nonlinear vibrations near internal resonances of a composite laminated Su piezoelectric rectangular plate / Y. F. Zhang, W. Zhang, Z. G. Yao // Engineering Structures. — 2018. — Vol. 173. — ^ Р. 89-106. https://doi.org/10.1016/j.engstruct.2018.04.100
- Beltran-Carbajal, F. Multi-frequency harmonic vibration suppression on mass-spring-damper systems using active vibration absorbers / F. Beltran-Carbajal, G. Silva-Navarro, B. Vazquez-Gonzalez // Advances in Vibration Engineering. — 2016. — Vol. 4. — P. 1-12.
- Numerical Modeling and Dynamic Characteristics Study of Coupling Vibration of Multistage Face Gearsplanetary Transmission / Xingbin Chen, Qingchun Hu, Zhongyang Xu, Chune Zhu // Mechanical Sciences. — 2019. — Vol. 10. — P. 475-495. https://doi.org/10.5194/ms-10-475-2019
- Duygu Dönmez Demir. Variational Iteration Method for Transverse Vibrations of the Elastic, Tensioned Beam / Duygu Dönmez Demir, Erthan Koca // International Journal of Materials, Mechanics and Manufacturing. — 2017. — Vol. 5. — P. 187-190. https://doi.org/10.18178/ijmmm.2017.5.3.315
- Zichen Zhang. Design and Optimization of Comb Drive Accelerator for High Frequency Oscillation / Zichen Zhang // Modern Mechanical Engineering. — 2018. — Vol. 8. — P. 1-10. https://doi.org/10.4236/mme.2018.81001
- Birgersson, F. A Spectral Super Element for Modelling of Plate Vibration. Part 1: General Theory / F. Birgersson, S. Finnveden, C.-M. Nilsson // Sound and Vibration. — 2005. — Vol. 287. — P. 297-314. https://doi.org/10.1016/j.jsv.2004.11.012
- A pneumatic actuator based on vibration friction reduction with bending/longitudinal vibration mode / Han Gao, Michael De Volder, Tinghai Cheng [et al.] // Sensors and Actuators A: Physical. — 2016. — Vol. 252. — Р. 112119. https://doi.org/10.1016/j.sna.2016.10.039
- Study on machining vibration suppression with multiple tuned mass dampers: vibration control for long fin machining / Ippei Kono, T. Miyamoto, K. Utsumi [et al.] // International Journal of Automation Technology. — 2017. — Vol. 11. — P. 206-214. https://doi.org/10.20965/ijat.2017.p0206
- Kunugi, K. Modeling of tape tether vibration and vibration sensing using smart film sensors / K. Kunugi, H. Kojima, P. M. Trivailo // Acta Astronautica. — 2015. — Vol. 107. — P. 97-111. https ://doi.org/10.1016/j. actaastro.2014.11.024
- Legeza, V. P. Dynamics of vibration isolation system with a ball vibration absorber / V. P. Legeza // International Applied Mechanics. — 2018. — Vol. 54. — P. 584-593. https://doi.org/10.1007/s10778-018-0912-0
- Павлов, В. Д. Автокомпенсация реактивной мощности в электрических сетях / В. Д. Павлов // Журнал Сибирского федерального университета. Техника и технологии. — 2021. — № 14 (6). — С. 684-688. https://doi.org/10.17516/1999-494X-0342
- Joachim, F. J. How to minimize power losses in transmissions, axles and steerings / F. J. Joachim, J. Börner, N. Kurz // Gear Technology. — 2012. — P. 58-66. https://doi.org/10.1007/978-3-642-22647-2 279
- Павлов, В. Д. Математические модели резонансных и антирезонансных процессов / В. Д. Павлов // Вестник Уральского государственного университета путей сообщения. — 2021. — № 1 (49). — С. 17-27. https://doi.org/10.20291/2079-0392-2021-1-17-27