О несимметричных мерах напряженного и деформированного состояния и законе Гука

Несмотря на огромное количество различных теорий и введенных в них определяющих соотношений (ОС), предназначенных для описания поведений деформируемых твердых тел в широких диапазонах различных параметров воздействия, закон Гука едва ли имеет конкурентов по степени использования и востребованности. Практически все существующие методики расчета на прочность, устойчивость и т.д. в различных областях техники (машиностроении, строительстве, авиации и др.) основаны на законе Гука. Понятно, что он претерпел суще- ственные изменения со времени своего создания (сохранив, однако, сущностное наполнение закона линейной связи между мерами напряжений и деформаций), записывается в современной инвариантной к выбору системы координат (тензорной) форме, которая позволяет включать в рассмотрение и изотропные, и анизотропные материалы. В последние десятилетия закон Гука широко используется и в физически и геометрически нелинейных проблемах, где его обычно формулируют в так называемой скоростной релаксационной форме:

Т °' П: ( D - D in ), (1)

где S - мера напряженного состояния (далее для определенности будет использоваться тензор напряжений Коши), верхний индекс «сог» означает независящую от выбора системы отсчета производную (чаще всего - коротационную [1—3]), П - 4-валентный тензор упругих характеристик, D , D in - мера скорости деформации и ее неупругая составляющая (обычно - тензор деформации скорости [3]); здесь закон и все переменные относятся к уровню представительного макрообъема. Формулировка закона (определяющего соотношения) в значительной мере основана на гипотезе аддитивности упругой и неупругой составляющих тензора деформации скорости: D = D е +D ⁱⁿ , где D е - упругая составляющая; впрочем, последнее соотношение можно получить на основе строгого мультипликативного разложения градиента места [1, 3].

Следует отметить, что формулировка конститутивных моделей в терминах скоростей изменения параметров, характеризующих воздействия и отклик материала, приобретает все большее распространение в механике деформируемого твердого тела (МДТТ). Данное обстоятельство обусловлено, вероятно, следующими причинами. Твердые тела в широком диапазоне параметров воздействия проявляют свойство памяти, описание которого в терминах конечных величин (деформаций, температур и т.д.) требует включения в конститутивные модели интегральных операторов, вид которых априори неизвестен и для его установления требуется огромное количество дорогостоящих экспериментов; при этом решение краевых задач, в постановку которых входят соответствующие конститутивные (определяющие) уравнения, существенно усложняется. При формулировке моделей материалов в терминах скоростей изменения параметров более ясным является физический смысл соотношений и материальных характеристик, входящих в конститутивную модель, которые всегда легче определить «здесь и сейчас», чем устанавливать на основе реакции материала на предысторию воздействий (иногда - длительную). Поскольку реакция материала в каждый момент времени процесса практически полностью определяется текущими параметрами воздействия и мезо- и микроструктурой материала, в структуру конститутивных моделей в последние десятилетия вводятся так называемые внутренние переменные, характеризующие эволюционирующую структуру и тем самым позволяющие учитывать память материала [4-7].

В последние 15-20 лет все более широкое распространение при изучении поведения различных сред с микроструктурой находят двухуровневые (макро- и мезоуровень) модели упругопластичности и упру-говязкопластичности [8-11]. В этих моделях и на макро-, и на мезоуровне в качестве ОС используется закон Гука в форме (1); для мезоуровня он записывается в виде п сог= п: (d - d“), (2) где din - неупругая составляющая тензора деформации скорости мезоуровня, определяемая обычно скоростями сдвигов по системам скольжения (СС). Здесь и далее для обозначения «родственных» величин макро- и мезоуровня используются одинаковые буквы, на макро- - заглавные, на мезоуровне - строчные. Заметим, что, несмотря на одинаковые обозначения («сог»), коротационные производные в (1) и (2), вообще говоря, могут существенно отличаться спинами, входящими в их определение.

При этом во всех известных автору работах в (1) и (2) меры скорости изменения напряженного и деформированного состояния приняты симметричными, тензор свойств симметричен как по парам индексов, так и внутри каждой пары. При этом формально симметризация неупругой составляющей деформации скорости означает введение наряду с реально существующими системами скольжения типа { l m n } < p qr > фиктивных, не реализующихся в реальном кристаллите систем типа { P q r } <  l m n > [12]. Указанный факт, равно как и некоторые другие вопросы, возникающие при использовании симметричных мер, которые будут рассмотрены ниже, привели к поиску несимметричных мер напряженного и деформированного состояния и их скоростей, которые будут проанализированы в следующем разделе.

1.    Несимметричные меры напряженного и деформированного состояния и скоростей их изменения

В качестве несимметричной меры деформированного состояния, на первый взгляд, можно использовать хорошо известную в МДТТ меру – градиент места _∇ ^o _r ( _∇ ^o – оператор Гамильтона, определенный в отсчетной конфигурации [13], r – радиус–вектор материальных частиц), что отмечал В.Прагер [14]. Однако данная мера не является ни инвариантной по отношению к наложенному жесткому движению, ни индифферентной; эта мера относится к так называемым «двухточечным» тензорным мерам [3], что приводит к существенным трудностям ее использования при формулировке ОС.

В качестве меры скорости деформации аналогом конечной меры – градиента места – мог бы выступить (транспонированный) градиент скорости перемещений, определенный в отсчетной у r т или актуальной конфигурации у r т = v y , однако ни одна из этих мер не является независящей от выбора системы отсчета [3]. В связи с этим для определения скорости изменения деформированного состояния ранее был предложен (транспонированный) градиент вектора относительной скорости перемещений (скорости перемещения частиц относительно некоторой подвижной системы координат, отвечающей за квазитвердое движение) v _r ∇ ^ˆ , где нижним индексом « r » здесь и далее обозначаются величины, определенные с позиций наблюдателя в жесткой подвижной системе координат [12]. Жесткая подвижная система отсчета на мезоуровне вводится совпадающей с кристаллической решеткой, искажениями которой для практически всех металлов и сплавов можно пренебречь; на макроуровне движение подвижной жесткой системы определяется из условия согласования ОС мезо- и макроуровня [12]. В цитируемой выше работе показано, что выбранные меры скорости деформации являются индифферентными, т.е. удовлетворяющими требованию независимости от выбора системы отсчета. Это означает, что никакое наложенное на исследуемое тело жесткое движение не приводит к изменению меры скорости деформации, устанавливаемой подвижным наблюдателем.

Мера деформации на каждом масштабном уровне определяется коротационным интегрированием (т.е. интегрированием скоростной меры с позиций подвижного наблюдателя). В силу индифферентности введенной меры скорости деформации индифферентными будут и определяемые коротационным интегрированием меры (или тензоры) деформации.

Таким образом, в дальнейшем в качестве мер скоростей деформаций на макро- и мезоуровне будут использованы следующие [15]:

Z r ≡ ∇ V r ^T = ∇ ^ˆ V ^T– Ω , z r ≡ ∇ v r ^T = ∇ ^ˆ v ^T– ω , (3)

где Ω , ω – спины жестких подвижных систем координат на макро-и мезоуровнях. Отметим, что в соотношениях (3) операторы Гамильтона ∇ определены в терминах жестких подвижных систем координат; можно показать, что градиенты относительных скоростей перемещений в базисах подвижных систем координат и лагранжевых базисах в актуальной конфигурации совпадают.

Несколько проще решается вопрос о выборе меры напряженного состояния, поскольку при введении тензора напряжений Коши никакого априорного условия симметрии не накладывается [3, 15]. Как известно, тензор напряжений на каждой элементарной внутренней площадке определяет главный вектор (отнесенный к единице площади) распределенных сил, с которыми действуют друг на друга прилегающие к площадке с двух сторон части тела. Согласно законам классической (теоретической) механики в общем случае система сил, действующих на произвольное тело, приводится к главному вектору сил и главному моменту сил. Для рассматриваемого случая распределенных сил, действующих на произвольную элементарную площадку, она должна быть приведена к главному вектору и главному моменту (отнесенных к единице площади). Иначе говоря, кроме тензора напряжений σ необходимо ввести тензор моментных (или парных) взаимодействий μ [16]. Заметим, что это предложение впервые, вероятно, было высказано В.Фойгтом [17]. Появление тензора моментных напряжений освобождает тензор напряжений σ от необходимости быть симметричным.

В силу сказанного выше в качестве меры напряженного состояния в дальнейшем будут использованы тензоры напряжений Коши на макро- и мезоуровне Σ , σ , которые в общем случае не предполагаются симметричными. В качестве мер скоростей изменения напряженного состояния будут использоваться коротационные производные на соответствующих масштабных уровнях:

L cor = _{L + L} , _Q — _Q , _L, _o cor = ^ _{+ o} , ^ — _ю , _o , (4)

где Ω , ω – спины жестких подвижных систем на макро- и мезоуровне соответственно, отвечающих за квазитвердое движение [3, 12].

Напомним, что по своему физическому смыслу коротационные производные определяют скорости изменения величин, фиксируемых наблюдателем в жесткой подвижной системе координат. Таким образом, в данном случае меры скоростей изменения деформированного и напряженного состояния являются «согласованными» в том смысле, что они устанавливают скорости изменения соответствующих мер деформаций и напряжений с позиций единого наблюдателя в жестких системах координат (на макро- и мезоуровнях).

2.    Закон Гука в терминах несимметричных мер скоростей напряжений и деформаций

Вероятно, первой моделью для описания поведения упругих тел с применением несимметричных мер напряжений и деформаций стала модель континуума Коссера [18], явившаяся стимулятором для возникновения нового класса теорий обобщенного континуума [19–21]. Однако закон Гука в континууме Коссера сомнениям не подвергался, при этом и для моментных напряжений использовался его аналог [22]. Следует отметить, что теория обобщенного континуума сейчас переживает времена бурного развития, число работ в этой области постоянно растет.

Отметим, что с момента своего появления континуум Коссера встретил непонимание и неприятие весьма значительной части механиков. Основная причина видится в отсутствии на существующем в то время уровне развития физики твердого тела (ФТТ) достаточно убедительных объяснений природы возникновения моментных взаимодействий, особенно при «стягивании» анализируемого материального объема в точку (прием, обычно используемый в механике континуума при получении соотношений в дифференциальной (локальной) форме). В связи с этим сразу оговоримся, что понятия «точки» в механике и математике резко отличаются; в механике континуума под «точкой» всегда понимается некоторый конечный (хотя и малый) объем материала, обладающий на рассматриваемом масштабном уровне свойствами, аналогичными свойствам любого бóльшего объема, имеющего ту же микроструктуру. Иначе говоря, в континуальной механике под

«точкой» понимается так называемый представительный объем («толстая точка»), «малость» которого снизу ограничена требованием заключения в нем достаточного для статистического осреднения числа микрочастиц (зерен, фрагментов, блоков, молекул, атомов - в зависимости от рассматриваемого масштабного уровня). В этом случае отсутствуют рациональные основания для введения требования однородности взаимодействий между микрочастицами соседствующих представительных объемов. Кроме того, появление моментных взаимодействий может быть обусловлено неоднородностью взаимодействия дефектов различной природы и размерности (вакансий, межузельных атомов, дислокаций) [23].

Исходя из вышесказанного в дальнейших рассуждениях под «точкой» всегда будет пониматься некоторый конечный (малый) объем, полностью воспроизводящий анализируемые свойства любого конечного тела произвольных размеров, состоящего из аналогичных «точек». При постановке и решении соответствующих краевых задач исследуемые характеристики и свойства материала по соглашению относят к некоторой математической точке, например, центру тяжести представительного объема. Данное обстоятельство следует учитывать при анализе и интерпретации результатов решения всех задач механики деформируемого твердого тела, в особенности задач, в которых имеют место резкие изменения параметров задачи (напряжений, градиентов перемещений, температуры) по пространственным переменным, например, в проблемах с сингулярными точками, динамических задачах с ударными волнами. Ситуация коренным образом не меняется и при применении обобщенных континуумов: в этом случае выбранному геометрическому центру представительного объема «приписываются» значения расширенных параметров модели материала (например, вторых градиентов векторов перемещений, тензоров спина, кривизн - кручений и т.д.).

В дальнейшем остановимся на рассмотрении закона Гука для элемента мезоуровня. Общая структура закона аналогична и для представительного макрообъема, что нетрудно видеть из сопоставления соотношений (1) и (2). Отличия заключаются в том, что для кристаллита симметрия материала известна априори и является инвариантной по отношению к пластическому деформированию сдвигами, тогда как симметрия материала на уровне представительного макрообъема за- частую подлежит дополнительному определению и изменяется в процессе неупругого деформирования. Например, при равномерном распределении ориентаций кристаллитов в отсчетной конфигурации материал на макроуровне может считаться изотропным, однако при интенсивных пластических деформациях он может приобретать тот или иной тип текстуры и в силу этого становиться анизотропным того или иного типа (например, трансверсально изотропным). Симметрийные свойства материала, естественно, важны при определении конкретного строения тензора упругих характеристик (включая количество ненулевых членов тензора).

При использовании симметричных мер и закона Гука в классической форме [24] возникают вопросы и при постановке и решении некоторых хорошо известных задач теории упругости и пластичности. Рассмотрим, например, задачу простого сдвига прямоугольного параллелепипеда в плоскости О х 1 х ₂ (или в плоскости О х ₂ х ₃; система координат для простоты принята декартовой ортогональной), размеры параллелепипеда примем следующими: вдоль оси О х 1 - а , О х ₂ - b , О х ₃ - с . Сдвиг реализуется смещением верхней грани параллелепипеда х ₂ = b в положительном направлении оси О х 1 (О х ₃), нижняя грань закреплена, расстояние между гранями х ₂ = 0 и х ₂ = b сохраняется неизменным. Боковые грани х 1 = 0 и х 1 = а ( х з = 0, х з = с ) свободны от нагрузок. Для упрощения исследуемая область полагается упругой; на начальной стадии деформирования искажение конфигурации области мало и грани могут считаться неискаженными. Для кристаллитов (с кубической, орторомбической или тетрагональной решеткой) оси введенной декартовой системы координат будем считать совпадающими с осями симметрии (заметим, что при определении закона Гука на макроуровне оси вводимой системы координат также следует выбирать совпадающими с осями симметрии, что упрощает анализ структуры тензора упругих характеристик; для изотропного материала в качестве системы координат может использоваться любая ортогональная тройка осей). В каждой точке боковых граней в силу тривиальных силовых условий должно выполняться условие о₁₂ = 0 (о₃₂ = 0). Однако на верхней грани в силу условий нагружения имеем о₂₁ > 0 (о₂₃ > 0). Для материалов первого порядка [2] напряженное и деформированное состояние в представительном объеме должно быть однородным, в силу чего все компоненты тензора напряжений (включая касательные напряжения)

должны сохранять свои значения и на верхней, и на боковой гранях. Заметим, что для рассматриваемой задачи использование ОС материалов 2-го и более высоких порядков качественно не изменяет ситуацию.

При использовании симметричных мер напряженного или деформированного состояния (заметим, что в силу симметрии тензора п по парам индексов из симметрии тензора напряжений следует симметрия во второй паре индексов, т.е. имеет место «симметризация» вклада меры деформации, и наоборот) для предписанного деформированного состояния из закона Гука следует σ 12 = σ 21 ≠ 0 (σ 32 = σ 23 ≠ 0), что противоречит статическим граничным условиям для касательных составляющих вектора напряжений на боковых гранях. Заметим, что к аналогичному результату приводит применение в законе Гука тензора упругих характеристик, симметричного внутри (хотя бы одной) пары индексов. Ранее уже предпринимались попытки записать закон Гука, используя несимметричный (внутри пар индексов) тензор упругих характеристик [12]. Однако в доступной литературе обнаружить экспериментальные данные об этих характеристиках не удалось, что, вероятно, обусловлено устоявшейся ориентацией исследователей на обработку результатов экспериментов в терминах симметричных мер. Попытки использовать для этой цели методы молекулярной динамики также не увенчались успехом, что связано с применением в этих методах апробированных потенциалов, позволяющих описывать только центральные взаимодействия микрочастиц (атомов). В связи с этим представляется целесообразным кардинально пересмотреть структуру тензора упругих характеристик.

Рассмотрим модификацию закона Гука, которая основана на использовании несимметричных мер напряжений и деформаций и позволит избежать указанных выше проблем с нарушением статических граничных условий в рассматриваемой задаче простого сдвига. В качестве базового используем закон Гука в скоростной релаксационной форме вида (2), записанный для представительного объема мезоуровня (кристаллита), в котором изменены меры скоростей напряжений и деформаций. Заметим, что от скоростной формулировки можно легко перейти к формулировке в приращениях, более соответствующей рассмотренному выше качественному примеру. В качестве меры скорости деформации будем использовать транспонированный градиент относительной скорости перемещений zr (3)2, определяемый подвижным на- блюдателем, связанным с решеткой, в качестве меры скорости изменения напряжений – коротационную производную несимметричного тензора напряжений Коши σсоr (4)2. Таким образом, закон Гука будет иметь следующий вид:

cor in σ ^cor= п: ( z _r – z ⁱ _r ⁿ ). (1)

Необходимо рассмотреть вопрос о структуре и значениях компонент тензора свойств п . Для простоты примем, что неупругая составляющая меры скорости деформации z ⁱ _r ⁿ = 0 , что для начальной стадии деформирования вполне приемлемо.

При записи компонент тензора упругих свойств соглашение о суммировании здесь применяться не будет. При определении упругих характеристик монокристаллов для уменьшения числа требуемых экспериментов компоненты тензора п обычно определяют в базисе осей симметрии кристаллита; для большинства распространенных кристаллов существует по крайней мере одна тройка взаимно ортогональных осей симметрии порядка не ниже второго. Оси лабораторной декартовой ортогональной системы координат О х 1 х 2 х 3 приняты совпадающими с осями симметрии кристаллита.

Для «диагональных» компонент со структурой индексов п iijj , где допустимо и равенство, и неравенство индексов i и j , ситуация ничем не отличается от обычного закона Гука для симметричных мер; значения этих компонент, естественно, тоже совпадают с известными. Для установления «недиагональных» компонент будем использовать описанный выше (мысленный) эксперимент на простой сдвиг. Из него можно с механически обоснованных позиций утверждать, что сдвиги не должны (по крайней мере – в случае малых искажений) приводить к появлению диагональных компонент тензора напряжений σ ii , т.е. компоненты тензора свойств со структурой индексов п iijk , где j ≠ k , i = j или ( i ≠ j , i ≠ k ), должны быть равны нулю, п iijk = 0, откуда в силу симметрии по парам индексов немедленно вытекает п jkii = 0. Для произвольного значения индекса i из рассмотренного эксперимента нельзя утверждать, что п iijk = 0 (т.е. на подвергаемую сдвигу грань может действовать нормальное напряжение); в то же время для кристаллов с осями симметрии 4-го порядка (кубическая решетка) указанное утверждение следует из симметрийных свойств. Данное утверждение будет справедливым и для представительного изотропного макрообъема.

Для определения «недиагональных сдвиговых» компонент тензора свойств также будем использовать мысленный эксперимент на простой сдвиг в плоскости декартовых ортогональных координат х i х j , при котором волокно вдоль х i сохраняет свое направление, а волокно, первоначально направленное вдоль х j , уменьшает свой угол с осью х i (т.е. ненулевой (и неотрицательной) является только компонента ( z _r ) ij ~ ∂( v r ) i /∂ x j ), где v r – вектор относительной скорости перемещений. Тогда из анализа статических граничных условий следует, что на сдвигаемой грани (параллельной оси х i ) должно появиться сдвиговое напряжение σ ji , тогда как на свободной грани компонента σ ij = 0 (равно как и σ ik , k ≠ i , k ≠ j ). Следует отметить, что в законе Гука на меру скорости деформации двойное скалярное умножение осуществляется справа, при этом порядок двух последних индексов в тензоре свойств для члена, отличного от нуля, должен быть обратным по отношению к порядку индексов ненулевой сдвиговой деформации, т.е. для рассматриваемой ситуации ненулевой должна быть компонента п jiji , все компоненты типа п jiij = 0 ( i ≠ j ); при этом утверждать, что все остальные «недиагональные» компоненты со структурой индексов п ijkl ( i ≠ j , k≠l ) должны быть равны нулю на основе рассмотренного эксперимента, нельзя. В то же время для кристаллитов кубической симметрии и для изотропных тел данное утверждение следует из симметрийных свойств.

Значения ненулевых «недиагональных» компонент равны соответствующим компонентам тензора свойств в случае использования симметричных мер. Действительно, при простом сдвиге (рассматривая тот же пример) в «симметричном» случае появятся две ненулевые компоненты тензора деформации скорости d ij и d ji , равные 1/2 ( z _r ) ij , которые будут умножены на одинаковые компоненты тензора свойств п klji и п klij .

Полагая, что рассмотрение ограничивается кристаллитами с кубической симметрией, ненулевыми компонентами из «недиагональных сдвиговых» компонент будут компоненты со структурой индексов п ijij . При этом не нарушается требование симметрии по парам индексов для всех рассмотренных выше компонент тензора п .

При этом, естественно, возникает вопрос об уравнении баланса момента количества движения, которое для каждой «точки» (представительного объема мезо- или макроуровня) должно быть выполнено.

Для этого кроме несимметричных напряжений на представительный объем должны действовать распределенные моментные напряжения (являющиеся следствием неоднородности и коррелированности взаимодействий на внешних или внутренних «контактных» поверхностях), главный вектор которых в случае равновесия должен быть равен главному моменту от поверхностных напряжений Коши. В рассмотренном выше примере простого сдвига на сдвигаемой (и противоположной ей) грани коррелированным должно быть распределение на любой площадке, ортогональной оси О х j компоненты q j вектора поверхностной нагрузки q , действие которого можно описать распределенным поверхностным моментом μ с ненулевой компонентой μ jk ( k ≠ i , k ≠ j ). В этом случае появляется возможность определения моментных напряжений без явного рассмотрения изгибов – кручений атомарной решетки. При возникновении взаимодействий дефектной структуры соответствующие моментные напряжения также должны быть включены в уравнения баланса.

Предлагаемая модификация закона Гука интегрируется в соотношения двухуровневых моделей, результаты использования которых для анализа деформирования моно- и поликристаллических материалов составляют предмет готовящихся публикаций.

Заключение

Предпринята попытка сформулировать закон Гука в терминах несимметричных мер скоростей изменения напряженного и деформированного состояния. Введены меры указанных скоростей, удовлетворяющие требованию независимости от выбора системы отсчета. Рассмотрена структура четырехвалентного тензора упругих характеристик, позволяющая для тестовой задачи простого сдвига исключить несоответствие определения компонент тензора напряжений из закона Гука предписанным статическим граничным условиям.

Работа выполнена в Пермском национальном исследовательском политехническом университете при финансовой поддержке Минобрнауки РФ (базовая часть государственного задания ПНИПУ, № гос. регистр. 01201460535) и РФФИ (проекты №№13-01-96006 р_урал_а, 14-01-00069-а).