О несимметричных мерах напряженного и деформированного состояния и законе Гука

Закон Гука (конечно, в современном тензорном виде, включающем учет различных типов анизотропии материала, конечную или скоростную формулировку) весьма широко используется в механике деформируемого твердого тела, включая и физически и/или геометрически нелинейные проблемы. В последние десятилетия он применяется также в подавляющем большинстве многоуровневых моделей, ориентированных на описание неупругого деформирования моно- и поликристаллических материалов. Как правило, при этом закон Гука записывается с использованием симметричных мер напряженного и деформированного состояния, определенных в терминах актуальной, промежуточной (разгруженной) или отсчетной конфигурации. Для материала, упругого по Грину, из существования упругого потенциала естественно вытекает симметрия четырехвалентного тензора упругих свойств П по первой и второй паре индексов, П ijkl = П klij, однако симметрия тензора внутри первой и второй пар индексов следует только из принятого и укоренившегося в механике сплошных сред соглашения о симметрии тензоров напряжений и деформаций. Следует отметить, что в исходном законе Гука, записанном для случая одноосного нагружения, вопросы о симметрии свойств, естественно, не возникали. Указанное соглашение позволило, в частности, существенно сократить объем экспериментов, необходимый для установления компонент тензора упругих характеристик, что особенно важно при рассмотрении материалов с низкой или априори неизвестной симметрией. Симметрия тензора напряжений следует из закона сохранения момента количества движения при отсутствии распределенных объемных и поверхностных моментов. Пренебрежение распределенными поверхностными моментами основано на гипотезе о том, что две части тела действуют друг на друга распределенными силами, которые на каждой элементарной площадке могут быть приведены к вектору напряжений. Данная гипотеза, в свою очередь, основана на предположении об отсутствии корреляции распределенных поверхностных нагрузок на любой материальной площадке. Следует отметить, что В.Фойгт еще в 1887 г. предлагал отказаться от данного предположения и приводить распределенные воздействия одной части тела на другую на любой элементарной площадке к вектору напряжений и вектору распределенных моментов. Указанное предложение полностью согласуется с используемым в теоретической (классической) механике способом приведения произвольной системы сил к главному вектору и главному моменту. На примере задачи простого сдвига показано, что использование (симметричного) закона Гука порождает несоответствие напряженного состояния, определяемого из закона в его обычной формулировке, части (статических) граничных условий, устанавливаемых соотношениями Коши. Рассматривается вариант закона Гука, ориентированный на применение несимметричных мер напряжений и деформаций и тензора упругих свойств с сохранением симметрии только по парам индексов. В качестве меры напряжения используется несимметричный тензор напряжений Коши, меры скорости деформаций - градиент относительной скорости перемещений (скорости перемещений относительно жесткой подвижной системы координат, отвечающей за квазитвердое движение элементарного объема), для которых выполняется требование независимости от выбора системы отсчета. Предлагается вид тензора упругих свойств в законе Гука, ориентированного на использование несимметричных мер.