О парадоксальном результате применения критерия Гурвица для поиска взвешенных решений в «игре с природой»

Критерий2Гурвица хорошо известен в теории принятия решений как критерий взвешенного оптимизма, дающий ЛПР (лицу, принимающему решение) возможность варьировать значением коэффициента оптимизма в соответствии со своим отношением к риску при выборе стратегий в задачах «игры с природой» [1–5]. При этом принято считать [6–9], что, варьируя коэффициентом оптимизма, можно эффективно управлять предпочтениями ЛПР в зависимости от специфики задачи выбора стратегии.

Так, в частности, Л.Г. Лабскер [8] отмечает, что чем более опасной представляется для ЛПР ситуация, тем меньший коэффициент оптимиз ма ему следуе т выбирать. Как подчеркивает

Г.Л. Бродецкий [9], возможность выбора коэффициента оптимизма дает ЛПР дополнительный управляющий параметр для адаптации критерия Гурвица к системе своих предпочтений в конкретной ситуации выбора решения.

С другой стороны, для разрешения неопределенности в задачах такого рода используются субъективные предпочтения ЛПР, и на практике применяется целый ряд критериев, ориентированных на различные ситуации и различное отношение ЛПР к риску [3–7].

Критерий оптимизма – пессимизма (Гурвица) вводится как смесь критериев Вальда и максимакса: К_H = α max_j x_ij + (1 – α ) min_j x_ij , где α – коэффициент оптимизма (0 ≤ α ≤1).

В работах [10–11] при анализе результатов выбора альтернатив на 50 случайных матрицах эффективности мы обратили внимание на то обстоятельство, что критерий Гурвица сводил процедуру поиска решения к бинарной задаче выбора между альтернативами, рекомендуемыми двумя экстремальными и противоположными по своей семантике критериями: Вальда (максимина) и максимакса.

В настоящей работе проводятся уточнение и обобщение этого неожиданного результата, а также исследуется возможность поиска дополнительных (промежуточных) альтернатив на стыке между двумя базовыми. Для формализации представляемых результатов будем использовать следующие обозначения: К_V , К_S , К_L , К_H , К_M – критерии Вальда, Сэвиджа, Лапласа, Гурвица и максимакса соответственно; α = [0,1] – коэффициент оптимизма критерия Гурвица; λ _nm – коэффициенты взаимной (парной) корреляции пар критериев (0 ≤ λ _nm ≤ 1), например для критериев Лапласа и Сэвиджа – λ _LS . Отметим, что критерий Сэвиджа, в отличие от остальных, формируется на матрице риска.

• 1.    Взаимодействие критерия Гурвица с классическими критериями

В работах [10–11] мы исследовали случайную выборку из 50 матриц эффективности с размерностью 6 × 6 с нормальным распределением двузначных чисел в качестве показателей эффективности (математическое ожидание, равное 0,5 и среднеквадратичное отклонение 0,13, что соответствует мезокуртическому распределению). Перерасчет матриц эффективности в матрицы риска для получения критерия Сэвиджа проводился по стандартному алгоритму [2].

Результаты выбора альтернатив по всем критериям для каждой исходной матрицы с целью их сравнения сводились в соответствующую таблицу. Прежде всего ожидалось, что во всех без исключения случаях выбор по критерию Гурвица при α = 0 будет совпадать с выбором по критерию Вальда, а при α = 1 – по критерию максимакса.

Проведенный в настоящей работе полный анализ указанной выборки показывает следующее распределение результатов выбора по критерию Гурвица при изменении α от нуля до единицы.

• 1.    Совпадение выбора по критериям Вальда и максимакса при всех значениях коэффициента оптимизма – 11 матриц (22%).

• 2.    Выбор ограничен либо предельно оптимистичным, либо предельно осторожным решением – 33 матрицы (66%).

• 3.    Выбор третьей, промежуточной, альтернативы при средних значениях коэффициента оптимизма – 6 матриц (12%).

Достаточно неожиданным результатом оказалось значимое количество совпадений (более

20%) альтернатив, рекомендуемых как оптимистичным, так и пессимистичным критериями. При этом следует подчеркнуть, что проведенный в [11] анализ заведомо большой совокупности (10 000 матриц полезности с нормальным распределением элементов) дал такой же результат: около 22% случаев совпадения выбора по критериям Вальда и максимакса. Следовательно, можно с достаточной степенью уверенности полагать, что указанный результат, противоречащий сложившимся представлениям, статистически достоверен.

Кроме того, сравнение результатов выбора альтернатив показало, что для 33 матриц (66%) при любых промежуточных значениях коэффициента оптимизма α выбор по критерию Гурвица не давал новых альтернатив и сводился к рекомендации либо критерия Вальда, либо – максимакса.

Среди этих 33 матриц в 14 случаях (42%) выбор по критериям Лапласа и Сэвиджа указывал на третью (промежуточную) альтернативу, которую критерий Гурвица с шагом коэффициента оптимизма 0,1 «не чувствовал». При этом выбор по критериям Лапласа и Сэвиджа указывал как на разные, так и на одинаковые (см., например, табл. 2) альтернативы.

Таблица 1

Совпадение выбора по критериям Лапласа и Сэвиджа

Матрица № 27	Выбор альтернатив по критериям
α	К M	К L	К H	К S	К V
0	A 1	A 6	A 5	A 6	A 5
0,1			А 5
0,2			A 5
0,3			A 5
0,4			A 5
0,5			A1
0,6			A 1
0,7			A 1
0,8			A 1
0,9			A 1
1,0			A 1

ВЕСТНИК 2016

Отметим, что в качестве умеренно оптимистичного критерия мы рассматривали, наряду с нейтральным критерием Лапласа, также и критерий минимаксного сожаления Сэвиджа. Как показано в [10], коэффициент их взаимной корреляции (для рассматриваемой выборки из 50 матриц) λ _LS = 0,64. Кроме того, как показано в

[11], графики зависимости коэффициентов взаимной корреляции λ _{L H} и λ _SH от α существенно близки, что также свидетельствует о сопоста-

ВЕСТНИК 2016

вимости степени оптимизма этих критериев вопреки сложившемуся представлению о крайней осторожности критерия Сэвиджа, в частности по сравнению с критерием Лапласа.

Таким образом, критерий Гурвица в большинстве случаев (88%) оказался малочувствительным инструментом для выбора взвешенных альтернатив: процедура поиска решения сводилась либо к принятию единственной альтернативы, либо к задаче бинарного выбора между двумя альтернативами, рекомендуемыми противоположными по своей семантике критериями: Вальда и максимакса.

Далее. Априори ожидалось, что при изменении коэффициента оптимизма выбор по критерию Гурвица будет указывать на альтернативы, рекомендуемые не только критериями Вальда и максимакса, но и промежуточными по семантике критериями Лапласа и Сэвиджа. Конкретно, по мере увеличения коэффициента α , выбор альтернатив по критерию Гурвица должен был бы последовательно совпадать с выбором по критериям Вальда, Сэвиджа, Лапласа и максимакса.

Однако, как видим, вопреки ожиданиям, при промежуточных значениях коэффициента оптимизма α -критерий Гурвица достаточно редко указывал на третью альтернативу (см., например, табл. 2). Лишь в шести случаях (12%) при средних значениях коэффициента оптимизма α -критерий Гурвица указывал на третью альтернативу, которую, как правило, также рекомендовали критерии Лапласа и Сэвиджа.

Таблица 2

Выбор трех альтернатив по критерию Гурвица

Матрица Выбранные альтернативы № 2           по критериям

α	К M	К L	К H	К S	К V
0	A 4	A2	A5	A2	A 5
0,1			А 5
0,2			A 5
0,3			A 5
0,4			A 5
0,5			A 2
0,6			A2
0,7			A 2
0,8			A 2
0,9			A 4
1,0			A 4

Отметим при этом, что «область локализации» третьей альтернативы для разных матриц располагалась в интервале шириной от одной до четырех градаций α .

Конкретно третья альтернатива, выявляемая критерием Гурвица, в трех случаях совпадала с ожидаемой альтернативой, рекомендуемой критерием Лапласа и при этом в двух случаях еще и с рекомендуемой критерием Сэвиджа. В трех других случаях критерием Гурвица выбиралась «независимая» альтернатива, на которую ни один из четырех рассматриваемых классических критериев не указывал.

Для уточнения и обобщения полученных нетривиальных результатов исходная выборка была нами расширена до 150 матриц с теми же параметрами нормального распределения. Анализ расширенной совокупности дал следующий интегральный результат.

• 1.    Совпадение выбора по критериям Вальда и максимакса – 23% матриц.

• 2.    Выбор ограничен либо предельно оптимистичным, либо предельно осторожным решением – 62% матриц.

• 3.    Выбор третьей, промежуточной, альтернативы при средних значениях коэффициента оптимизма – 15% матриц.

• 2.    Результаты поиска скрытых альтернатив

Как видим, результат качественно изменился весьма незначительно. Несколько увеличилось количество случаев с выбором третьей альтернативы за счет соответствующего сокращения случаев бинарного выбора.

Таким образом, для рассмотренного достаточно общего случая выбор промежуточных альтернатив остается маловероятным событием, что противоречит сложившимся представлениям об использовании критерия Гурвица.

Возникает естественный вопрос: возможно ли обнаружение «скрытых» промежуточных альтернатив путем увеличения количества градаций коэффициента оптимизма. Действительно, не исключено, что промежуточные альтернативы могут появляться в весьма узком диапазоне значений α .

В этой связи появляется задача оценивания чувствительности критерия Гурвица к вариациям коэффициента α при уменьшении его шага в области перехода от одной альтернативы к другой (на стыке альтернатив). Поэтому был проведен поиск на стыке двух крайних альтернатив, противоположных по семантике выбора, по крайней мере, еще одной (скрытой) альтернативы, соответствующей взвешенному (промежуточному) выбору.

Для поиска скрытых альтернатив использовался очевидный прием последовательного уменьшения шага градаций коэффициента α на стыке альтернатив, на которые указывают критерии Вальда и максимакса, до тех пор, пока не будет обнаружена смена предпочтения между двумя имеющимися альтернативами. В качестве основного инструмента исследования использовался расчет критерия Гурвица для стыковых значений коэффициента оптимизма, выполненный в программе MS EXCEL, с выбором соответствующей стратегии.

Исследованию подлежали 39 матриц (за исключением 11 матриц с согласованным выбором по критериям Вальда и максимакса). Априори они были распределены на три группы. Первую составили 14 бинарных матриц, в которых критериями Лапласа и Сэвиджа рекомендуется выбор промежуточных альтернатив, их и предполагалось обнаружить при «заострении» критерия Гурвица. Эта группа рассматривалась как наиболее перспективная. Во вторую были включены 18 бинарных матриц, в которых указания на третью альтернативу не фигурировали. К третьей группе мы отнесли 7 матриц с третьей альтернативой для поиска возможных дополнительных альтернатив на двух имеющихся стыках.

Исследование матриц первой группы дало следующие результаты. На одной из матриц (см. табл. 3) при значении α = 0,6÷0,7 в десятом знаке после запятой обнаружена третья ожидаемая альтернатива А₆, рекомендуемая критерием Лапласа.

Таблица 3

Обнаружение третьей ожидаемой альтернативы

Матрица № 4	Оценки эффективности по критериям
α	K M	K L	K H	K S	K V
0	A 5	A 6	A 3	A 3	A 3
0,1			А3
0,2			A 3
0,3			A 3
0,4			A 3
0,5			A 3
0,6			A 3
0,666666666			A 3 A 6
0,6666666665			A 3 A 6 A 5
0,666666667			A 5
0,7			A 5
0,8			A 5
0,9			A 5
1			A 5

Еще на одной матрице (см. табл. 4) на стыке значений α между 0,6 и 0,7 во втором знаке после запятой обнаружена третья «независимая» альтернатива A₄, хотя критерии Лапласа и Сэвиджа указывали на другие альтернативы (A₅ и А₆ соответственно).

Таблица 4

Обнаружение третьей «свободной» альтернативы

Матрица № 44	Оценки эффективности по критериям
α	KM	KL	KH	KS	KV
0	A 1	A 5	A 6	A 6	A 5
0,1			А6
0,2			A 6
0,3			A 6
0,4			A 6
0,5			A 6
0,6			A 6
0,65			A 6
0,66			A 1 A 4
0,7			A 1
0,8			A 1
0,9			А 1
1			А 1

На остальных 12 матрицах на различных «глубинах» коэффициента оптимизма критерия Гурвица (от одного до десяти знаков после запятой) был выявлен переход между двумя альтернативами, т.е. третья альтернатива не найдена. Таким образом, в принципе, скрытые альтернативы могут быть обнаружены.

Поиск, в принципе возможных, независимых альтернатив на матрицах второй группы, априори мы оценивали как малоперспективный, и действительно, полноценный поиск дополнительных альтернатив на стыке альтернатив, соответствующих реализациям критериев Вальда и максимакса, дал отрицательный результат.

Апостериори в исследованной выборке из 33 матриц с бинарным выбором выявились две группы матриц по другому признаку – соответственно с плавным и дискретным переходом от одной альтернативы к другой на стыке между ними. Плавным переходом мы называем такую ситуацию, когда на предельной глубине стыкового значения коэффициента оптимизма обнаруживается сочетание двух имеющихся альтернатив.

В противном случае такой переход мы называем дискретным. Всего наблюдалось 21 плавный и 12 дискретных переходов. Ниже в качестве примера приведена таблица, составленная для матрицы с плавным переходом.

ВЕСТНИК 2016

Таблица 5

Пример матрицы с плавным переходом

Матрица № 36	Оценки эффективности по критериям
α	K M	K L	K H	K S	K V
0	A 5	A 4	A 4	A 4	A 4
0,1			А 4
0,2			A4
0,3			A4
0,4			A 4
0,5			A 4
0,6			A 4
0,7			A 4
0,8			A 4
0,882352941			A 4 A 5
0,9			A 5
1			A 5

ВЕСТНИК 2016

Анализ третьей группы матриц (с третьей альтернативой) на предмет обнаружения дополнительных (свободных) альтернатив также дал отрицательный результат, хотя и позволил уточнить интервал, в котором лежит в каждом случае третья альтернатива. Так, например, для приведенной выше матрицы № 2 установлено, что третья альтернатива, рекомендуемая критериями Лапласа и Сэвиджа, лежит в интервале значений α = 0,44÷0,895. Для матрицы № 18 (см. табл. 6) третья независимая альтернатива соответствует интервалу значений α = 0,62÷0,714285.

Таблица 6

Уточнение интервала третьей альтернативы

Матрица № 18	Оценки эффективности по критериям
α	K M	K L	K H	K S	K V
0	A1	A3	A 3	A3	A3
0,1			А 3
0,2			A 3
0,3			A 3
0,4			A3
0,5			A 3
0,6			A 3
0,62			A 4
0,714285			A 4
0,714286			A 1
0,8			A 1
0,9			A1
1			A 1

Эти любопытные частные результаты могут оказаться полезными при рассмотрении некоторых конкретных задач «игры с природой».

Таким образом, можно констатировать, что вероятность обнаружения промежуточных альтернатив путем «заострения» критерия Гурвица весьма мала, хотя и отлична от нуля. Тем не менее, в «перспективной» группе из 14 матриц были обнаружены две такие альтернативы (14%), и этим обстоятельством, видимо, не следует пренебрегать.

В совокупности с вышеизложенными фактами проявления малой чувствительности критерия Гурвица это означает, что для практической реализации управления взвешенным выбором решений представляется целесообразным, наряду с управлением коэффициентом оптимизма, отобрать наиболее устойчивые по степени своего оптимизма критерии и зафиксировать их средневзвешенное положение на шкале оптимизма критерия Гурвица. Тем самым к равномерной интервальной шкале оптимизма можно будет «привязать» дополнительную неоднородную порядковую шкалу, которую можно будет задействовать во всех случаях бинарного выбора по критерию Гурвица.

Заключение

Таким образом, для рассмотренного случая (50 матриц полезности с размерностью 6х6 и нормальным распределением показателей полезности) показано, что использование критерия Гурвица редко позволяет обнаруживать взвешенные альтернативы и тем самым управлять соотношением оптимизм – пессимизм. Эти факты приобретают признаки закономерности при анализе выборки, расширенной до 150 матриц.

Что же касается доли совпадений выбора единственной (оптимальной) альтернативы по всем критериям, то она остается практически постоянной для трех выборок: 50, 150 и 10 000 матриц эффективности с нормальным распределением показателей.

Проведенный поиск «скрытых» альтернатив при наращивании числа градаций коэффициента оптимизма на стыках альтернатив показал принципиальную возможность их обнаружения, а также позволил уточнить интервал, в котором лежит в каждом случае третья альтернатива.

Представляется безусловно интересным выяснить, насколько общий характер имеют обнаруженные нами особенности применения критерия Гурвица и уточнить масштаб и границы их проявления.

Авторы благодарят Г.А. Чеботарева за участие в обсуждении.